高一数学必修一各章知识点总结技巧解答


高一数学必修 1 各章知识点总 结 一、集合 1、集合的中元素的三个特性: 2、集合的表示方法:列举法与描述法、图示法 非负整数集(即自然数集) 记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数 R 二、集合间的基本关系 1.?包含?关系—子集 注意: A ? B 有两种可能(1)A 是 B 的一部分, ; (2)A 与 B 是同一集合。 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记
? B 或 B? ?A 作 A?

2. ?相等?关系:A=B (5≥5,且 5≤5,则 5=5) 实例: 设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} ?元素相同则两集 合相等? 即:① 任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果 A?B,且 A? B 那就说集合 A 是集合 B 的真 子集,记作 A B(或 B A)

③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④ 如果 A?B 同时 B?A 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的 真子集。 ? 有 n 个元素的集合,含有 2n 个子集,2n-1 个真子集 三、集合的运算 运算 交 集 并 集 补 集 类型 定 由所有属于 A 且 由所有属于集合 A 设 S 是一个集合,A 义 属于 B 的元素所 或属于集合 B 的元 是 S 的一个子集, 由 组 成 的 集 合 , 叫 素所组成的集合, S 中所有不属于 A 的 做 A,B 的交集. 记 叫 做 A,B 的 并 元素组成的集合, 叫 做 S 中子集 A 的补集 作 A? B (读作 ‘A 集. 记作: A? B (读 (或余集) 作‘A 并 B’ ) ,即 记作 C S A ,即 交 B’ ) ,即 A ? B= A ? B ={x|x ? A,或 { x|x ? A , 且
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x ? B} . 性 A ? A=A A ? Φ=Φ 质 A ? B=B ? A A? B?A A? B?B

x ? B}). A ? A=A A ? Φ=A A ? B=B ? A A ? B ?A A ? B ?B

CSA= {x | x ? S , 且x ? A} (CuA) ? (CuB) = Cu (A ? B) (CuA) ? (CuB) = Cu(A ? B) A ? (CuA)=U A ? (CuA)= Φ.

例题: 1.下列四组对象,能构成集合的是 ( ) A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自 身的实数 2.集合{a,b,c }的真子集共有 个 2 3.若集合 M={y|y=x -2x+1,x ? R},N={x|x≥0},则 M 与 N 的关系是 . 4.设集合 A= ? x 1 ? x ? 2? ,B= ? x x ? a? ,若 A ? B,则 a 的取值范围是 5.50 名学生做的物理、化学两种实验,已知物理实验做得 正确得有 40 人,化学实验做得正确得有 31 人, 两种实验都做错得有 4 人,则这两种实验都做对的有 人。 6. 用描述法表示图中阴影部分的点(含边界上的点)组成 的集合 M= . 2 7.已知集合 A={x| x +2x-8=0}, B={x| x2-5x+6=0}, C={x| x2-mx+m2-19=0}, 若 B∩C≠Φ,A∩C=Φ,求 m 的值

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二、函数的有关概念 1.定义域: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零; (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的 . 那么,它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的 集合. (6)指数为零底不可以等于零, (7) 实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意 义. ? 相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量 和函数值的字母无关) ; ②定义域一致 (两点必须同时 具备) 2.值域 : 先考虑其定义域 3. 函数图象 常用变换方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换 4.映射 可一对一、多对一 补充:复合函数 如果 y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x ∈A) 称为 f、g 的复合函数。 二.函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) .函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: 1 ○ 2 ○ 3 ○ 4 ○ 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; 作差 f(x1)-f(x2); 变形(通常是因式分解和配方) ; 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ;

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5 ○

下结论 (指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) .

(B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x), y=f(u)的单调性密切相关,其规律: ?同增异减? 2.函数的奇偶性(整体性质) 具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称; 奇函数的图象关于原点对称. 利用定义判断函数奇偶性的步骤: 1 首先确定函数的定义域, 并判断其是否关于原点对 ○ 称; 2 确定 f(-x)与 f(x)的关系; ○ 3 作出相应结论: 若 f(-x) = f(x) ○ 或 f(-x)-f(x)

= 0,则 f(x)是偶函数;若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+ f(x) = 0,则 f(x)是奇函数. 3、求函数的解析式的主要方法有: 1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法 4.函数最大(小)值 例题: 1.求下列函数的定义域:
2 ⑴ y ? x ? 2 x ? 15

x?3 ?3

⑵ y ? 1 ? ( x ? 1)2
x ?1

2.设函数 f ( x ) 的定义域为 [0,1] ,则函数 f ( x 2 ) 的定义域为_

_

3.若函数 f ( x ? 1) 的定义域为 [?2,3] ,则函数 f (2 x ?1) 的定义域是 4.函数 f ( x) ? ? x 2 (?1 ? x ? 2) ,若 f ( x) ? 3 ,则 x =
? ?2 x( x ? 2) ? ? x ? 2( x ? ?1)

5.求下列函数的值域: ⑴ y ? x2 ? 2 x ? 3
( x ? R)

⑵ y ? x2 ? 2x ? 3 x ?[1, 2]
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(3) y ? x ? 1 ? 2x

(4) y ? ? x2 ? 4x ? 5

6.已知函数 f ( x ?1) ? x2 ? 4x ,求函数 f ( x) , f (2x ? 1) 的解析式 7.已知函数 f ( x) 满足 2 f ( x) ? f (?x) ? 3x ? 4 ,则 f ( x) = 。

8.设 f ( x) 是 R 上的奇函数,且当 x ? [0, ??) 时, f ( x) ? x(1 ? 3 x ) ,则当 x ? (??, 0) 时

f ( x) =
f ( x) 在 R 上的解析式为

9.求下列函数的单调区间: ⑴ y ? x2 ? 2 x ? 3 ⑵ y ? ? x2 ? 2x ? 3 ⑶ y ? x2 ? 6 x ?1

10.判断函数 y ? ? x 3 ? 1 的单调性并证明你的结论. 11.设函数 f ( x) ? 1 ? x 2 判断它的奇偶性并且求证: f ( 1 ) ? ? f ( x) .
2

1? x

x

第二章 基本初等函数 一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果 x n ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n >1,且 n ∈ N *. ? 负数没有偶次方根; 0 的任何次方根都是 0 ,记作
n

0 ? 0。
n

当 n 是 奇 数 时 ,
n

an ? a , 当 n 是 偶 数 时 ,

?a (a ? 0) a n ?| a |? ? ?? a (a ? 0)
2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定:

a ? n a m (a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)
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m n



a a ? 0 的正分数指数幂等于 0, 0 的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质
r r r ?s (1) a 〃 a ? a

a

?

m n

?

1
m n

?

1
n m

(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

(a ? 0, r , s ? R) ;
(a ? 0, r , s ? R) ; (a ? 0, r , s ? R) .

r s rs (2) (a ) ? a r r s (3) (ab) ? a a

(二)指数函数及其性质 1、 指数函数的概念: 一般地, 函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 叫 做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域为 R. 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零 和 1. 2、指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1
6 6 5 5

4

4

3

3

2

2

1

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

定义域 R 值域 y>0 在 R 上单调递 增 非奇非偶函数 函数图象都过 定点(0,1)

定义域 R 值域 y>0 在 R 上单调递 减 非奇非偶函数 函数图象都过 定点(0,1)

注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1) 在[a, b]上, f (x) ? a x (a ? 0且a ? 1) 值域是 [f (a ), f (b)]

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或 [f (b), f (a )]; (2)若 x ? 0 ,则 f (x ) ? 1 ; f ( x ) 取遍所有正数当且仅当
x?R ;

(3)对于指数函数 f (x) ? a x (a ? 0且a ? 1) ,总有 f (1) ? a ; 二、对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地,如果 a x ? N (a ? 0, a ? 1) ,那么 数 x 叫做以 .a 为底 ..N 的对数,记作: x ? loga N ( a — 底 数, N — 真数, loga N — 对数式) 说明:○ 1 注意底数的限制 a ? 0 ,且 a ? 1 ; 2 ○ 3 ○ 1 ○ 2 ○

a x ? N ? loga N ? x ;
注意对数的书写格式.

loga N

两个重要对数: 常用对数:以 10 为底的对数 lg N ; 自然对数: 以无理数 e ? 2.71828 ? 为底的对数的对数

ln N . ? 指数式与对数式的互化

幂值

真数

ab = N ? log a N = b

底数 指数 对数 (二)对数的运算性质 如果 a ? 0 ,且 a ? 1 , M ? 0 , N ? 0 ,那么:
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1 ○ 2 ○ 3 ○

loga (M 〃 N ) ? loga M + loga N ;
log a M ? loga M - loga N ; N

loga M n ? n loga M (n ? R) .
logc b ( a ? 0 ,且 a ?1 ; c ? 0 ,且 c ? 1 ; logc a

注意:换底公式

loga b ?

b ? 0) . 利用换底公式推导下面的结论

(1) log a b n ?
m

1 n (2) loga b ? . log a b ; m logb a

(二)对数函数 1、对数函数的概念:函数 y ? loga x(a ? 0 ,且 a ? 1) 叫做 对数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是(0,+≦) . 注意:○ 1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定 义,注意辨别。如: y ? 2 log2 x , y ? log 5 函数,而只能称其为对数型函数. 2 ○ 对数函数对底数的限制: (a ? 0 ,且 a ? 1) . 0<a<1
3 2.5 2 1.5

x 5

都不是对数

2、对数函数的性质: a>1
3 2.5 2 1.5

1
-1

1

1
1

1

0.5

0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

定义域 x>0 值域为 R 在 R 上递增 函数图象都 过定点(1,

定义域 x>0 值域为 R 在 R 上递减 函数图象都过定 点(1,0)
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0) (三)幂函数 1、幂函数定义:一般地,形如 y ? x ? (a ? R) 的函数称为 幂函数,其中 ? 为常数. 2、幂函数性质归纳. (1)所有的幂函数在(0,+≦)都有定义并且图象都过 点(1,1) ;

? ? 0 时, (2) 幂函数的图象通过原点, 并且在区间 [0,??)
上是增函数.特别地,当 ? ? 1 时,幂函数的图象下凸; 当 0 ? ? ? 1时,幂函数的图象上凸;

? ? 0 时, (3) 幂函数的图象在区间 (0,??) 上是减函数. 在
第一象限内,当 x 从右边趋向原点时,图象在 y 轴右方无 限地逼近 y 轴正半轴,当 x 趋于 ? ? 时,图象在 x 轴上方 无限地逼近 x 轴正半轴. 例题: 1. 已知 a>0,a 0,函数 y=ax 与 y=loga(-x)的图象只能是 )

(

2. 计 算 :
253
1



log3 2 ? log27 64

; ② 2 4? log

2

3

=



log5 27 ? 2 log5 2

= ③ 0.064 ?
1 3

;
1 7 ?4 ? (? ) 0 ? [( ?2) 3 ] 3 ? 16 ?0.75 ? 0.01 2 8

=

3.函数 y=log 1 (2x2-3x+1)的递减区间为
2

4.若函数 f ( x) ? loga x(0 ? a ? 1) 在区间 [a, 2a] 上的最大值是最小值的 3 倍,则 a=
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5.已知 f ( x) ? loga 1 ? x (a ? 0且a ? 1) , (1)求 f ( x) 的定义域(2)求使 f ( x) ? 0 的 x 的取
1? x

值范围 第三章 函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1 、函数零点的概念:对于函数 y ? f ( x)(x ? D) ,把使
f ( x) ? 0 成立的实数 x 叫做函数 y ? f ( x)(x ? D) 的零点。

2 、 函 数 零 点 的 意 义 : 函 数 y ? f ( x) 的 零 点 就 是 方 程
f ( x) ? 0 实数根,亦即函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴交点的

横坐标。 即:方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴 有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有零点. 3、函数零点的求法: 1 ○ (代数法)求方程 f ( x) ? 0 的实数根;

2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与 ○ 函数 y ? f ( x) 的图象联系起来,并利用函数的性质找出零 点. 4、二次函数的零点:二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) . (1)△>0,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 有两不等实根,二次函 数的图象与 x 轴有两个交点,二次函数有两个零点. (2)△=0,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 有两相等实根,二次函 数的图象与 x 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或 二阶零点. (3)△<0,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 无实根,二次函数的图 象与 x 轴无交点,二次函数无零点.
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