2018-2019学年高中数学人教A版选修2-2学案:第二章 2.3 数学归纳法 Word版含解析

数学归纳法 预习课本 P92~95,思考并完成下列问题 (1)数学归纳法的概念是什么?适用范围是什么? (2)数学归纳法的证题步骤是什么? [新知初探] 1.数学归纳法的定义 一般地,证明一个与正整数 n 有关的命题,可按下列步骤进行 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立.这种证明 方法叫做数学归纳法. 2.数学归纳法的框图表示 [点睛] 数学归纳法证题的三个关键点 (1)验证是基础 数学归纳法的原理表明:第一个步骤是要找一个数 n0,这个 n0,就是我们要证明的命 题对象对应的最小自然数,这个自然数并不一定都是“1”,因此“找准起点,奠基要稳” 是第一个关键点. (2)递推是关键 数学归纳法的实质在于递推,所以从“k”到“k+1”的过程中,要正确分析式子项数 的变化.关键是弄清等式两边的构成规律,弄清由 n=k 到 n=k+1 时,等式的两边会增加 多少项,增加怎样的项. (3)利用假设是核心 在第二步证明 n=k+1 成立时,一定要利用归纳假设,即必须把归纳假设“n=k 时命 题成立”作为条件来导出“n=k+1”, 在书写 f(k+1)时, 一定要把包含 f(k)的式子写出来, 尤其是 f(k)中的最后一项, 这是数学归纳法的核心. 不用归纳假设的证明就不是数学归纳法. [小试身手] 1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)与正整数 n 有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.( (2)数学归纳法的第一步 n0 的初始值一定为 1.( (3)数学归纳法的两个步骤缺一不可.( 答案:(1)× (2)× (3)√ ) ) ) 2.如果命题 p(n)对所有正偶数 n 都成立,则用数学归纳法证明时须先证 n=________ 成立. 答案:2 1 1 1 3 5 3.已知 f(n)=1+ + +…+ (n∈N*),计算得 f(2)= ,f(4)>2,f(8)> ,f(16)>3, n 2 3 2 2 7 f(32)> ,由此推测,当 n>2 时,有______________. 2 n+ 2 答案:f(2n)> 2 用数学归纳法证明等式 [典例] 用数学归纳法证明: n(n+1) n2 12 22 + +…+ = (n∈N*). 1×3 3×5 (2n-1)(2n+1) 2(2n+1) 1×2 12 [证明] (1)当 n=1 时, = 成立. 1×3 2×3 (2)假设当 n=k(n∈N*)时等式成立,即有 k(k+1) k2 12 22 + +…+ = , 1×3 3×5 (2k-1)(2k+1) 2(2k+1) 则当 n=k+1 时, k2 12 22 + +…+ + 1×3 3×5 (2k-1)(2k+1) (k+1)2 k(k+1) (k+1)2 = + (2k+1)(2k+3) 2(2k+1) (2k+1)(2k+3) = (k+1)(k+2) , 2(2k+3) 即当 n=k+1 时等式也成立. 由(1)( 2)可得对于任意的 n∈N*等式都成立. 用数学归纳法证明恒等式应注意的三点 用数学归纳法证明恒等式时,一是弄清 n 取第一个值 n0 时等式两端项的情况;二是弄 清从 n=k 到 n=k+1 等式两端增加了哪些项,减少了哪些项;三是证明 n=k+1 时结论也 成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝 n=k+1 证明目标的表达式变形. [活学活用] 1 1 1 1 1 1 1 1 求证:1- + - +…+ - = + +…+ (n∈N*). 2 3 4 2n 2n-1 2n n+1 n+2 1 1 证明:(1)当 n=1 时,左边=1- = , 2 2 右边= 1 1 = ,左边=右边. 1+1 2 1 1 1 1 1 1 1 (2)假设 n=k(k∈N*)时等式成立,即 1- + - +…+ - = + +…+ 2 3 4 2k-1 2k k+1 k+2 1 , 2k 则当 n=k+1 时, ?1-1+1-1+…+ 1 - 1 ?+? 1 - 1 ? 2k-1 2k? ?2k+1 2k+2? ? 2 3 4 1 1 1 1 1 =?k+1+k+2+…+2k?+?2k+1-2k+2? ? ? ? ? = 1 1 1 1 + +… + + . k+2 k+3 2k+1 2k+2 即当 n=k+1 时,等式也成立. 综合(1),(2)可知,对一切 n∈N*,等式成立. 用数学归纳法证明不等式 [典例] 已知 n∈N*,n>2, 1 1 1 + +…+ > n+1. n 2 3 1 1 + ,右边= 3+1=2,左边>右边,不等式成 2 3 求证:1+ [证明] (1)当 n=3 时,左边=1+ 立. (2)假设当 n=k(k∈N*,k≥3)时,不等式成立, 即 1+ 1 1 1 + +…+ > k+1. k 2 3 当 n=k+1 时, 1+ = 1 1 1 1 1 + +…+ + > k+1+ k 2 3 k+1 k +1 k+1+1 k+2 = . k+1 k+1 k+2 k+1 > k+2 = k+2= (k+1)+1, k+2 因为 所以 1+ 1 1 1 1 + +…+ + > (k+1)+1. k 2 3 k+1 所以当 n=k+1 时,不等式也成立. 由(1),(2)知对一切 n∈N*,n>2,不等式恒成立. [一题多变] 1.[变条件,变设问]将本题中所要证明的不等式改为: 1 1 1 1 5 + + +…+ > (n≥2,n∈N*),如何证明? 3n 6 n+1 n+2 n+3 1 1 1 1 5 证明:(1)当 n=2 时, + + + > ,不等式成立. 3 4 5 6 6 (2)假设当 n=k(k≥2,k∈N*)时,命题成立. 即 1 1 1 5 + +… + > . 3k 6 k+1 k+2 1 1 1 1 1 1 1 + +…+ + + + = + 3k

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