高三文科数学立体几何平行垂直问题专题复习含答案

高三文科数学专题复习:立体几何平行、垂直问题 【基础知识点】 一、平行问题 1. 直线与平面平行的判定与性质 定义 图形 判定定理 性质 性质定理 条件 a∥α 结论 a∥α b∥α a∩α= a∥b 2. 面面平行的判定与性质 判定 定义 图形 定理 性质 条件 α∥β,a?β α∥β α∥β a∥α 结论 a∥b 平行问题的转化关系: 二、垂直问题 一、直线与平面垂直 1. 直线和平面垂直的定义: 直线 l 与平面 α 内的 2.直线与平面垂直的判定定理及推论 文字语言 一条直线与一个平面 判定定理 内的两条相交直线都 垂直,则该直线与此平 面垂直 如果在两条平行直线 推论 中,有一条垂直于平 面,那么另一条直线也 垂直这个平面 3.直线与平面垂直的性质定理 1 都垂直, 就说直线 l 与平面 α 互相垂直. 图形语言 符号语言 文字语言 性质定理 垂直于同一个平面的 两条直线平行 图形语言 符号语言 4.直线和平面垂直的常用性质 ①直线垂直于平面,则垂直于平面内任意直线. ②垂直于同一个平面的两条直线平行. ③垂直于同一条直线的两平面平行. 二、平面与平面垂直 1.平面与平面垂直的判定定理 文字语言 一个平面过另一个平 判定定理 面的垂线,则这两个平 面垂直 2.平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直,则一个 性质定理 平面内垂直于交线的 直线垂直于另一个平 面 图形语言 符号语言 图形语言 符号语言 【典例探究】 类型一、平行与垂直 D 为 PB 中点, 例 1、 如图, 已知三棱锥 A ? BPC 中, 且△ PMB AP ? PC, AC ? BC, M 为 AB 中点, 为正三角形。 (Ⅰ)求证: DM ∥平面 APC ; (Ⅱ)求证:平面 ABC ? 平面 APC ; (Ⅲ)若 BC ? 4 , AB ? 20 ,求三棱锥 D ? BCM 的体积。 M A P D B C 2 例 2. 如图,已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA1 ? 底面 ABC , AC ? BC ? 2 , AA 1 ? 4 , AB ? 2 2 , M , N 分别是棱 CC1 , AB 中点. (Ⅰ)求证: CN ? 平面 ABB1 A 1; (Ⅱ)求证: CN // 平面 A M B 1; (Ⅲ)求三棱锥 B1 ? AMN 的体积. A A1 C1 M C B1 N B 【变式 1】. 如图,三棱柱 ABC ? A1 B1 C 1 中,侧棱 AA1 ? 平面 ABC , ?ABC 为等腰直角三角形, C1 A1 E D B1 ?BAC ? 90? ,且 AB ? AA1 , D, E , F 分别是 B1 A, CC 1 , BC 的中点。 (1)求证: DE / / 平面 ABC ; (2)求证: B1 F ? 平面 AEF ; (3)设 AB ? a ,求三棱锥 D ? AEF 的体积。 F C A B 3 二、线面平行与垂直的性质 例3、如图4,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD ? 平面 ABCD , AB ∥ DC , △PAD 是等边三角 形,已知 BD ? 2 AD ? 4 , AB ? 2DC ? 2 5 . (1)求证: BD ? 平面 PAD ; (2)求三棱锥 A ? PCD 的体积. 例 4、如图,四棱锥 P—ABCD 中, PD ? 平面 ABCD,底面 ABCD 为正方形,BC=PD=2,E 为 PC 的中 点, CG ? 1 CB. 3 (I)求证: PC ? BC ; (II)求三棱锥 C—DEG 的体积; (III)AD 边上是否存在一点 M,使得 PA // 平面 MEG。若存在,求 AM 的长;否则,说明理由。 4 【变式 2】直棱柱 ABCD-A1B1C1D1 底面 ABCD 是直角梯形,∠BAD=∠ADC=90° ,AB=2AD=2CD=2. (Ⅰ)求证:AC ? 平面 BB1C1C;(Ⅱ) A1B1 上是否存一点 P,使得 DP 与平面 BCB1 与平面 ACB1 都平行? 证明你的结论. 三、三视图与折叠问题 例 5、如图是一几何体的直观图、正视图、侧视图、俯视图。 若 F 为 PD 的中点,求证: AF ? 面 PCD ; (1) 证明: BD ∥面 PEC ; (2) 求三棱锥 E ? PBC 的体积。 4 正视图 4 2 2 4 侧视图 4 4 俯视图 P E A B C D 5 例 6.已知四边形 ABCD 是等腰梯形,AB ? 3, DC ? 1, ?BAD ? 45?, DE ? AB(如图 1) 。 现将 ? ADE 沿 DE 折起,使得 AE ? EB (如图 2) ,连结 AC , AB 。 (I)求证:平面 ADE ? 平面 ACD ; (II)试在棱 AB 上确定一点 M ,使截面 EMC 把几何体分成两部分的体积比 VADCME : VMECB ? 2 : 1 ; (III)在点 M 满足(II)的情况下,判断直线 AD 是否平行于平面 EMC ,并说明理由。 A A D 图1 E B M E D B C C 图2 【变式 3】一个四棱锥的直观图和三视图如下图所示,E 为 PD 中点. (I)求证:PB//平面 AEC; (II)求四棱锥 C ? PAB 的体积; (Ⅲ)若 F 为侧棱 PA 上一点,且 科网 PA ? 平面 BDF. PF ? ? ,则 ? 为何值时, FA P E D C A 6 B 【变式 4】如图 1 所示,正 ?ABC 的边长为 2a,CD 是 AB 边上的高,E,F 分别是 AC,BC 的中点。现 将 ?ABC 沿 CD 翻折,使翻折后平面 ACD ? 平面 BCD(如图 2) (1)试判断翻折后直线 AB 与平面 DEF 的位置关系,

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