高中数学第三章不等式3.3第二课时一元二次不等式及其解法(习题课)课件新人教b必修5_图文

第二课时 一元二次不等式及其解法(习题课)
解简单的分式不等式 [典例] 解下列不等式: (1)x3+-2x≥0;(2)23x--41x>1. [解] (1)原不等式等价于??????3x-+x2≠??30-,x?≥0, 即??????xx≠+32??x-3?≤0, ?-2≤x<3. ∴原不等式的解集为{x|-2≤x<3}.

(2)原不等式可化为23x--41x-1>0,即34xx--23<0.

等价于(3x-2)(4x-3)<0.

∴23<x<34.

∴原不等式的解集为?????x???23<x<34

??
?.
??

(1)解分式不等式时,要注意先移项,使右边化为零,要注意 含等号的分式不等式的分母不为零.
(2)分式不等式的4种形式及解题思路 ①gf??xx??>0?f(x)g(x)>0; ②gf??xx??<0?f(x)g(x)<0; ③gf??xx??≥0?f(x)g(x)≥0且g(x)≠0?f(x)g(x)>0或f(x)=0; ④gf??xx??≤0?f(x)g(x)≤0且g(x)≠0?f(x)g(x)<0或f(x)=0.

(3)不等式与不等式组的同解关系

①f(x)g(x)≥0??????fg??xx??≥≥00, 或?????fg??xx??≤≤00,,

②f(x)g(x)≤0??????fg??xx??≥≤00, 或?????fg??xx??≤≥00,,

③f(x)g(x)>0????f?x?>0, ??g?x?>0

或?????fg??xx??<<00,,

④f(x)g(x)<0????f?x?>0, 或???f?x?<0,

??g?x?<0

??g?x?>0.

[活学活用]

1.若集合A={x|-1≤2x+1≤3},B=?????x????x-x 2≤0

???,则A∩B=
??

()

A.{x|-1≤x<0}

B.{x|0<x≤1}

C.{x|0≤x≤2}

D.{x|0≤x≤1}

解析:选B ∵A={x|-1≤x≤1},B={x|0<x≤2}, ∴A∩B={x|0<x≤1}.

2.已知关于x的不等式ax+b>0的解集是(1,+∞),则关于x的不

等式axx--2b>0的解集是

()

A.?????x|x<-1或x>2?????

B.?????x|-1<x<2?????

C.?????x|1<x<2?????

D. x|x>2 ??

??

?

?

??

??

解析:选A 依题意,a>0且-ba=1.

axx--2b>0?(ax-b)(x-2)>0????x-ba???(x-2)>0,

即(x+1)(x-2)>0?x>2或x<-1.

不等式中的恒成立问题
[典例] 已知f(x)=x2+2(a-2)x+4,如果对一切x∈R,f(x)>0 恒成立,求实数a的取值范围.
[解] 由题意可知,只有当二次函数f(x)=x2+2(a-2)x+4的图 象与直角坐标系中的x轴无交点时,才满足题意,
则其相应方程x2+2(a-2)x+4=0此时应满足Δ<0,即4(a-2)2 -16<0,解得0<a<4.
故a的取值范围是(0,4).

对于x∈[a,b],f(x)<0(或>0)恒成立,应利用函数图象.
1.已知f(x)=x2+2(a-2)x+4,是否存在实数a,使得对任意x∈ [-3,1],f(x)<0恒成立.若存在求出a的取值范围;若不存在说 明理由.
解:若对任意,x∈[-3,1],f(x)<0恒成立,则 满足题意的函数f(x)=x2+2(a-2)x+4的图象如 图所示.

由图象可知,此时a应该满足?????ff??-1?<3?<0,0, 即?????215+-26aa<<00,, 解得?????aa><-265,12. 这样的实数a是不存在的,所以不存在实数a满足:对任意x∈ [-3,1],f(x)<0恒成立.

对此类问题,要弄清楚哪个是参数,哪个是自变量.
2.已知函数y=x2+2(a-2)x+4,对任意a∈[-3,1],y<0恒成立, 试求x的取值范围. 解:原函数可化为g(a)=2xa+x2-4x+4,是关于a的一元一 次函数. 要使对任意a∈[-3,1],y<0恒成立, 只需满足?????gg??1-?<3?0<,0, 即?????xx22--21x0+x+4<4<0,0. 因为x2-2x+4<0的解集是空集, 所以不存在实数x,使函数y=x2+2(a-2)x+4,对任意a∈ [-3,1],y<0恒成立.

(1)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量,谁是参数.一般 地,知道谁的范围,谁就是自变量,求谁的范围,谁就是参数.分 离参数法是解决不等式恒成立问题的一种行之有效的方法.
a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max(f(x)存在最大值); a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min(f(x)存在最小值). (2)对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次 函数的图象在给定区间上全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次 函数的图象在给定区间上全部在x轴下方.


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