2020版高中数学第一章解三角形章末复习课课件新人教B版

章末复习课

知识结构

知识回顾: 1.应用正、余弦定理解三角形
正弦定理、余弦定理的主要功能是实现了三角形中的边角 互化,将三角形中的“边角混合”关系转化为单一的“边”或 单一的“角”的关系,从而使许多问题得以解决.利用正弦定 理、余弦定理,可以解决三角形中的以下几类问题:

(1)已知三边,求三个角; (2)已知两边和一角,求第三边和其他两个角; (3)已知两角与任意一边,求其他两边和一角. 三角形中的几何计算的难点是运算问题,由于可以将正弦 定理、余弦定理看成几个“方程”,那么三角形中的几何计算 实质上就是把已知信息按方程的思想进行处理,解题时应根据 已知和未知合理选择一个“容易解”的方程,从而使解题过程 简捷,要通过加强训练,达到“算法简练,计算准确”的要求.

2.解三角形应用题的一般思路 解三角形应用题,一般可按如下四步考虑: (1)读懂题意,理解问题的实际背景,明确已知和所求,理清量 与量之间的关系; (2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形的模型; (3)选择正弦定理或余弦定理求解;

(4)将三角形的解还原为实际问题,注意实际问题中对单位、近 似计算的要求.这一思路可描述如下:

第(2)步是基础,第(3)步是关键.要顺利完成解三角形应用 题,必须熟练掌握解三角形的四种常见类型,即已知两角和一 边,求其他边与角;已知两边及一边的对角,求其他边与角; 已知两边及夹角,求其他的边与角;已知三边,求各角.其次 要在计算中灵活选用正、余弦定理及与三角形有关的几何性质 解决问题.最后,要根据题目的实际意义作出回答.

专题探究: 专题一 应用正、余弦定理解三角形 这类问题一般要先审查题设条件,进行归类,根据题目类型确 定应用哪个定理入手解决. 解斜三角形有下表所示的四种情况:

例 1:在△ABC 中,由已知条件解三角形,其中有两解的是( ) A.b=20,A=45°,C=80° B.a=30,c=28,B=60° C.a=14,b=16,A=45° D.a=12,c=15,A=120°

【解析】解法一:A 中已知两角及一边有唯一解;B 中已知两 边及夹角,有唯一解;C 中,bsinA=8 2<14=a<b 有两解;D 中,A 是最大角,但 a<c,∴无解. 解法二:由 a=14,b=16,A=45°及正弦定理得,si1n6B=sin1445°, 所以 sinB=472,因为 a<b,A=45°,所以角 B 有两解. 【答案】C

例 2:在△ABC 中,角 A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c. 若 a=2,B=6π,c=2 3,则 b=________.

【解析】由余弦定理, 得 b2=a2+c2-2accosB=4+12-2×2×2 3× 23=4, ∴b=2. 【答案】2

例 3:设△ABC 的内角 A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c, 且有 2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC.
(1)求角 A 的大小; (2)若 b=2,c=1,D 为 BC 的中点,求 AD 的长.

解:(1)由题设知,2sinBcosA=sin(A+C)=sinB,

∵sinB≠0,∴cosA=12.由于 0<A<π,故 A=π3.

(2)由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccosA

=4+1-2×2×1×12=3,

∴a2+c2=b2,∴B=2π.

∵BD= 23,AB=1,∴AD=

1+34=

7 2.

专题二 判断三角形的形状 根据所给条件确定三角形的形状,主要有两条途径: (1)化边为角;(2)化角为边. 常见具体方法有: ①通过正弦定理实施边角转换; ②通过余弦定理实施边角转换; ③通过三角变换找出角之间的关系;

④通过三角函数值符号的判断及正、余弦函数有界性的讨 论;另外要注意 b2+c2-a2>0?A 为锐角,b2+c2-a2=0?A 为直角,b2+c2-a2<0?A 为钝角.

例 4:已知方程 x2-(bcosA)x+acosB=0 的两根之积等于两根 之和,且 a、b 为△ABC 的两边,A、B 为两内角,试判定这个 三角形的形状.

解:解法一:设方程的两根为 x1、x2, 由韦达定理知 x1+x2=bcosA,x1x2=acosB, 由题意得 bcosA=acosB, 根据余弦定理,得 b·b2+2cb2c-a2=a·a2+2ca2c-b2. ∴b2+c2-a2=a2+c2-b2, 化简得 a=b,∴△ABC 为等腰三角形.

解法二:同解法一得 bcosA=acosB, 由正弦定理,得 2RsinBcosA=2RsinAcosB, ∴sinA·cosB-cosA·sinB=0,即 sin(A-B)=0, ∵A、B 为三角形的内角, ∴A=B,故△ABC 为等腰三角形.

例 5:若 a、b、c 是△ABC 的三边,直线 ax+by+c=0 与圆 x2

+y2=1 相离,则△ABC 一定是( )

A.直角三角形

B.等边三角形

C.锐角三角形

D.钝角三角形

【解析】由题设知 a2|c+| b2>1, 即 a2+b2<c2,即 a2+b2-c2<0, 于是 cosC=a2+2ba2b-c2<0, 所以∠C 为钝角.故△ABC 为钝角三角形.
【答案】D

专题三 解三角形的应用 解三角形应用题常见的几种情况: (1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一
个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解.

(2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及到两个 (或两个以上)三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的 三角形,然后逐步求出其它三角形中的解,有时需设出未知量, 从几个三角形中列出方程,解方程得出所要求的解.
常见题型有:测量距离问题、测量高度问题、测量角度问 题、计算面积问题等.

例 6:如图,测量人员沿直线 MNP 的方向测量,测得塔顶 A 的仰角分别是∠AMB=30°,∠ANB=45°,∠APB=60°,且 MN=PN=500m,求塔高 AB.

解:设 AB=x,

∵AB 垂直于地面,

∴△ABM,△ABN,△ABP 均为直角三角形,

∴BM=tanx30°= 3x,BN=tanx45°=x,

BP=tanx60°=

3 3 x.

在△MNB 中,BM2=MN2+BN2-2MN·BN·cos∠MNB,

∴3x2=250 000+x2-2×500x·cos∠MNB①

在△PNB 中, BP2=NP2+BN2-2NP·BN·cos∠PNB, 13x2=250 000+x2-2×500x·cos∠PNB② 又∵∠MNB 与∠PNB 互补, ∴①+②得,130x2=500 000+2x2, ∴x=250 6或 x=-250 6(舍去). 所以塔高为 250 6m.

例 7:在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,若 sin2B+sin2C=sin2A+sinBsinC,且A→C·A→B=4,求△ABC 的面 积 S.

解:由已知得 b2+c2=a2+bc,

∴bc=b2+c2-a2=2bccosA,∴cosA=12,sinA=

3 2.

由A→C·A→B=4,得 bccosA=4,∴bc=8.

∴S=12bcsinA=2 3.


相关文档

高中数学第一章解三角形章末复习课课件新人教B版必修5
2020版高中数学第一章解三角形章末复习课件新人教B版
18版高中数学第一章解三角形章末复习课课件新人教B版必修5
高中数学第一章解三角形章末复习课课件新人教a必修5
2018版高中数学第一章解三角形章末复习课课件新人教B版必修5
高中数学第一章解三角形章末复习课课件新人教B必修5
2020版高中数学第一章解三角形章末复习学案新人教B版
2018版高中数学第一章解三角形章末复习课课件新人教B版
2020版高中数学第二章统计章末复习课课件新人教B版
18学年高中数学第一章解三角形章末复习课课件新人教A版必修5
电脑版