琅琊区第一中学2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题

琅琊区第一中学 2018-2019 学年下学期高二期中数学模拟题 一、选择题
1. 连续抛掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n,记向量 =(m,n),向量 =(1,﹣2),则 ⊥ 的概率 是( A. 班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________ ___________________________________________________________________________________________________ ) B. C. D. =2.7,则由该观测数据算得的线性回归方 =﹣2x+8.6 )

2. 已知变量 x 与 y 负相关,且由观测数据算得样本平均数 =3, 程可能是( A. ) B. =0.4x+1.5 C. =2x﹣3.2 D. =﹣0.2x+3.3

3. 已知点 M(a,b,c)是空间直角坐标系 O﹣xyz 中的一点,则与点 M 关于 z 轴对称的点的坐标是( A.(a,﹣b,﹣c) B.(﹣a,b,﹣c) C.(﹣a,﹣b,c) D.(﹣a,﹣b,﹣c)

2 4. 独立性检验中, ≈0.01 假设 H0: 变量 X 与变量 Y 没有关系. 则在 H0 成立的情况下, 估算概率 P (K ≥6.635)

表示的意义是(



A.变量 X 与变量 Y 有关系的概率为 1% B.变量 X 与变量 Y 没有关系的概率为 99% C.变量 X 与变量 Y 有关系的概率为 99% D.变量 X 与变量 Y 没有关系的概率为 99.9% 5. 如图,某几何体的正视图(主视图),侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形,等腰三角形和菱形, 则该几何体体积为( )

A.

B.4

C.

D.2

6. 设 m、n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m⊥α,n∥α,则 m⊥n;②若 α∥β,β∥γ,m⊥α,则 m⊥γ; ③若 m⊥α,n⊥α,则 m∥n;④若 α⊥β,m⊥β,则 m∥α; 其中正确命题的序号是(
3 2

) D.①③

A.①②③④ B.①②③ C.②④ ①f(0)f(1)>0; ②f(0)f(1)<0; ③f(0)f(3)>0;

7. 已知 f(x)=x ﹣6x +9x﹣abc,a<b<c,且 f(a)=f(b)=f(c)=0.现给出如下结论:

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④f(0)f(3)<0. 其中正确结论的序号是( A.①③ 然数为( A.11 题的个数为( A.0 B.1 ) C.2 ) B. N ? P ? M
x

) C.②③ D.②④

B.①④ )

8. 若 {an } 为等差数列, Sn 为其前项和,若 a1 ? 0 , d ? 0 , S4 ? S8 ,则 Sn ? 0 成立的最大自 B.12 C.13 D.14

9. 直线 l?平面 α,直线 m?平面 α,命题 p:“若直线 m⊥α,则 m⊥l”的逆命题、否命题、逆否命题中真命 D.3

10.集合 M ? ?x | x ? 4k ? 2, k ? Z ? , N ? ?x | x ? 2k , k ? Z? , P ? ?x | x ? 4k ? 2, k ? Z? ,则 M ,

N , P 的关系(
A. M ? P ? N A. ?1,10? 12.设函数 f ? x ? ? e 取值范围是( A.? ?
x

C. M ? N ? P ) C. ? 0,1?

D. M ? P ? N D. ?10, ?? ?

11.函数 f ? x ? ? a loga x ?1 有两个不同的零点,则实数的取值范围是( B. ?1, ?? ? ) B.? ?

? 2x ?1? ? ax ? a ,其中 a ? 1 ,若存在唯一的整数,使得 f ?t ? ? 0 ,则的
? 3 3? , ? ? 2e 4 ?
C.?

? 3 ? ,1? ? 2e ?

? 3 3? , ? ? 2e 4 ?

D.?

?3 ? ,1? 1111] ? 2e ?

二、填空题
13.已知正四棱锥 O ? ABCD 的体积为 2 ,底面边长为 3 , 则该正四棱锥的外接球的半径为_________

14.已知点 A 的坐标为(﹣1,0),点 B 是圆心为 C 的圆(x﹣1)2+y2=16 上一动点,线段 AB 的垂直平分线 交 BC 与点 M,则动点 M 的轨迹方程为 .

2 15.已知函数 f ( x ) ? 3( x ? 2) ? 5 ,且 | x1 ? 2 |?| x2 ? 2 | ,则 f ( x1 ) , f ( x2 ) 的大小关系





16.等差数列 {an } 的前项和为 Sn ,若 a3 ? a7 ? a11 ? 6 ,则 S13 等于_________. 17.在数列 中,则实数 a= ,b= . + =1 表示的焦点

18.已知命题 p:实数 m 满足 m2+12a2<7am(a>0),命题 q:实数 m 满足方程 在 y 轴上的椭圆,且 p 是 q 的充分不必要条件,a 的取值范围为
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三、解答题
19.本小题满分 10 分选修 4 ? 1 :几何证明选讲 如图, ?ABC 是⊙ O 的内接三角形, PA 是⊙ O 的切线,切点为 A , PB 交 AC 于点 E ,交⊙ O 于点 D ,

PA ? PE , ?ABC ? 45? , PD ? 1 , DB ? 8 .
Ⅰ求 ?ABP 的面积; Ⅱ求弦 AC 的长.

A

O

E

D

P

B

C

20.已知函数 f(x)= x3﹣ x2+cx+d 有极值. (Ⅰ)求 c 的取值范围;
2 (Ⅱ)若 f(x)在 x=2 处取得极值,且当 x<0 时,f(x)< d +2d 恒成立,求 d 的取值范围.

21.已知等差数列{an}的首项和公差都为 2,且 a1、a8 分别为等比数列{bn}的第一、第四项. (1)求数列{an}、{bn}的通项公式; (2)设 cn= ,求{cn}的前 n 项和 Sn.

22.已知 f(x)=x2﹣(a+b)x+3a. (1)若不等式 f(x)≤0 的解集为[1,3],求实数 a,b 的值; (2)若 b=3,求不等式 f(x)>0 的解集.

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23. 在某大学自主招生考试中, 所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科 目的考试,成绩分为 A,B,C,D,E 五个等级.某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示,其中“数 学与逻辑”科目的成绩为 B 的考生有 10 人.

(Ⅰ)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为 A 的人数; (Ⅱ)若等级 A,B,C,D,E 分别对应 5 分,4 分,3 分,2 分,1 分,求该考场考生“数学与逻辑”科目的 平均分; (Ⅲ)已知参加本考场测试的考生中,恰有两人的两科成绩均为 A.在至少一科成绩为 A 的考生中,随机抽 取两人进行访谈,求这两人的两科成绩均为 A 的概率.

24.(本题满分 14 分)已知两点 P(0,?1) 与 Q(0,1) 是直角坐标平面内两定点,过曲线 C 上一点 M ( x, y ) 作 y

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轴的垂线,垂足为 N ,点 E 满足 ME ? (1)求曲线 C 的方程;

2 MN ,且 QM ? PE ? 0 . 3

(2)设直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为

3 ,求 ?AOB 面积的最大值. 2

【命题意图】本题考查向量的基本运算、轨迹的求法、直线与椭圆的位置关系,本题知识交汇性强,最值的求 解有一定技巧性,同时还要注意特殊情形时三角形的面积.总之该题综合性强,难度大.

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琅琊区第一中学 2018-2019 学年下学期高二期中数学模拟题(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】A 【解析】解:因为抛掷一枚骰子有 6 种结果,设所有连续抛掷两次骰子得到的点数为(m,n),有 36 种可能, 而使 ⊥ 的 m,n 满足 m=2n,这样的点数有(2,1),(4,2),(6,3)共有 3 种可能; 由古典概型公式可得 ⊥ 的概率是: 故选:A. 【点评】本题考查古典概型,考查用列举法得到满足条件的事件数,是一个基础题. 2. 【答案】A 【解析】解:变量 x 与 y 负相关,排除选项 B,C; 回归直线方程经过样本中心, 把 =3, 故选:A. 3. 【答案】C 【解析】解:∵在空间直角坐标系中, 点(x,y,z)关于 z 轴的对称点的坐标为:(﹣x,﹣y,z), ∴点 M(a,b,c)关于 z 轴的对称点的坐标为: (﹣a,﹣b,c). 故选:C. 【点评】本小题主要考查空间直角坐标系、空间直角坐标系中点的坐标特征等基础知识,考查运算求解能力, 考查数形结合思想、化归与转化思想,属于基础题. 4. 【答案】C
2 【解析】解:∵概率 P(K ≥6.635)≈0.01,



=2.7,代入 A 成立,代入 D 不成立.

∴两个变量有关系的可信度是 1﹣0.01=99%, 即两个变量有关系的概率是 99%, 故选 C. 【点评】本题考查实际推断原理和假设检验的应用,本题解题的关键是理解所求出的概率的意义,本题是一个 基础题. 5. 【答案】C 【解析】解:由已知中该几何中的三视图中有两个三角形一个菱形可得 这个几何体是一个四棱锥

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由图可知,底面两条对角线的长分别为 2 故底面棱形的面积为 侧棱为 2 故 V= 故选 C 6. 【答案】B ,则棱锥的高 h= =2 =2

,2,底面边长为 2

=3

【解析】解:由 m、n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面: 在①中:若 m⊥α,n∥α,则由直线与平面垂直得 m⊥n,故①正确; 在②中:若 α∥β,β∥γ,则 α∥γ, ∵m⊥α,∴由直线垂直于平面的性质定理得 m⊥γ,故②正确; 在③中:若 m⊥α,n⊥α,则由直线与平面垂直的性质定理得 m∥n,故③正确; 在④中:若 α⊥β,m⊥β,则 m∥α 或 m?α,故④错误. 故选:B. 7. 【答案】C 【解析】解:求导函数可得 f′(x)=3x ﹣12x+9=3(x﹣1)(x﹣3), ∵a<b<c,且 f(a)=f(b)=f(c)=0. ∴a<1<b<3<c,
3 2 设 f(x)=(x﹣a)(x﹣b)(x﹣c)=x ﹣(a+b+c)x +(ab+ac+bc)x﹣abc, 3 2 ∵f(x)=x ﹣6x +9x﹣abc, 2

∴a+b+c=6,ab+ac+bc=9, ∴b+c=6﹣a, ∴bc=9﹣a(6﹣a)<
2 ∴a ﹣4a<0,



∴0<a<4, ∴0<a<1<b<3<c, ∴f(0)<0,f(1)>0,f(3)<0, ∴f(0)f(1)<0,f(0)f(3)>0. 故选:C. 8. 【答案】A 【解析】

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考 点:得出数列的性质及前项和. 【方法点晴】本题主要考查了等差出数列的性质及前项和问题的应用,其中解答中涉及到等差数列的性质,等 差数列的前项和等公式的灵活应用的知识点的综合考查, 着重考查了学生分析问题和解答问题的能力, 以及推 理与运算能力,属于中档题,本题的解答中,由“ a1 ? 0 , d ? 0 ”判断前项和的符号问题是解答的关键. 9. 【答案】B 【解析】解:∵直线 l?平面 α,直线 m?平面 α,命题 p:“若直线 m⊥α,则 m⊥l”, ∴命题 P 是真命题,∴命题 P 的逆否命题是真命题; ¬P:“若直线 m 不垂直于 α,则 m 不垂直于 l”, ∵¬P 是假命题,∴命题 p 的逆命题和否命题都是假命题. 故选:B. 10.【答案】A 【解析】 试题分析:通过列举可知 M ? P ? ??2, ?6 考点:两个集合相等、子集.1 11.【答案】B 【解析】

?, N ? ?0, ?2, ?4, ?6 ? ,所以 M ? P ? N .

?1? 试题分析:函数 f ? x ? 有两个零点等价于 y ? ? ? 与 y ? loga x 的图象有两个交点,当 0 ? a ? 1 时同一坐标 ?a? 系中做出两函数图象如图(2),由图知有一个交点,符合题意;当 a ? 1 时同一坐标系中做出两函数图象如图
(1),由图知有两个交点,不符合题意,故选 B.
y
2
2

x

y

1

1

-3

-2

-1 -1

O

1

2

3

x

-4

-3

-2

-1 -1

O

1

2

3

4

x

-2

-2

(1)

(2)

考点:1、指数函数与对数函数的图象;2、函数的零点与函数交点之间的关系. 【方法点睛】本题主要考查指数函数与对数函数的图象、函数的零点与函数交点之间的关系.属于难题.判断方 程 y ? f ? x ? 零点个数的常用方法:①直接法:可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数;②转化

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法:函数 y ? f ? x ? 零点个数就是方程 f ? x ? ? 0 根的个数,结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周 期性、对称性) 可确定函数的零点个数;③数形结合法:一是转化为两个函数 y ? g ? x ? , y ? h ? x ? 的图象的 交点个数问题,画出两个函数的图象,其交点的个数就是函数零点的个数,二是转化为 y ? a, y ? g ? x ? 的交 点个数的图象的交点个数问题.本题的解答就利用了方法③. 12.【答案】D 【解析】

考 点:函数导数与不等式.1 【思路点晴】本题主要考查导数的运用,涉及划归与转化的数学思想方法.首先令 f ? x ? ? 0 将函数变为两个函 数 g ? x? ? e 范围.

? 2x ?1? , h ? x? ? ax ? a ,将题意中的“存在唯一整数,使得 g ?t ? 在直线 h ? x ? 的下方”,转化为 存在唯一的整数,使得 g ? t ? 在直线 h ? x ? ? ax ? a 的下方.利用导数可求得函数的极值,由此可求得 m 的取值
x

二、填空题
13.【答案】

11 8

【解析】因为正四棱锥 O ? ABCD 的体积为 2 ,底面边长为 3 ,所以锥高为 2,设外接球的半径为 R ,依轴 截面的图形可知: R 2 ? ( R ? 2)2 ? (

6 2 11 ) ?R ? 2 8

14.【答案】 连接 MA,则|MA|=|MB|,

=1

【解析】解:由题意得,圆心 C(1,0),半径等于 4, ∴|MC|+|MA|=|MC|+|MB|=|BC|=4>|AC|=2, 故点 M 的轨迹是:以 A、C 为焦点的椭圆,2a=4,即有 a=2,c=1, ∴b= , =1. =1.

∴椭圆的方程为 故答案为:

【点评】本题考查用定义法求点的轨迹方程,考查学生转化问题的能力,属于中档题.

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15.【答案】 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 111.Com] 【 解 析 】

考 点:不等式,比较大小. 【思路点晴】本题主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用. 分析二次函数的图 象,主要有两个要点:一个是看二次项系数的符号,它确定二次函数图象的开口方向;二是看对称轴和最值, 它确定二次函数的具体位置. 对于函数图象判断类似题要会根据图象上的一些特殊点进行判断, 如函数图象与 正半轴的交点,函数图象的最高点与最低点等. 16.【答案】 26 【解析】 试题分析:由题意得,根据等差数列的性质,可得 a3 ? a7 ? a11 ? 3a7 ? 6 ? a7 ? 2 ,由等差数列的求和

S13 ?

13(a1 ? a13 ) ? 13a7 ? 26 . 2
,b= .

考点:等差数列的性质和等差数列的和. 17.【答案】a=

【解析】解:由 5,10,17,a﹣b,37 知, a﹣b=26, 由 3,8,a+b,24,35 知, a+b=15, 解得,a= 故答案为: ,b= , ; .

【点评】本题考查了数列的性质的判断与归纳法的应用. 18.【答案】 [ , ] .
2 2 【解析】解:由 m ﹣7am+12a <0(a>0),则 3a<m<4a

即命题 p:3a<m<4a, 实数 m 满足方程 + =1 表示的焦点在 y 轴上的椭圆,





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,解得 1<m<2, 若 p 是 q 的充分不必要条件, 则 解得 , ,

故答案为[ , ]. 【点评】本题考查充分条件、必要条件,一元二次不等式的解法,根据不等式的性质和椭圆的性质求出 p,q 的等价条件是解决本题的关键.

三、解答题
19.【答案】 【解析】Ⅰ 又∵ PA ? PE

PA 是⊙ O 的切线,切点为 A

∴ ?PAE ? ?ABC ? 45?

∴ ?PEA ? 45 ? , ?APE ? 90 ?

2 由于 PD ? 1 , DB ? 8 ,所以由切割线定理可知 PA ? PD ? PB ? 9 ,既 EP ? PA ? 3

1 27 BP ? PA ? . 2 2 Ⅱ在 Rt ?APE APE 中,由勾股定理得 AE ? 3 2
故 ?ABP 的面积为 由于 ED ? EP ? PD ? 2 , EB ? DB ? DE ? 6 ,所以由相交弦定理得

EC ? EA ? EB ? ED ? 12
20.【答案】

所以 EC ?

12 3 2

? 2 2 ,故 AC ? 5 2 .

3 2 【解析】解(Ⅰ)∵f(x)= x ﹣ x +cx+d, 2 2 ∴f′(x)=x ﹣x+c,要使 f(x)有极值,则方程 f′(x)=x ﹣x+c=0 有两个实数解,

从而△=1﹣4c>0, ∴c< . (Ⅱ)∵f(x)在 x=2 处取得极值, ∴f′(2)=4﹣2+c=0, ∴c=﹣2.
3 2 ∴f(x)= x ﹣ x ﹣2x+d, 2 ∵f′(x)=x ﹣x﹣2=(x﹣2)(x+1),

∴当 x∈(﹣∞,﹣1]时,f′(x)>0,函数单调递增,当 x∈(﹣1,2]时,f′(x)<0,函数单调递减. ∴x<0 时,f(x)在 x=﹣1 处取得最大值 ∵x<0 时,f(x)< ∴ < 恒成立, ,

,即(d+7)(d﹣1)>0,

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∴d<﹣7 或 d>1, 即 d 的取值范围是(﹣∞,﹣7)∪(1,+∞). 【点评】本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件,导数在最大值,最小值问题中的应用,其中根据已 知中函数的解析式,求出函数的导函数的解析式,是解答本题的关键. 21.【答案】 【解析】解:(1)由等差数列通项公式可知:an=2+(n﹣1)2=2n, 当 n=1 时,2b1=a1=2,b4=a8=16,…3 设等比数列{bn}的公比为 q,则 ∴q=2,…5 ∴ …6 (2)由(1)可知:log2bn+1=n…7 ∴ ∴ ∴{cn}的前 n 项和 Sn,Sn= .…12 , …9 ,…4

【点评】本题考查等比数列及等差数列通项公式,等比数列性质,考查“裂项法”求数列的前 n 项和,考查计算 能力,属于中档题. 22.【答案】 【解析】解:(1)∵函数 f(x)=x2﹣(a+b)x+3a, 当不等式 f(x)≤0 的解集为[1,3]时, 方程 x2﹣(a+b)x+3a=0 的两根为 1 和 3, 由根与系数的关系得 , 解得 a=1,b=3; (2)当 b=3 时,不等式 f(x)>0 可化为 x2﹣(a+3)x+3a>0, 即(x﹣a)(x﹣3)>0; ∴当 a>3 时,原不等式的解集为:{x|x<3 或 x>a}; 当 a<3 时,原不等式的解集为:{x|x<a 或 x>3}; 当 a=3 时,原不等式的解集为:{x|x≠3,x∈R}. 【点评】本题考查了含有字母系数的一元二次不等式的解法和应用问题,是基础题目. 23.【答案】

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【解析】解:(Ⅰ)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为 B 的考生有 10 人, 所以该考场有 10÷0.25=40 人, 所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为 A 的人数为: 40×(1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025)=40×0.075=3 人; (Ⅱ)该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为: ×=2.9; (Ⅲ)因为两科考试中,共有 6 人得分等级为 A,又恰有两人的两科成绩等级均为 A, 所以还有 2 人只有一个科目得分为 A, 设这四人为甲,乙,丙,丁,其中甲,乙是两科成绩都是 A 的同学, 则在至少一科成绩等级为 A 的考生中,随机抽取两人进行访谈,基本事件空间为: Ω ={{甲,乙},{甲,丙},{甲,丁},{乙,丙},{乙,丁},{丙,丁}},一共有 6 个基本事件. 设“随机抽取两人进行访谈,这两人的两科成绩等级均为 A”为事件 B,所以事件 B 中包含的基本事件有 1 个, 则 P(B)= .

【点评】本小题主要考查统计与概率的相关知识,具体涉及到频率分布直方图、平均数及古典概型等内容. 24.【答案】 【解析】(1)依题意知 N (0, y) ,∵ ME ? 则 QM ? ( x, y ? 1) , PE ? ( x, y ? 1) ∵ QM ? PE ? 0 ,∴ x ?

2 2 2 1 MN ? (? x,0) ? (? x,0) ,∴ E ( x, y ) 3 3 3 3

1 3

…………2 分

1 x2 x ? ( y ? 1)( y ? 1) ? 0 ,即 ? y 2 ? 1 3 3

x2 ? y 2 ? 1 …………4 分 ∴曲线 C 的方程为 3

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