2018-2019学年高中数学人教A版必修三课件:第二章 第2节 第2课时 用样本的数字特征估计总体的数字特征_图文

第2课时 用样本的数字特征估计 总体的数字特征

[核心必知] 1.预习教材,问题导入 根据以下提纲,预习教材 P71~P78,回答下列问题. (1)众数、中位数、平均数各是什么样的数?
提示:见本课时[归纳总结,核心必记](1).

(2)你能说出教材 P72 思考中样本的中位数与样本中位数 估计值为什么不一样吗?
提示:频率分布直方图已经损失了一些基本的信息,因 而通过频率分布直方图只能估计样本的中位数,而不能得到 样本的准确的中位数.
(3)标准差和方差各指什么? 提示:见本课时[归纳总结,核心必记](2).

2.归纳总结,核心必记 (1)众数、中位数、平均数 ①众数:在一组数据中,出现次数 最多 的数叫做众数. ②中位数:把一组数据按从小到大 的顺序排列,处在中间 位 置(或中间两个数的 平均数 )的数叫做这组数据的中位数. ③平均数:一组数据的 总和 除以这组数据的个数 取得的
商叫做这组数据的平均数,一般记为 x =n1(x1+x2+…+xn).

(2)标准差、方差 ①标准差:标准差是样本数据到平均数的一种平均距离, 一般用 s 表示.假设样本数据是 x1,x2,…,xn,x 表示这组数 据的平均数, 则 s= n1[?x1- x ?2+?x2- x ?2+…+?xn- x ?2]. ②方差:标准差的平方 s2 即为方差, 则 s2=n1[(x1- x )2 +(x2- x )2+…+(xn- x )2].

[问题思考] (1)一组数据的众数可以有多个吗?中位数是否也有相 同的结论? 提示:一组数据的众数可能有一个,也可能有多个,但 中位数有且只有一个. (2)在频率分布直方图中如何求众数、中位数、平均数? 提示:①在频率分布直方图中,众数是最高矩形中点的 横坐标; ②中位数左边和右边的直方图的面积应该相等; ③平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形 的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.

[课前反思]

通过以上预习,必须掌握的几个知识点.

(1)众数、中位数、平均数的概念:



(2)标准差、方差的公式:



现从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中,各抽 取 8 件产品,对其使用寿命进行跟踪调查,其结果如下(单 位:年)
甲:3, 4, 5, 6, 8, 8, 8, 10 乙:4, 6, 6, 6, 8, 9, 12, 13 丙:3, 3, 4, 7, 9, 10, 11, 12

[思考 1] 三家广告中都称其产品使用寿命为 8 年,你 能说明为什么吗?
名师指津:三个厂家从不同的角度进行了说明,以宣传 自己的产品.其中甲:众数为 8 年,乙:平均数为 8 年,丙: 中位数为 8 年.

[思考 2] 众数、中位数、平均数各有什么优缺点? 名师指津:三种数字特征的比较: 众数:优点是体现了样本数据的最大集中点,容易计 算;缺点是只能表达样本数据中很少的一部分信息,无法 客观地反映总体的特征. 中位数:优点是不受少数几个极端数据(即排序靠前或 靠后的数据)的影响,容易计算,便于利用中间数据的信息; 缺点是对极端值不敏感.

平均数:优点是代表性较好,是反映数据集中趋势的 量,一般情况下可以反映出更多的关于样本数据全体的信 息;缺点是任何一个数据的改变都会引起平均数的改变, 数据越“离群”对平均值的影响越大.

讲一讲

1.某工厂人员及月工资构成如下:

管理 高级

人员 经理

工人 学徒 合计

人员 技工

月工 22 000 2 500 2 200 2 000 1 000 29 700
资(元)

人数 1

6

5 10 1 23

合计 22 000 15 000 11 000 20 000 1 000 69 000

(1)指出这个表格中月工资的众数、中位数、平均数;

(2)这个表格中,平均数能客观地反映该工厂的月工资

水平吗?为什么?

[尝试解答] (1)由表格可知,众数为 2 000 元. 把 23 个数据按从小到大(或从大到小)的顺序排 列,排在中间的数应是第 12 个数,其值为 2 200, 故中位数为 2 200 元. 平均数为 69 000÷23=3 000(元).

(2)虽然平均数为 3 000 元,但由表格中所列出的数 据可见,只有经理的工资在平均数以上,其余人的工资 都在平均数以下,故用平均数不能客观真实地反映该工 厂的工资水平.

对众数、中位数、平均数的几点说明 (1)如果样本平均数大于样本中位数,说明数据中存 在较大的极端值.在实际应用中,样本中位数和样本平 均数可以使我们了解样本数据中的极端数据信息,帮助 我们作出决策. (2)众数、中位数、平均数三者比较,平均数更能体 现每个数据的特征,它是各个数据的重心.

练一练 1.某校在一次考试中,甲、乙两班学生的数学成绩 统计如下:
分数 50 60 70 80 90 100 甲班 1 6 12 11 15 5
人数 乙班 3 5 15 3 13 11 选用平均数与众数、中位数评估这两个班的成绩.

解:甲班平均数 79.6 分,乙班平均数 80.2 分,从平均 分看成绩较好的是乙班;
甲班众数为 90 分,乙班众数为 70 分,从众数看成绩较 好的是甲班;
按从高到低(或从低到高)的顺序排列之后,甲班的第 25 个和第 26 个数据都是 80,所以中位数是 80 分,同理乙班 中位数也是 80 分,但是甲班成绩在中位数以上(含中位数) 的学生有 31 人,占全班学生的 62%,同理乙班有 27 人, 占全班学生的 54%,所以从中位数看成绩较好的是甲班.

如果记 90 分以上(含 90 分)为优秀,甲班有 20 人, 优秀率为 40%,乙班有 24 人,优秀率为 48%,从优秀 率来看成绩较好的是乙班.可见,一个班学生成绩的评 估方法很多,需视要求而定.如果不考虑优秀率的话, 显然以中位数去评估比较合适.

甲、乙两名战士在相同条件下各射靶 10 次,每次命中 的环数分别是:
甲:8,6,7,8,6,5,9,10,4,7; 乙:6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.

[思考 1] 通过计算可以知道,甲、乙两人的平均成绩 相等,那么甲、乙两人的成绩谁的更稳定一些?怎样用数 字刻画这种稳定性?
名师指津:乙的成绩相对稳定,样本数据的稳定性(或 分散程度)常用标准差来刻画.

[思考 2] 怎样理解方差与标准差? 名师指津:(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均 数波动的大小.标准差、方差越大,数据的离散程度越大; 标准差、方差越小,数据的离散程度越小. (2)标准差、方差的取值范围:[0,+∞). (3)因为方差与原始数据的单位不同,且平方后可能夸 大了偏差的程度,所以虽然方差与标准差在刻画样本数据 的分散程度上是一样的,但在解决实际问题时,一般多采 用标准差.

讲一讲 2.甲、乙两机床同时加工直径为 100 cm 的零件,为检 验质量,各从中抽取 6 件测量,数据为: 甲:99 100 98 100 100 103 乙:99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差; (2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定.

[尝试解答] (1) x 甲=16(99+100+98+100+100+103)

=100,

x 乙=16(99+100+102+99+100+100)=100.

s

2


=61

[(99-100)2+

(100



100)2+

(98



100)2



(100



100)2+(100-100)2+(103-100)2]=37,

s

2


=61

[(99-100)2+

(100



100)2+

(102



100)2+

(99



100)2+(100-100)2+(100-100)2]=1.

(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同, 又 s2甲>s2乙, 所以乙机床加工零件的质量更稳定.

(1)求一组数据的方差和标准差的步骤: ①先求平均数 x . ②代入公式得方差和标准差 s2=n1[(x1- x )2+(x2- x )2+…+(xn- x )2], s= n1[?x1- x ?2+?x2- x ?2+…+?xn- x ?2].

(2)实际问题中方差、标准差的意义 在实际问题中,仅靠平均数不能完全反映问题, 还要研究方差,方差描述了数据相对平均数的离散程 度,在平均数相同的情况下,方差越大,离散程度越 大,数据波动性越大,稳定性越差;方差越小,数据 越集中,稳定性越高.

练一练 2.甲、乙两台机床在相同的条件下同时生产一种零件,现 在从中各抽测 10 个,它们的尺寸分别为(单位: mm): 甲:10.2 10.1 10.9 8.9 9.9 10.3 9.7 10 9.9 10.1 乙:10.3 10.4 9.6 9.9 10.1 10 9.8 9.7 10.2 10 分别计算上面两个样本的平均数与标准差.如果图纸上的 设计尺寸为 10 mm,从计算结果看,用哪台机床加工这种零件 较合适?

解: x 甲=110(10.2+10.1+10.9+…+10.1)=10(mm), x 乙=110(10.3+10.4+9.6+…+10)=10(mm),

s 甲= 110[?10.2-10?2+?10.1-10?2+…+?10.1-10?2] = 0.228=0.477(mm).

s 乙=

110[?10.3-10?2+?10.4-10?2+…+?10-10?2]

= 0.06=0.245(mm).

∵ x 甲= x 乙=10,s 甲>s 乙,∴乙比甲稳定,用乙较合适.

讲一讲 3.某校从参加高二年级学业水平测试的学生中 抽出 80 名学生,其数学成绩(均为整数)的频率分布直 方图如图所示.

(1)求这次测试数学成绩的众数; (2)求这次测试数学成绩的中位数; (3)求这次测试数学成绩的平均分.

[尝试解答] (1)由图知众数为70+2 80=75. (2)由图知,设中位数为 x,由于前三个矩形面积之和 为 0.4,第四个矩形面积为 0.3,0.3+0.4>0.5,因此中位数 位于第四个矩形内,得 0.1=0.03(x-70),所以 x≈73.3.

(3)由图知这次数学成绩的平均分为:

40+50 2

×0.005×10



50+60 2

×0.015×10



60+70 2

×0.02×10



70+80 2

×0.03×10



80+90 2

×0.025×10+90+2100×0.005×10=72.

用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数 (1)众数:取最高小长方形底边中点的横坐标作为众数. (2)中位数:在频率分布直方图中,把频率分布直方图 划分为左右两个面积相等的部分的分界线与 x 轴交点的横 坐标称为中位数. (3)平均数:平均数是频率分布直方图的“重心”,等于 频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点 的横坐标之和.

练一练 3.为了调查某厂工人生产某种产品的能力,随机抽 查了 20 位工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方 图如图,

则:(1)这 20 名工人中一天生产该产品的数量在[55,75) 的人数是________;
(2)这 20 名工人中一天生产该产品的数量的中位数为 ________;
(3)这 20 名工人中一天生产该产品的数量的平均数为 ________.

解析:(1)(0.04×10+0.025×10)×20=13. (2)设中位数为 x,则 0.2+(x-55)×0.04=0.5,x =62.5. (3)0.2×50 + 0.4×60 + 0.25×70 + 0.1×80 + 0.05×90=64. 答案:(1)13 (2)62.5 (3)64

——————[课堂归纳·感悟提升]——————— 1.本节课的重点是会求样本的众数、中位数、平均 数、标准差、方差,难点是理解用样本的数字特征来估 计总体数字特征的方法. 2.本节课要掌握以下几类问题: (1)当平均数大于中位数时,说明数据中存在较大的 极端值;反之,说明数据中存在较小的极端值,见讲 1.

(2)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大 小.标准差、方差越大,数据的离散程度越大;标准差、 方差越小,数据的离散程度越小,见讲 2.
(3)利用频率分布直方图求出的众数、中位数、平均数 均为近似值,往往与实际数据得出的不一致,但它们能粗 略估计其众数、中位数和平均数,见讲 3.

3.本节课的易错点有两个: (1)计算标准差或方差时易将公式记错而致误, 如讲 2; (2)利用频率分布直方图求数字特征时易出现 理解错误而致错,如讲 3.


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