高中数学北师大版选修2-2第3章《导数的实际应用》(第2课时)word教案[www.7cxk.net]

第二课时 一、教学目标: 导数的实际应用(二) 1、使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用; 2、提高将实际问题转化为数学问题的能力。 二、教学重点:利用导数解决生活中的一些优化问题. 教学难点:利用导数解决生活中的一些优化问题. 三、教学方法:探究归纳,讲练结合 四、教学过程: (一) .创设情景 生活中经常遇到求利润最大、 用料最省、 效率最高等问题, 这些问题通常称为优化问题. 通 过前面的学习,我们知道,导数是求函数最大(小)值的有力工具.这一节,我们利用导数, 解决一些生活中的优化问题.b5E2RGbCAP (二) .新课探究 导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题,主要有以下 几个方面: 1、与几何有关的最值问题; 2、与物理学有关的最值问题; 3、与利润及其成本有关的最值问题; 4、效率最值问题。 解决优化问题的方法:首先是需要分析问题中各个变量之间的关系,建立适当的函数关 系,并确定函数的定义域,通过创造在闭区间内求函数取值的情境,即核心问题是建立适当的 函数关系。再通过研究相应函数的性质,提出优化方案,使问题得以解决,在这个过程中,导 数是一个有力的工具.p1EanqFDPw 利用导数解决优化问题的基本思路: 1 / 7 建立数学模型 优化问题 用函数表示的数学问题 解决数学模型 优化问题的答 案 (三) .典例分析 作答 用导数解决数学问题 例 1、海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动,通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图 1.4-1 所 示的竖向张贴的海报,要求版心面积为 128dm2,上、下两边各空 2dm,左、右两边各空 1dm。如 何设计海报的尺寸,才能使四周空心面积最小?DXDiTa9E3d 解:设版心的高为 xdm,则版心的宽为 dm,此时四周空白面积为 。 求导数,得 。 令 于是宽为 当 因此, 时, 是函数 ,解得 。 <0;当 时, >0. 舍去) 。 的极小值,也是最小值点。所以,当版心高为 16dm,宽为 8dm 时,能使四周空白面积最小。 答:当版心高为 16dm,宽为 8dm 时,海报四周空白面积最小。 例 2、饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 (1)你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些?(2)是不是 饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?RTCrpUDGiT 【背景知识】 :某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是 其中 分, 是瓶子的半径,单位是厘米。已知每出售 1 mL 的饮料,制造商可获利 0.2 分,且制 造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm5PCzVD7HxA 问题: (1)瓶子的半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大?(2)瓶子的半径多大时, 每瓶的利润最小? 2 / 7 解:由于瓶子的半径为 ,所以每瓶饮料的利润是 令 当 当半径 当半径 时, 时, 时, 解得 ;当 它表示 它表示 ( 时, 舍去) . 单调递增,即半径越大,利润越高; 单调递减,即半径越大,利润越低. ,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的 (1)半径为 cm 时,利润最小,这时 成本,此时利润是负值. (2)半径为 cm 时,利润最大. 换一个角度:如果我们不用导数工具,直接从函数的图像上观察,会有什么发现? 有图像知:当 恰好相等;当 当 时, ,即瓶子的半径为 3cm 时,饮料的利润与饮料瓶的成本 时,利润才为正值. 时, , 为减函数,其实际意义为:瓶子的半径小于 2cm 时,瓶 子的半径越大,利润越小,半径为 cm 时,利润最小.jLBHrnAILg (四) .课堂练习 1.用总长为 14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制作的容器的底面的一边 比另一边长 0.5m,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积. (高为 1.2 m,最大 容积 )xHAQX74J0X 2.课本 P65 练习题 (五) .回顾总结:1.利用导数解决优化问题的基本思路: 建立数学模型 优化问题 用函数表示的数学问题 解决数学模型 优化问题的答 案 作答 用导数解决数学问题 2.解决优化问题的方法:通过搜集大量的统计数据,建立与其相应的数学模型,再通过 研究相应函数的性质,提出优化方案,使问题得到解决.在这个过程中,导数往往是一个有利 3 / 7 的工具。LDAYtRyKfE (六) .布置作业:1、一条水渠,断面为等腰梯形,如图所示,在确定断面尺寸时,希 望在断面 ABCD 的面积为定值 S 时, 使得湿周 l=AB+BC+CD 最小, 这样可使水流阻力小, 渗透少, 求此时的高 h 和下底边长 b. Zzz6ZB2Ltk 解:由梯形面积公式,得 S= (AD+BC)h,其中 AD=2DE+BC,DE= h,BC=b ∴AD= h+b, ∴S= ① ∵CD= ,AB=CD.∴l= ×2+b ② 由①得 b= h,代入②,∴l= l′= =0,∴h= , 当 h< 时,l′<0,h> 时,l′>0. ∴h= 时,l 取最小值,此时 b= 2、已知矩形的两个顶点位于 x 轴上,另两个顶点位于抛物线 y =4-x2 在 x 轴上方的曲 线上,求这种矩形中面积最大者的边长.dvzfvkwMI1 【解】设位于抛物线上的矩形的一个顶点为(x,y) ,且 x >0,y >0, 则另一个在抛物线上的顶点为(-x,y) ,在 x 轴上的两个顶点为(-x,0) 、 (x,0) , 其中 0< x <2.设矩形的面积为 S,则 S =2 x(4-x2) ,0< x <2.由 S′(x)=8-6 x2 =0,得 x = ,易知 x = 是 S 在(0,2)上的极值点,即是最大值点,rqyn14ZNXI 和 . 所以这种矩形中面积最大者的边长为 【点评】应用题求解,要正确写出目标函数并明确题意

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