高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.2复数的几何意义课件新人教A版选修2_2

3.1 数系的扩充和复数的概念







3.1.2 复数的几何意义









阶 段 二

业 分 层 测



1.理解复平面、实轴、虚轴等概念.(易混点) 2.掌握复数的几何意义,并能适当应用.(重点、易混点) 3.掌握复数模的定义及求模公式.

→ 虚轴

原点

实轴

OZ Z(a,b)

在复平面内,复数 z=1-i 对应的点的坐标为(

)

A.(1,i)

B.(1,-i)

C.(1,1)

D.(1,-1)

【解析】 复数 z=1-i 的实部为 1,虚部为-1,故其对应的坐标为(1,-

1).
【答案】 D

教材整理 3

复数的模

阅读教材 P105“左侧”,完成下列问题.

复数 z=a+bi(a,b∈R),对应的向量为O → Z,则向量O → Z的模叫做复数 a+bi

的模,记作____或________.由模的定义可知|z|=|a+bi |=r=___________ (r≥0,

r∈R).

|z| |a+bi|

a2+b2

判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)在复平面内,对应于实数的点都在实轴上.( ) (2)在复平面内,虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.( ) (3)复数的模一定是正实数.( )

在复平面内,复数 z=1-i 对应的点的坐标为(

)

A.(1,i)

B.(1,-i)

C.(1,1)

D.(1,-1)

【答案】 (1)√ (2)× (3)×

[ 质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________ 疑问 2:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________ 疑问 3:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________

复数与复平面内点的关系

[ 小组合作型] (1)复数 z=-1+2i 所对应的点在(

)

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

(2)已知复数 z=x+1+(y-1)i 在复平面内的对应点位于第二象限,则点(x,

y)所成的平面区域是(

)

(3)复数 z1=1+ 3i 和 z2=1- 3i 在复平面内的对应点关于(

)

A.实轴对称

B.一、三象限的角平分线对称

C.虚轴对称

D.二、四象限的角平分线对称

【自主解答】 (1)由复数的几何意义知 z=-1+2i 对应复平面中的点为(- 1,2),而(-1,2)是第二象限中的点,故选 B.
(2)由题意,得?????xy+-11<>00,, 即?????xy<>-1,1, 故点(x,y)所成的平面区域为 A 项中 的阴影部分.
(3)复数 z1=1+ 3i 在复平面内的对应点为 Z1(1, 3). 复数 z2=1- 3i 在复平面内的对应点为 Z2(1,- 3). 点 Z1 与 Z2 关于实轴对称,故选 A.

【答案】 (1)B (2)A (3)A

解答此类问题的一般思路: (1)首先确定复数的实部与虚部,从而确定复数对应点的横、 纵坐标. (2)根据已知条件,确定实部与虚部满足的关系.
[再练一题]
1.实数 x 取什么值时,复平面内表示复数 z=x2+x-6+(x2-2x-15)i 的点
Z:
(1)位于第三象限;(2)位于第四象限;(3)位于直线 x-y-3=0 上.

【解】 因为 x 是实数,所以 x2+x-6,x2-2x-15 也是实数. (1)当实数 x 满足?????xx22+ -x2- x-6< 150<,0, 即-3<x<2 时,点 Z 位于第三象限. (2)当实数 x 满足?????xx22+ -x2- x-6> 150<,0, 即 2<x<5 时,点 Z 位于第四象限, (3)当实数 x 满足(x2+x-6)-(x2-2x-15)-3=0,即 3x+6=0,x=-2 时, 点 Z 位于直线 x-y-3=0 上.

复数与平面向量的关系 (1)向量O → Z1对应的复数是 5-4i,向量O → Z2 对应的复数是-5+4i,则

O → Z1+O → Z2 对应的复数是(

)

A.-10+8i

B.10-8i

C.0

D.10+8i

(2)复数 4+3i 与-2-5i 分别表示向量O → A与O → B,则向量A → B表示的复数是

________. 【导学号:60030074】

【精彩点拨】 (1)先写出向量O→Z1,O→Z2的坐标,再求出O→Z1+O→Z2的坐标.

(2)利用A→B=O→B-O→A,求出向量A→B的坐标,从而确定A→B表示的复数.

【自主解答】

(1)因为向量O → Z1对应的复数是 5-4i,向量O → Z2 对应的复数

是-5+4i, 所以 O → Z1=(5,-4), O → Z2=(-5,4),所以 O → Z1+O → Z 2=(5,-4)+(-

5,4)=(0,0),所以O → Z1+O → Z2 对应的复数是 0.

(2)因为复数 4+3i 与-2-5i 分别表示向量O → A与O → B,所以O → A=(4,3),O → B=

(-2,-5),又A → B=O → B-O → A=(-2,-5)-(4,3)=(-6,-8),所以向量A → B表

示的复数是-6-8i.

【答案】 (1)C (2)-6-8i

解答此类题目的一般思路是先写出向量或点的坐标,再根 据向量的运算求出所求向量的坐标,从而求出向量所表示的复 数.

解答此类问题的一般思路: (1)首先确定复数的实部与虚部,从而确定复数对应点的横、 纵坐标. (2)根据已知条件,确定实部与虚部满足的关系.
[再练一题]
2.上例(2)中的条件不变,试求向量-12A→B表示的复数.

【解】 由上例(2)的解析知A→B=(-6,-8), ∴-12A→B=(3,4),所以向量-12A→B表示的复数是 3+4i.

复数的模
探究1 复平面内的虚轴的单位长度是1[,还是探 i? 究共研型]

【提示】 复平面内的虚轴上的单位长度是 1,而不是 i.

探究 2 若复数(a+1)+(a-1)i(a∈R)在复平面内对应的点 P 在第四象限,

则 a 满足什么条件?

【提示】 a 满足?????aa+-11><00,, 即-1<a<1.

(1)已知复数 z 的实部为 1,且|z|=2,则复数 z 的虚部是(

)

A.- 3

B. 3i

C.± 3i

D.± 3

(2)求复数 z1=6+8i 及 z2=-1 2- 2i 的模,并比较它们模的大小.

【精彩点拨】 (1)设出复数 z 的虚部,由模的公式建立方程求解.

(2)用求模的公式直接计算.

【自主解答】 (1)设复数 z 的虚部为 b,∵|z|=2,实部为 1,∴1+b2=4, ∴b=± 3,选 D.
【答案】 D

(2)因为 z1=6+8i,z2=-1 2-

所以 |z1 |=

62+82=10,

|z2 |= 因为

? ? ? ?-1 2? ? ? ?2+?- 10>3 2,

2?2=3 2.

所以 |z1 |> |z2 |.

2i,

1.计算复数的模时,应先找出复数的实部和虚部,再利用 复数模的公式进行计算.
2.两个复数不能比较大小,但它们的模可以比较大小.

解答此类问题的一般思路: (1)首先确定复数的实部与虚部,从而确定复数对应点的横、 纵坐标. (2)根据已知条件,确定实部与虚部满足的关系.
[再练一题]
3.(1)复数 z=x+1+(y-2)i(x,y∈R),且|z|=3,则点 Z(x,y)的轨迹是
________.
(2)已知复数 z=3+ai,且|z|<4,求实数 a 的取值范围. 【导学号:60030075】

【解析】 (1)∵|z|=3, ∴ ?x+1?2+?y-2?2=3,即(x+1)2+(y-2)2=32.故点 Z(x,y)的轨迹是以(- 1,2)为圆心,以 3 为半径的圆.
【答案】 以(-1,2)为圆心,以3为半径的圆

(2)∵z=3+ai(a∈R),|z|=

由已知得

32+a2<4,

∴a2<7,

∴a∈(-

7,

7).

32+a2,

[构建·体系]

1.复数 z=-1+2 017i(i 是虚数单位)在复平面上对应的点位于(

)

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

【解析】 由-1<0,2 017>0 得复数 z=-1+2 017i(i 是虚数单位)在复平

面上对应的点位于第二象限.

【答案】 B

2.已知复数 z= 2-3i,则复数的模|z|是(

)

A.5

B.8

C.6

D. 11

【解析】 |z|= ? 2?2+?-3?2= 11.
【答案】 D
3.复数 z=x-2+(3-x)i 在复平面内的对应点在第四象限,则实数 x 的取 值范围是________.

【解析】 ∵复数 z 在复平面内对应的点在第四象限, ∴?????x3- -2x> <00, , 解得 x>3.
【答案】 (3,+∞)
4.已知复数 z=x-2+yi(x,y∈R)的模是 2 2,则点(x,y)的轨迹方程是 ________.

【解析】 ∵|z|=2 2, ∴ ?x-2?2+y2=2 2, ∴(x-2)2+y2=8.
【答案】 (x-2)2+y2=8
5.已知复数 z 满足 z+|z|=2+8i,求复数 z.

【解】

设 z=a+bi(a,b∈R),

则 |z |=

a2+b2,

代入方程得,a+bi+

a2+b2=2+8i,

∴? ? ?a+

a2+b2=2,

? ?b=8,

∴z=-15+8i.

解得? ? ? ? ?a b= =- 8, 15,

我还有这些不足:

(1)

__________________________________________________

(2)

_________________________________________________

我的课下提升方案:

(1) (2)

_________________________________________________ _________________________________________________

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再见


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