高中立体几何典型500题及解析精品2

各位教师, 同学, 我精 心汇总,好好利用

www.91tutor.com

自助家教网

海量教学资源,免费下载

高中立体几何典型 500 题及解析(三)(101~150 题)
101. ?A?B ?C ? 是△ABC 在平面 α 上的射影,那么 ?A?B ?C ? 和∠ABC 的大小关系是 ( (A) ?A?B ?C ? <∠ABC (C) ?A?B ?C ? ≥∠ABC 解析:D 一个直角,当有一条直角边平行于平面时,则射影角可以等于原角大小,但一般情况不等. 102. 已知: 如图, △ABC 中, ?ACB = 90?, CD?平面 ? , AD, BD 和平面 ? 所成的角分别为 30? 和 45?, CD = h, 求: D 点到直线 AB 的距离。 解析:1、先找出点 D 到直线 AB 的距离, 即过 D 点作 DE?AB, 从图形以及条件可知, 若 把 DE 放在△ABD 中不易求解。 2、由于 CD?平面 ? , 把 DE 转化到直角三角形中求解, 从而转化为先求 DE 在平面 ? 内的 射影长。 (B) ?A?B ?C ? >∠ABC (D) 不能确定 )

解: 连 AC, BC, 过 D 作 DE?AB, 连 CE, 则 DE 为 D 到直线 AB 的距离。 ∵CD? ? ∴AC, BC 分别是 AD, BD 在 ? 内的射影。 ∴?DAC, ?DBC 分别是 AD 和 BD 与平面 ? 所成的角 ∴?DAC = 30?, ?DBC = 45? 在 Rt△ACD 中, ∵CD = h, ?DAC = 30? ∴AC =

3h

在 Rt△BCD 中

www.91tutor.com

自助家教网

海量教学资源,免费下载

∵CD = h, ?DBC = 45?

∴BC = h ∵CD? ? , DE?AB ∴CE?AB 在 Rt△ACB 中

AB ? AC 2 ? BC 2 ? 2h

S?

1 1 AC ? BC ? AB·CE 2 2
AC ? BC ? AB 3h·h 3 ? h 2h 2

∴ CE ?

∴在 Rt△DCE 中,

DE ? DC 2 ? CE 2 ? h 2 ? (

3 2 7 h) ? h 2 2

∴点 D 到直线 AB 的距离为

7 h。 2

103. 已知 a、b、c 是平面 α 内相交于一点 O 的三条直线,而直线 l 和 α 相交,并且和 a、b、 c 三条直线成等角. 求证:l⊥α 证法一:分别在 a、b、c 上取点 A、B、C 并使 AO = BO = CO.设 l 经过 O,在 l 上取一点 P, 在△POA、△POB、△POC 中, ∵ PO 公用,AO = BO = CO,∠POA =∠POB=∠POC, ∴ △POA≌△POB≌△POC

www.91tutor.com

自助家教网

海量教学资源,免费下载

∴ PA = PB = PC.取 AB 中点 D.连结 OD、PD,则 OD⊥AB,PD⊥AB, ∵ PD ? OD ? D ∴ AB⊥平面 POD ∵ PO ? 平面 POD. ∴ PO⊥AB. 同理可证 PO⊥BC ∵ AB ? ? , BC ? ? , AB ? BC ? B ∴ PO⊥α,即 l⊥α 若 l 不经过 O 时,可经过 O 作 l ? ∥l.用上述方法证明 l ? ⊥α, ∴ l⊥α. 证法二:采用反证法 假设 l 不和 α 垂直,则 l 和 α 斜交于 O. 同证法一,得到 PA = PB = PC. 过 P 作 PO ? ? ? 于 O ? ,则 AO ? ? BO ? ? CO ? ,O 是△ABC 的外心.因为 O 也是△ABC 的外 心,这样,△ABC 有两个外心,这是不可能的. ∴ 假设 l 不和 α 垂直是不成立的. ∴ l⊥α 若 l 不经过 O 点时,过 O 作 l ? ∥l,用上述同样的方法可证 l ? ⊥α, ∴ l⊥α 评述:(1)证明线面垂直时,一般都采用直接证法(如证法一),有时也采用反证法(如 证法二)或同一法. 104. P 是△ABC 所在平面外一点,O 是点 P 在平面 α 上的射影. (1)若 PA = PB = PC,则 O 是△ABC 的____________心. (2)若点 P 到△ABC 的三边的距离相等,则 O 是△ABC_________心.

www.91tutor.com

自助家教网

海量教学资源,免费下载

(3)若 PA 、PB、PC 两两垂直,则 O 是△ABC_________心. (4)若△ABC 是直角三角形,且 PA = PB = PC 则 O 是△ABC 的____________心. (5)若△ABC 是等腰三角形,且 PA = PB = PC,则 O 是△ABC 的____________心. (6)若 PA、PB、PC 与平面 ABC 所成的角相等,则 O 是△ABC 的________心; 解析: (1)外心.∵ PA=PB=PC,∴ OA=OB=OC,∴ O 是△ABC 的外心. (2)内心(或旁心) .作 OD⊥AB 于 D,OE⊥BC 于 E,OF⊥AC 于 F,连结 PD、PE、 PF.∵ PO⊥平面 ABC,∴ OD、OE、OF 分别为 PD、PE、PF 在平面 ABC 内的射影, 由三垂线定理可知,PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC.由已知 PD=PE=PF,得 OD=OE=OF, ∴ O 是△ABC 的内心. (如图答 9-23) (3)垂心. (4)外心. (5)外心 (6)外心.PA 与平面 ABC 所成的角为∠PAO,在△PAO、△PBO、△PCO 中,PO 是公共 边,∠POA=∠POB=∠POC=90°,∠PAO=∠PBO=∠PCO,∴ △PAO≌△PBO≌△PCO, ∴ OA=OB=OC,∴ O 为△ABC 的外心.

(此外心又在等腰三角形的底边高线上).

105. 将矩形 ABCD 沿对角线 BD 折起来,使点 C 的新位置 C ? 在面 ABC 上的射影 E 恰在 AB 上. 求证: AC ? ? BC ? 分析: 欲证 AC ? ? BC ? , 只须证 BC ? 与 AC ? 所在平面 AC ?D 垂直; 而要证 BC ? ⊥平面 AC ?D , 只须证 BC ? ⊥ C ?D 且 BC ? ⊥AD.因此,如何利用三垂线定理证明线线垂直就成为关键步骤

www.91tutor.com
了.

自助家教网

海量教学资源,免费下载

证明:由题意, BC ? ⊥ C ?D ,又斜线 BC ? 在平面 ABCD 上的射影是 BA, ∵ BA⊥AD,由三垂线定理,得 C ?B ? AD , C ?D ? DA ? D . ∴ BC ? ⊥平面 C ?AD ,而 C ?A ? 平面 C ?AD ∴ BC ? ⊥ AC ? 106. 已知异面直线 l1 和 l2,l1⊥l2,MN 是 l1 和 l2 的公垂线,MN = 4,A∈l1,B∈l2,AM = BN = 2,O 是 MN 中点.① 求 l1 与 OB 的成角.②求 A 点到 OB 距离. 分析:本题若将条件放入立方体的“原型”中,抓住“一个平面四条线”的图形特征及“直 线平面垂直”的关键性条件,问题就显得简单明了. 解析:(1)如图,画两个相连的正方体,将题目条件一一 标在图中. OB 在底面上射影 NB⊥CD,由三垂线定理,OB⊥CD,又 CD∥MA, ∴ OB⊥MA 即 OB 与 l1 成 90° (2)连结 BO 并延长交上底面于 E 点. ME = BN, ∥ ∴ ME = 2,又 ON = 2 ∴ OB ? OE ? 2 2 . 作 AQ⊥BE,连结 MQ. 对于平面 EMO 而言,AM、AQ、MQ 分别为垂线、斜线、斜线在平面内的射影,由三垂线 逆定理得 MQ⊥EO.

在 Rt△MEO 中, MQ ?

ME ? MO 2 ? 2 ? ? 2. EO 2 2

评述:又在 Rt△AMQ 中,

AQ ? AM 2 ? MQ 2 ? 4 ? 2 ? 6 ,本题通过补形法
使较困难的问题变得明显易解;求点到直线的距离,仍

www.91tutor.com

自助家教网

海量教学资源,免费下载

然是利用直线与平面垂直的关键条件,抓住“一个面四条线”的图形特征来解决的. 107. 已知各棱长均为 a 的正四面体 ABCD, 是 AD 边的中点, E 连结 CE. CE 与底面 BCD 求 所成角的正弦值. 解析:作 AH⊥底面 BCD,垂足 H 是正△BCD 中心, 连 DH 延长交 BC 于 F,则平面 AHD⊥平面 BCD, 作 EO⊥HD 于 O,连结 EC, 则∠ECO 是 EC 与底面 BCD 所成的角 则 EO⊥底面 BCD.

HD ?

2 2 3 3 DF ? ? a? a 3 3 2 3

AH ? AD 2 ? HD 2 ? a 2 ?

a2 6 ? a 3 3

EO ?

1 1 6 6 3 AH ? ? a? a , CE ? a 2 2 3 6 2

6 a EO 2 ? 6 ? ∴ sin ?ECO ? 3 EC 3 a 2
108. 已知四面体 S-ABC 中,SA⊥底面 ABC,△ABC 是锐角三角形,H 是点 A 在面 SBC 上 的射影.求证:H 不可能是△SBC 的垂心. 分析:本题因不易直接证明,故采用反证法. 证明:假设 H 是△SBC 的垂心,连结 BH,并延长交 SC 于 D 点,则 BH⊥SC ∵ AH⊥平面 SBC, ∴ BH 是 AB 在平面 SBC 内的射影 ∴ SC⊥AB(三垂线定理) 又∵ SA⊥底面 ABC,AC 是 SC 在面内的射影 ∴ AB⊥AC(三垂线定理的逆定理)

S D H A B

C

www.91tutor.com

自助家教网

海量教学资源,免费下载

∴ △ABC 是 Rt△与已知△ABC 是锐角三角形相矛盾,于是假设不成立. 故 H 不可能是△SBC 的垂心. 109. 已知ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是AB、AD的中点,GC垂直于ABCD所在 的平面,且GC=2.求点B到平面EFG的距离.

解析:如图,连结EG、FG、EF、BD、AC、EF、BD分别交AC于H、O. 因为ABCD是正 方形,E、F分别为AB和AD的中点,故EF∥BD,H为AO的中点. BD不在平面EFG上.否则,平面EFG和平面ABCD重合,从而点G在平面的ABCD上,与 题设矛盾. 由直线和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG,所以BD和平面EFG的距离就是点B到平 面EFG的距 离. ——4分 ∵ BD⊥AC, ∴ EF⊥HC. ∵ GC⊥平面ABCD, ∴ EF⊥GC, ∴ EF⊥平面HCG. ∴ 平面EFG⊥平面HCG,HG是这两个垂直平面的交线. ——6分

作OK⊥HG交HG于点K,由两平面垂直的性质定理知OK⊥平面EFG,所以线段OK的长就 是点B到平面EFG的距离. ——8分 ∵ 正方形ABCD的边长为4,GC=2,

∴ AC=4 2 ,HO= 2 ,HC=3 2 .

∴ 在Rt△HCG中,HG=

?3 2 ?

2

? 2 2 ? 22 .

由于Rt△HKO和Rt△HCG有一个锐角是公共的,故Rt△HKO∽△HCG.

www.91tutor.com
∴ OK=

自助家教网

海量教学资源,免费下载

HO ? GC 2 ? 2 2 11 . ? ? HG 11 22

即点B到平面EFG的距离为

2 11 . 11

——10分

注:未证明“BD 不在平面 EFG 上”不扣分. 110. 已知:AB 与 CD 为异面直线,AC=BC,AD=BD. 求证:AB⊥CD. 说明:(1)应用判定定理,掌握线线垂直的一般思路. (2)思路:欲证线线垂直,只需证线面垂直,再证线线垂直,而由已知构造线线垂直是关 键. (3)教学方法,引导学生分析等腰三角形三线合一的性质构造图形,找到证明方法. 证明:如图,取 AB 中点 E,连结 CE、DE ∵AC=BC,E 为 AB 中点. ∴CE⊥AB 同理 DE⊥AB,又 CE∩DE=E, 且 CE ? 平面 CDE,DE ? 平面 CDE. ∴AB⊥平面 CDE 又 CD ? 平面 CDE ∴AB⊥CD. 111. 两个相交平面?、??都垂直于第三个平面??,那么它们的交线 a 一定和第三个平面垂直. 证明:在??内取一点 P,过 P 作 PA 垂直??与 ??的交线;过 P 作 PB 垂直??与??的交线. ∵ ?⊥???且?⊥? ∴ PA⊥?且 PB⊥?

www.91tutor.com
∴ PA⊥a 且 PB⊥a ∴ a⊥?

自助家教网

海量教学资源,免费下载

112. 在立体图形 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,PA⊥底面 ABCD,PA=AB,Q 是 PC 中点. AC,BD 交于 O 点. (Ⅰ)求二面角 Q-BD-C 的大小: (Ⅱ)求二面角 B-QD-C 的大小. 解析:(Ⅰ)解:连 QO,则 QO∥PA 且 QO= =

1 PA 2

1 AB 2

∵ PA⊥面 ABCD ∴ QO⊥面 ABCD 面 QBD 过 QO, ∴ 面 QBD⊥面 ABCD 故二面角 Q-BD-C 等于 90°. (Ⅱ)解:过 O 作 OH⊥QD,垂足为 H,连 CH. ∵ 面 QBD⊥面 BCD,
B O C D

Q

H

又∵ CO⊥BD CO⊥面 QBD CH 在面 QBD 内的射影是 OH ∵ OH⊥QD ∴ CH⊥QD 于是∠OHC 是二面角的平面角.

www.91tutor.com
设正方形 ABCD 边长 2,

自助家教网

海量教学资源,免费下载

则 OQ=1,OD= 2 ,QD= 3 . ∵ OH·QD=OQ·OD

∴ OH=

2 3



又 OC= 2

在 Rt△COH 中:tan∠OHC=

OC 2 = 2· = 3 OH 3

∴ ∠OHC=60° 故二面角 B-QD-C 等于 60°. 113. 如图在Δ ABC 中, AD⊥BC, ED=2AE, 过 E 作 FG∥BC, 且将Δ AFG 沿 FG 折起, 使∠A'ED=60°,求证:A'E⊥平面 A'BC

解析:弄清折叠前后,图形中各元素之间的数量关系和 位置关系。 解: ∵FG∥BC,AD⊥BC ∴A'E⊥FG ∴A'E⊥BC 设 A'E=a,则 ED=2a 由余弦定理得: A'D =A'E +ED -2?A'E?EDcos60° =3a
2 2 2 2 2 2

A' G A E F

C D B

∴ED =A'D +A'E

2

www.91tutor.com
∴A'D⊥A'E ∴A'E⊥平面 A'BC

自助家教网

海量教学资源,免费下载

114. α、β 是两个不同的平面,m,n 是平面 α 及 β 之外的两条不同直线,给出四个论断:① m⊥n,②α⊥β,③n⊥β,④m⊥α.以其中三个论断作为条件,余下的一个论断作为结论, 写出你认为正确的一个命题,并证明它. 解析:m⊥α,n⊥β,α⊥β ? m⊥n(或 m⊥n,m⊥α,n⊥β ? α⊥β) 证明如下:过不在 α、β 内的任一点 P,作 PM∥m,PN∥n 过 PM、PN 作平面 r 交 α 于 MQ,交 β 于 NQ.

m ?? ? ? ? PM ? ? ? PM ? MQ , PM // m?
同理 PN⊥NQ. 因此∠MPN+∠MQN = 180°, 故∠MQN = 90° ? ∠MPN = 90° 即 α⊥β ? m⊥n. 115. 已知: ? ? ? ? a ,α⊥γ ,β⊥γ ,b∥α,b∥β.

求证:a⊥γ 且 b⊥γ .

解析:在 a 上任取一点 P,过 P 作 PQ⊥r. ∵ β⊥r, ∴ PQ ? ? ,

∵ α⊥r,

∴ PQ ? ? ,

∴ PQ 与 a 重合,故 a⊥r. 过 b 和点 P 作平面 S, 则 S 和 α 交于 PQ1,S 和 β 交于 PQ2,

www.91tutor.com
∵ b∥α,b∥β ∴ b∥PQ1,且 b∥PQ2. 于是 PQ1 和 PQ2 与 a 重合, 故 b∥a, 而 a⊥r, ∴ b⊥r.

自助家教网

海量教学资源,免费下载

116. 已知 PA⊥矩形 ABCD 所在平面,且 AB=3,BC=4,PA=3,求点 P 到 CD 和 BD 的 距离. 解析:∵ PA⊥平面 ABCD,AD⊥CD,且 CD ? 平面 ABCD. ∴ PD⊥CD (三垂线定理) 在 Rt△PAD 中, . PD= PA2 ? AD2 = 32 ? 42 =5. 又作 PH⊥BD 于 H,连结 AH,由三垂线定理的逆定理, 有 AH⊥BD.这里,PH 为点 P 到 BD 的距离. 在 Rt△ABD 中,AH=

AB ? AD 12 = BD 5
2

369 ? 12 ? 在 Rt△PAH 中,PH= PA ? AH = 3 ? ? ? = 5 ?5?
2 2
2

117. 点 P 在平面 ABC 的射影为 O,且 PA、PB、PC 两两垂直,那么 O 是△ABC 的( (A) 内心 (C) 垂心 (B) 外心 (D) 重心

)

解析:由于 PC⊥PA,PC⊥PB,所以 PC⊥平面 PAB, ∴ PC⊥AB. 又 P 在平面 ABC 的射影为 O,连 CO,则 CO 是 PC 在平面 ABC 的射影,根据三垂线定理的逆定理,得:CO⊥AB, 同理可证 AO⊥BC,O 是△ABC 的垂心,答案选 C. 118. 如图 02,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P、Q、R 分别是棱 AA1、BB1、BC 上的点, PQ∥AB,C1Q⊥PR,求证:∠D1QR=90°.

www.91tutor.com
证明:∵ PQ∥AB,AB⊥平面 BC1,

自助家教网

海量教学资源,免费下载

∴ PQ⊥平面 BC1,QR 是 PR 在平面 BC1 的射影. 根据三垂线定理的逆定理,由 C1Q⊥PR 得 C1Q⊥QR. 又因 D1C1⊥平面 BC1,则 C1Q 是 D1Q 在平面 B1C 的射影,根据三垂线定理,由 C1Q⊥QR 得 QR⊥D1Q. ∴ ∠D1QR=90° 119. 在空间四边形 ABCD 中, 已知 AC?BD, AD?BC, 求证: AB?CD。 解析: 1、 条件 AC?BD, AD?BC, 可以看作斜线 AD, AC 与平面 BCD 内的直线的位置关系, 从而联想到用三垂线定理或其逆定理证明命题。 2、如何找斜线在平面内的射影, 显然是过 A 点作直线垂直于平面 BCD, 这样斜线与直 线的位置关系, 通过射影与直线的位置关系判定。 证明: 过 A 点作 AO 垂直于平面 BCD 于 O

连 BO, CO, DO ∵AO?平面 BCD, AC?BD ∴CO?BD

∵AO?平面 BCD, AD?BC

∴DO?BC ∴O 为△BCD 的垂心 ∴BO?CD ∴AB?CD 120. 如图, 在空间四边形 SABC 中, SA?平面 ABC, ?ABC = 90?, AN?SB 于 N, AM?SC 于 M。

www.91tutor.com
求证: ①AN?BC; ②SC?平面 ANM

自助家教网

海量教学资源,免费下载

解析: ①要证 AN?BC, 转证, BC?平面 SAB。 ②要证 SC?平面 ANM, 转证, SC 垂直于平面 ANM 内的两条相交直线, 即证 SC?AM, SC?AN。 要证 SC?AN, 转证 AN?平面 SBC, 就可以了。 证明: ①∵SA?平面 ABC ∴SA?BC

又∵BC?AB, 且 AB ? SA = A

∴BC?平面 SAB ∵AN ? 平面 SAB ∴AN?BC ②∵AN?BC, AN?SB, 且 SB ? BC = B ∴AN?平面 SBC ∵SCC 平面 SBC ∴AN?SC 又∵AM?SC, 且 AM ? AN = A ∴SC?平面 ANM 121. 已知如图,P ? 平面 ABC,PA=PB=PC,∠APB=∠APC=60°,∠BPC=90 °求证:平面 ABC ⊥平面 PBC 解析:要证明面面垂直,只要在其呈平面内找一条线,然后证

www.91tutor.com

自助家教网

海量教学资源,免费下载

明直线与另一平面垂直即可。显然 BC 中点 D,证明 AD 垂直平 PBC 即可 证明: 取 BC 中点 D 连结 AD、PD ∵PA=PB;∠APB=60° ∴Δ PAB 为正三角形 同理Δ PAC 为正三角形 设 PA=a 在 RTΔ BPC 中,PB=PC=a

BC= 2 a

∴PD=

2 a 2

在Δ ABC 中

AD=

AB2 ? BD2

=

2 a 2
2 2

? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ∵AD +PD = ? ? 2 a? ? ? 2 a? ? ? ? ?
2 2

=a =AP

2

2

∴Δ APD 为直角三角形 即 AD⊥DP 又∵AD⊥BC ∴AD⊥平面 PBC ∴平面 ABC⊥平面 PBC

www.91tutor.com

自助家教网

海量教学资源,免费下载

122. 如果两个相交平面都垂直于第三个平面,那么它们的交线也垂直于这个平面。 已知:β⊥α ,γ ⊥α ,β ? γ =a 求证:a⊥α 解析:利用线面垂直的性质定理 证明:设α ? β =AB,α ? γ =CD

? a ? ? L ? L2 1 D B C

在平面β 内作 L1⊥AB,

? ?
在平面γ 内作 L1⊥CD, ∵α ⊥β ∴L1⊥α 同理 L2⊥α ∴L1//L2 ∴L1//β ∴L1//a ∴a⊥α 113. 已知 SA、SB、SC 是共点于 S 的且不共面的三条射线,∠ BSA=∠ASC=45°,∠BSC=60°,求证:平面 BSA⊥平面 SAC 解析:先作二面角 B-SA-C 的平面角,根据给定的条件,在棱 S 上取一点 P,分别是在两个平面内作直线与棱垂直 证明:在 SA 上取一点 P 过 P 作 PR⊥SA 交 SC 于 R 过 P 作 PQ⊥SA 交 SB 于 Q ∴∠QPR 为二面角 B-SA-C 的平面角设 PS=a ∵∠PSQ=45°,∠SPQ=90°

A

∴PQ=a,SQ= 2 a

同理 PR= a,SR=

2a

www.91tutor.com
∵∠PSQ=60°,SR=SQ= 2 a

自助家教网

海量教学资源,免费下载

∴Δ RSQ 为正三角形则 RQ= 2 a ∵PR +PQ =2a =QR ∴∠QPQ=90° ∴二面角 B-SA-C 为 90° ∴平面 BSA⊥平面 SAC 114. 设 S 为 ?ABC 平面外的一点,SA=SB=SC, ?ASB ? 2? , ?BSC ? 2? , ?ASC ? 2? , 若 sin 2 ? ? sin 2
2 2 2 2

? ? sin 2 ? ,求证:平面 ASC ? 平面 ABC。

解析:(1)把角的关系转化为边的关系 (2)利用棱锥的性质(三棱锥的侧棱相等,则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心) 证明:设 D 为 AB 的中点

? SA ? SB

? ?A S D? ?

sin ? ?

AD AB ? SA 2 SA

同理 sin ? ?

BC AC , sin ? ? 2SB 2 SC

? SA ? SB ? SC 且 sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ?

? AB2 ? BC2 ? AC2
即 ?ABC 为 Rt?ABC 且 S 在平面上的射影 O 为 ?ABC 的外心 则 O 在斜边 AC 的中点。

? SO ? 平面 ABC ? SO ? 平面 SAC

www.91tutor.com
? 平面 ASC ? 平面 ABC

自助家教网

海量教学资源,免费下载

115. 两个正方形 ABCD 和 ABEF 所在的平面互相垂直, 求异面直线 AC 和 BF 所成角的大小. 解析:作 BP∥AC 交 DC 延长线于 P,则∠FBP(或补角)就是异面直线 BF 和 AC 所成的角, 设正方形边长为 a, PF ? 和 BF 成 60°角. 116. 二面角α -a-β 的值为θ (0° <180° 直线 l⊥α , <θ ), 判断直线 l 与平面β 的位置关系, 并证明你的结论. 解析: 分两种情况,θ =90° ,θ ≠90° .

6a 在△BPF 中,由余弦定理得 cos ?FBP ?

1 ,异面直线 AC 2

当θ =90° 时,l∥β 或 l ? β ,这个结论可用反证法证明; 当θ ≠90° 时,l 必与β 相交,也可用反证法证明. 117. 已知平面α ⊥平面β ,交线为 AB,C∈ ? ,D∈ ? , AB ? AC ? BC ? 4 3 ,E 为 BC 的中点,AC⊥BD,BD=8. ①求证:BD⊥平面 ? ; ②求证:平面 AED⊥平面 BCD; ③求二面角 B-AC-D 的正切值. 解析:①AB 是 AC 在平面β 上的射影,由 AC⊥BD 得 AB⊥BD.∵ α ⊥β .∴ DB⊥α . ②由 AB=AC,且 E 是 BC 中点,得 AE⊥BC,又 AE⊥DB,故 AE⊥平面 BCD,因此可证得 平面 AED⊥平面 BCD. ③设 F 是 AC 中点,连 BF,DF.由于△ABC 是正三角形,故 BF⊥AC.又由 DB⊥平面α , 则 DF⊥AC,∠BFD 是二面角 B-AC-D 的平面角, 在 Rt△BFD 中, tg?BFD ?

BD 4 ? . BF 3

118. 如图,△ABC 和△DBC 所在的两个平面互相垂直,且 AB=BC=BD,∠ABC= ∠DBC=120° ,求 (1) A、D 连线和直线 BC 所成角的大小;
B C A

(2) 二面角 A-BD-C 的大小

D

www.91tutor.com

自助家教网

海量教学资源,免费下载

解析:在平面 ADC 内作 AH⊥BC,H 是垂足,连 HD.因为平面 ABC⊥平面 BDC.所以 AH ⊥平面 BDC.HD 是 AD 在平面 BDC 的射影.依题设条件可证得 HD⊥BC,由三垂线定理 得 AD⊥BC,即异面直线 AD 和 BC 形成的角为 90°. 在平面 BDC 内作 HR⊥BD,R 是垂足,连 AR.HR 是 AR 在平面 BDC 的射影,∴ AR⊥BD, ∠ARH 是二面角 A-BD-C 的平面角的补角,设 AB=a,可得,

AH ?

3 3 3 BH ? a, a , HR ? 2 4 2
AH ? 2. HR

∴ tg?ARH ?

∴ 二面角 A-BD-C 的大小为π -arctg2. 119. 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 BB1,CC1 的中点,求异面直线 AE 和 BF 所 成 角的大小. 解析:取 DD1 的中点 G,可证四边形 ABFG 是平行四边形,得出 BF∥AG, 则∠GAE 是异面直线 AE 与 BF 所成的角.连 GF,设正方体棱长为 a,
D1 C1 B1

5 a. GE ? B1 D1 ? 2a , AE ? AG ? 2
在△AEG 中,由余弦定理得

A1

G

F

D A

E C B

5 5 ? ?2 AG 2 ? AE 2 ? GE 2 1 cos?GAE ? ? 4 4 ? 2 ? AG ? AE 5 5 5 2? ? 2 2
∴ ?GAE ? arccos

1 . 5

120. 矩形 ABCD,AB=3,BC=4,沿对角线 BD 把△ABD 折起,使点 A 在平面 BCD 上的射影 A′ 落在 BC 上,求二面角 A-BD-C 的大小的余弦值.

www.91tutor.com

自助家教网

海量教学资源,免费下载

在 Rt△AA′O 中,∠AA′O=90°,

121.

已知:如图 12,P 是正方形 ABCD 所在平面外一点,PA=PB=PC=PD=a,AB=a.

求:平面 APB 与平面 CPD 相交所成较大的二面角的余弦值.

分析:为了找到二面角及其平面角,必须依据题目的条件,找出两个平面的交线.

www.91tutor.com
解:因为 AB∥CD,CD 所以 AB∥平面 CPD. 又 P∈平面 APB,且 P∈平面 CPD,

自助家教网
平面 CPD.

海量教学资源,免费下载

平面 CPD,AB

因此 平面 APB∩平面 CPD=l,且 P∈l. 所以 二面角 B-l-C 就是平面 APB 和平面 CPD 相交所得到的一个二面角. 因为 AB∥平面 CPD,AB 所以 AB∥l. 过 P 作 PE⊥AB,PE⊥CD. 因为 l∥AB∥CD, 因此 PE⊥l,PF⊥l, 所以 ∠EPF 是二面角 B-l-C 的平面角. 因为 PE 是正三角形 APB 的一条高线,且 AB=a, 平面 APB,平面 CPD∩平面 APB=l,

因为 E,F 分别是 AB,CD 的中点, 所以 EF=BC=a. 在△EFP 中,

122. 在四面体 ABCD 中, AB=AD=BD=2, BC=DC=4, 二面角 A-BD-C 的大小为 60°, 求 AC 的长.

www.91tutor.com

自助家教网

海量教学资源,免费下载

解析:作出二面角 A-BD-C 的平面角

在棱 BD 上选取恰当的点

AB=AD,BC=DC 解:取 BD 中点 E,连结 AE,EC ∵ AB=AD,BC=DC ∴ AE⊥BD,EC⊥BD ∴ ∠AEC 为二面角 A-BD-C 的平面角 ∴ ∠AEC=60° ∵ AD=2,DC=4 ∴ AE= 3 ,EC= 15

∴ 据余弦定理得:AC= 18 ? 3 5 . 123. 河堤斜面与水平面所成角为 60°,堤面上有一条直道 CD,它与堤角的水平线 AB 的夹 角为 30°,沿着这条直道从堤角向上行走到 10 米时,人升高了多少(精确到 0.1 米)? 解析: 已知 所求

河堤斜面与水平面所成角为 60°

E 到地面的距离

利用 E 或 G 构造棱上一点 F

以 EG 为边构造三角形

解:取 CD 上一点 E,设 CE=10 m,过点 E 作直线 AB 所在的水平面的垂线 EG,垂足为 G, 则线段 EG 的长就是所求的高度. 在河堤斜面内,作 EF⊥AB.垂足为 F,连接 FG,由三垂线定理的逆定理,知 FG⊥AB.因 此,∠EFG 就是河堤斜面与水平面 ABG 所成的二面角的平面角,∠EFG=60°.

www.91tutor.com
由此得: EG=EFsin60° =CE sin30°sin60°

自助家教网

海量教学资源,免费下载

=10×

1 3 × ≈4.3(m) 2 2

答:沿着直道向上行走到 10 米时,人升高了约 4.3 米. 124. 二面角 α—a—β 是 120°的二面角, 是该角内的一点. 到 α、 的距离分别为 a, 求: P P β b. P 到棱 a 的距离. 解析:设 PA⊥α 于 A,PB⊥β 于 B.过 PA 与 PB 作平面 r 与 α 交于 AO,与 β 交于 OB, ∵ PA⊥α,PB⊥β,∴ a⊥PA,且 a⊥PB ∴ a⊥面 r,∴ a⊥PO,PO 的长为 P 到棱 a 的距离. 且∠AOB 是二面角之平面角,∠AOB =120° ∴ ∠APB = 60°,PA = a,PB = b.

AB ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos 60? ? a 2 ? ab ? b 2



AB sin ?APB

? PO ,

∴ PO ?

2 3 ? a 2 ? ab ? b 2 . 3

125. 如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为 AB、CC1 的中点,则异面直线 A1C 与 EF 所成角的余弦值是 ( )

(A)

3 3

(B)

2 3

(C)

1 3

(D)

1 6
解析:选哪一点,如何作平行线是解决本题的关键,显然在 EF

www.91tutor.com

自助家教网

海量教学资源,免费下载

上选一点作 AC 的平行线要简单易行, 观察图形, 看出 F 与 A1C 确定的平面 A1CC1 恰是正方 体的对角面,在这个面内,只要找出 A1C1 的中点 O,连结 OF,这条平行线就作出了,这样, ∠EFO 即为异面直线 A1C 与 EF 所成的角.容易算出这个角的余弦值是

2 ,答案选 B. 3

126.在 60°的二面角 M-a-N 内有一点 P,P 到平面 M、平 面 N 的距离分别为 1 和 2,求 P 点到直线 a 的距离. 解析:本题涉及点到平面的距离,点到直线的距离,二面角的 平面角等概念, 图中都没有表示, 按怎样的顺序先后作出相应 的图形是解决本题的关键. 可以有不同的作法, 下面仅以一个 作法为例,说明这些概念的特点,分别作 PA⊥M,M 是垂足, PB⊥N,N 是垂足,先作了两条垂线,找出 P 点到两个平面的 距离,其余概念要通过推理得出:于是 PA、PB 确定平面α ,设α ∩M=AC,α ∩N=BC,c ∈a.由于 PA⊥M,则 PA⊥a,同理 PB⊥a,因此 a⊥平面α ,得 a⊥PC.这样,∠ACB 是 二面角的平面角,PC 是 P 点到直线 a 的距离,下面只要在四边形 ACBP 内,利用平面几何 的知识在△PAB 中求出 AB,再在△ABC 中利用正弦定理求外接圆直径 2R=

2 21 ,即为 3

P 点到直线 a 的距离,为

2 21 . 3

127. 已知空间四边形 ABCD 中,AB = BC =CD= AD = BD = AC, E、F 分别为 AB、CD 的中 点, (1)求证:EF 为 AB 和 CD 的公垂线 (2)求异面直线 AB 和 CD 的距离 解析:构造等腰三角形证明 EF 与 AB、CD 垂直,然后在等腰三角形中求 EF 解;①连接 BD 和 AC,AF 和 BF,DE 和 CE 设四边形的边长为 a ∵ AD = CD = AC = a ∴ △ABC 为正三角形 ∵ DF = FC

∴ AF ? DC 且 AF =

3 a 2

www.91tutor.com
同理 BF =

自助家教网

海量教学资源,免费下载

3 A 2

? BF ? FA
即△ AFB 为等腰三角形 在△ AFB 中, ∵ AE = BE ∴ FE ? AB 同理在 △ DEC 中 EF ? DC ∴ EF 为异面直线 AB 和 CD 的公垂线

②在 △ AFB 中

∵ EF ? AB 且 AF ?

3 1 1 a, AE ? AB ? a a 2 2

∴ EF ?

AF 2 ? AE 2 ?

2 a 2

∵ EF ? DC, EF ? AB

∴ EF 为异面直线 AB 和 CD 的距离

www.91tutor.com
∴ AB 和 CD 的距离为

自助家教网
2 a 2

海量教学资源,免费下载

128. 正方形 ABCD 中,以对角线 BD 为折线,把Δ ABD 折起,使二面角 Aˊ-BD-C 为 60°,求 二面角 B-AˊC-D 的余弦值 解析:要求二面角 B-AˊC-D 的余弦值,先作出二面角的 平面角,抓住图形中 AˊB=BC,AˊD=DC 的关系,采用定 义法作出平面角∠BED(E 为 AC 的中点)然后利用余弦定 理求解 解:连 BD、AC 交于 O 点 则 AˊO⊥BD,CO⊥BD ∴∠AˊOC 为二面角 Aˊ-BD-C 的平面角 ∴∠AˊOC=60° 设正方形 ABCD 的边长为 a

∵A′O=OC=1/2AC=

2 a 2

∠A′OC=60°

∴Δ A′OC 为正三角形则 A′C=

2 a 2

取 A′C 的中点,连 DE、BE ∵A′B=BC ∴BE⊥A′C 同理 DE⊥A′C ∴∠DEB 为二面角 B-A′C-D 的平面角在Δ BA′C 中

BE= BA2 ? AE 2 ?

a2 ? (

2 2 14 a) ? a 4 4

www.91tutor.com
同理 DE=

自助家教网

海量教学资源,免费下载

14 a 4

在Δ BED 中,BD= 2a

∴ cos∠BED=

BE 2 ? DE 2 ? BD 2 2 BE ? DE
2 2

? 14 ? ? 14 ? ? ? ? ? ? 4 a ? ? ? 4 a ? ? 2a ? ? ? ? = 14 14 2? a? a 4 4
=--

? ?

2

1 7 1 7

∴二面角 B-A′C-D 的余弦值为-

129. 如图平面 SAC⊥平面 ACB, SAC 是边长为 4 的等边三角形, Δ Δ ACB 为直角三角形,∠ACB=90°,BC= 4 2 ,求二面角 S-AB-C 的余弦值。 解析:先作出二面角的平面角。由面面垂直可得线面垂直,作 SD⊥平面 ACB,然后利用三垂线定理作出二面角的平面角 解:过 S 点作 SD⊥AC 于 D,过 D 作 DM⊥AB 于 M,连 SM ∵平面 SAC⊥平面 ACB ∴SD⊥平面 ACB ∴SM⊥AB 又∵DM⊥AB ∴∠DMS 为二面角 S-AB-C 的平面角

www.91tutor.com
在Δ SAC 中 SD=4×

自助家教网

海量教学资源,免费下载

3 ?2 3 2

在Δ ACB 中过 C 作 CH⊥AB 于 H

∵AC=4,BC= 4 2

∴AB= 4 3 ∵S=1/2AB·CH=1/2AC·BC

∴CH=

AC ? BC 4 ? 4 2 4 2 ? ? AB 4 3 3

∵DM∥CH 且 AD=DC

∴DM=1/2CH=

2 2 3

∵SD⊥平面 ACB ∴SD⊥DM 在 RTΔ SDM 中 SM= SD2 ? DM 2

DM?平面 ACB

=

? ?
11 3

?2 2? ? 2 3 ?? ? 3 ? ? ?
2

2

=2

∴cos∠DMS=

DM SM

www.91tutor.com
2 2
=

自助家教网

海量教学资源,免费下载

3 11 2 3

=

22 11

130. 已知等腰?ABC 中,AC = BC = 2, ? ACB = 120?,?ABC 所在平面外的一点 P 到三角 形三顶点的距离都等于 4,求直线 PC 与平面 ABC 所成的角。 解析:解:设点 P 在底面上的射影为 O,连 OB、OC, 则 OC 是 PC 在平面 ABC 内的射影,

∴ ? PCO 是 PC 与面 ABC 所成的角。

∵ PA = PB = PC, ∴点 P 在底面的射影是?ABC 的外心, 注意到?ABC 为钝角三角形, ∴点 O 在?ABC 的外部, ∵AC = BC,O 是?ABC 的外心, ∴OC⊥AB 在?OBC 中,OC = OB, ? OCB = 60?, ∴?OBC 为等边三角形,∴OC = 2 在 Rt?POC 中, cos?PCO ?

OC 1 ? PC 2

www.91tutor.com
∴ ? PCO = 60? 。

自助家教网

海量教学资源,免费下载

131. 如图在二面角α - l-β 中,A、B∈α ,C、D∈l,ABCD 为矩形,P∈β ,PA⊥α ,且 PA=AD,MN 依次是 AB、PC 的 中点 ⑴ 求二面角α - l-β 的大小 ⑵ 求证明:MN⊥AB ⑶ 求异面直线 PA 与 MN 所成角的大小 解析:⑴ 用垂线法作二面角的平面角 ⑵ 只要证明 AB 垂直于过 MN 的一个平面即可 ⑶ 过点 A 作 MN 的平行线,转化为平面角求解 解: ⑴ 连 PD ∵PA⊥α ,AD⊥l ∴PD⊥l ∴∠PDA 为二面角α - l-β 的平面角 在 RTΔ PAD 中 ∵PA=PD ∴∠PDA=45° ∴二面角α - l-β 为 45° ⑵ 设 E 是 DC 的中点,连 ME、NE ∵M、N、E 分别为 AB、PC、D 的中点 ∴ME∥AD,NE∥PD ∴ME⊥l,NE⊥l ∴l⊥平面 MEN

www.91tutor.com
∵AB∥l ∴AB⊥平面 MEN ∵MN?平面 MNE ∴MN?AB ⑶ 设 Q 是 DP 听中点,连 NQ、AQ 则 NQ∥DC,且 NQ=1/2DC ∵AM∥DC,且 AM=1/2AB=1/2DC ∴QN∥AM,QN=AM ∴QNMQ 为平行四边形 ∴AQ∥MN ∴∠PAQ 为 PA 与 MN 所成的角

自助家教网

海量教学资源,免费下载

∵Δ PAQ 为等腰直角三角形,AQ 为斜边上的中线 ∴∠PAQ=45° 即 PA 与 MN 所成角的大小为 45° 132. 如图: △ABC 的?ABC= 90?, V 是平面 ABC 外的一点, VA = VB = VC = AC, 求 VB 与平面 ABC 所成的角。 解析:1、要求 VB 与平面 ABC 所成的角, 应作出它们所成的角。 2、要作出 VB 与平面 ABC 所成的角, 只要找出 VB 在平 面 ABC 内的射影就可以了。 3、作斜线在平面内的射影, 只要在斜线上找一点作直线 垂直于平面, 即找此点在平面内的 射影, 显然找 V 点, V 点在平面内的射影在何处?由条件可知, 射影为△ABC 的外心。 解: 作 VO?平面 ABC 于 O, 则 OB 为 VB 在平面 ABC 内的射影, ∴?VBO 为 VB 与平面 ABC 所成的角。 连 OA、OB、OC, 则 OA、OB、OC 分别为斜线段 VA、VB、VC 在平面 ABC 内的射影。 ∵VA = VB = VC

www.91tutor.com
∴OA = OB = OC ∴O 为△ABC 为外心

自助家教网

海量教学资源,免费下载

∵△ABC 为直角三角形, 且 AC 为斜边 ∴O 为 AC 的中点

设 VA = a, 则 VA = VC = AC = a, VO ?

3 a 2

3 a VO 3 在 Rt△VOB 中, sin ?VBO ? ? 2 ? VB a 2

∴?VBO = 60? ∴VB 与平面 ABC 所成的角为 60?。 133. 已知:平面α ∩平面β =直线 a. α ,β 同垂直于平面γ ,又同平行于直线 b. 求证:(Ⅰ)a⊥γ ; (Ⅱ)b⊥γ .

证明: 证法一(Ⅰ)设α ∩γ =AB,β ∩γ =AC.在γ 内任取一点 P 并于γ 内作直线 PM⊥AB,PN⊥ AC. ——1 分 ∵ γ ⊥α ,

www.91tutor.com
∴ PM⊥α . 而 a?α , ∴ PM⊥a. 同理 PN⊥a. 又 PM ? γ ,PN ? γ , ∴ a⊥γ . ——6 分 ——4 分

自助家教网

海量教学资源,免费下载

(Ⅱ)于 a 上任取点 Q,过 b 与 Q 作一平面交α 于直线 a1,交β 于直线 a2. ∵ b∥α ,∴ b∥a1. 同理 b∥a2. ∵ a1,a2 同过 Q 且平行于 b, ∵ a1,a2 重合. 又 a1 ? α ,a2 ? β , ∴ a1,a2 都是α 、β 的交线,即都重合于 a. ∵ b∥a1,∴ b∥a. 而 a⊥γ , ∴ b⊥γ . 注:在第Ⅱ部分未证明 b∥a 而直接断定 b⊥γ 的,该部分不给分. 证法二(Ⅰ)在 a 上任取一点 P,过 P 作直线 a′⊥γ . ∵ α ⊥γ ,P∈α , ∴ a′ ? α . 同理 a′ ? β . 可见 a′是α ,β 的交线. 因而 a′重合于 a. ——5 分 ——3 分

——7 分

——8 分

——10 分

——12 分

——1 分

www.91tutor.com
又 a′⊥γ , ∴ a⊥γ .

自助家教网

海量教学资源,免费下载

——6 分

(Ⅱ)于α 内任取不在 a 上的一点,过 b 和该点作平面与α 交于直线 c.同法过 b 作平面与β 交于直线 d. ——7 分 ∵ b∥α ,b∥β . ∴ b∥c,b∥d. 又 c ? β ,d ? β ,可见 c 与 d 不重合.因而 c∥d. 于是 c∥β . ∵ c∥β ,c ? α ,α ∩β =a, ∴ c∥a. ∵ b∥c,a∥c,b 与 a 不重合(b ? α ,a ? α ), ∴ b∥a. 而 a⊥γ , ∴ b⊥γ . 注:在第Ⅱ部分未证明 b∥a 而直接断定 b⊥γ 的,该部分不给分. 134. 设 S 为 ?ABC 平面外的一点,SA=SB=SC, ?ASB ? 2? , ?BSC ? 2? , ?ASC ? 2? , 若 sin
2

——8 分

——9 分

——10 分

——11 分

——12 分

? ? sin 2 ? ? sin 2 ? ,求证:平面 ASC ? 平面 ABC。

解析:(1)把角的关系转化为边的关系 (2)利用棱锥的性质(三棱锥的侧棱相等,则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心) 证明:设 D 为 AB 的中点

? SA ? SB

? ?A S D? ?

sin ? ?

AD AB ? SA 2 SA

同理 sin ? ?

BC AC , sin ? ? 2SB 2 SC

www.91tutor.com

自助家教网

海量教学资源,免费下载

? SA ? SB ? SC 且 sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ?

? AB2 ? BC2 ? AC2
即 ?ABC 为 Rt?ABC 且 S 在平面上的射影 O 为 ?ABC 的外心 则 O 在斜边 AC 的中点。

? SO ? 平面 ABC ? SO ? 平面 SAC

? 平面 ASC ? 平面 ABC
135. 已知如图,P ? 平面 ABC,PA=PB=PC,∠APB=∠APC=60°,∠BPC=90 °求证:平面 ABC ⊥平面 PBC 解析:要证明面面垂直,只要在其呈平面内找一条线,然后证 明直线与另一平面垂直即可。显然 BC 中点 D, 证明 AD 垂直平 PBC 即可 证明: 取 BC 中点 D 连结 AD、PD ∵PA=PB;∠APB=60° ∴Δ PAB 为正三角形 同理Δ PAC 为正三角形 设 PA=a 在 RTΔ BPC 中,PB=PC=a

BC= 2 a

∴PD=

2 a 2

在Δ ABC 中

www.91tutor.com
AD=

自助家教网

海量教学资源,免费下载

AB2 ? BD2

=

2 a 2
2 2

? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ∵AD +PD = ? ? 2 a? ? ? 2 a? ? ? ? ?
2 2

=a =AP

2

2

∴Δ APD 为直角三角形 即 AD⊥DP 又∵AD⊥BC ∴AD⊥平面 PBC ∴平面 ABC⊥平面 PBC 136. 如图,正方形 ABCD 所在平面与正方形 ABEF 所在平 面 成 60°的二面角,则异面直线 AD 与 BF 所成角的余弦值 是 解析: .

?DAF为二面角60? , 可设AD长为a, 则DF 长为a又 ? AB ? 平面CDF ? CD ? 平面CDF , CD ? DF ,? CF ? 2a, 又在? BCF中, BC ? a, BF ? 2a 根据余弦定理可得.
137. 如图,M、N、P 分别是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的三个侧面 ABCD、CC1D1D、BCC1B1 的中心,则 A1M 与 NP 所成的角是( ) (A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 90°

www.91tutor.com

自助家教网

海量教学资源,免费下载

解析:D 如图所示

138. 相交成 90°的两条直线和一个平面所成的角分别是 30°和 45°, 则这两条直线在该平 面内的射影所成的锐角是( )

? (A) arccos ?

? ? ?

3? ? 3 ? ?

(B)

?
2

? arcsin

6 3

(C)

? ? arcsin

6 3

(D) arcsin

6 3

解析:分析:设直角顶点到平面的距离是 1,所求的角为 θ,则 cos ? ?

12 ?

? 3? ? ? 6 ?
2

2

2? 3



139. 在三棱锥 P-ABC 中, ? APB= ? BPC= ? CPA=600,求二面角 A-PB-C 的余弦值。 解析:在二面角的棱 PB 上任取一点 Q,在半平面 PBA 和 半平面 PBC 上作 QM ? PB, ? PB, QN 则由定义可知 ? MQN B Q

P

?

M A N G A

?

H

C

www.91tutor.com
即为二面角的平面角。

自助家教网

海量教学资源,免费下载

设 PM=a,则在 Rt ? PQM 和 Rt ? PQN 中可求得 QM=QN=

3 a; 2

又由 ? PQN ? ? PQM 得 PN=a,故在正 ? PMN 中 MN=a,在 ? MQN 中由余弦定理得 cos ? MQN=

1 1 ,即二面角的余弦值为 。 3 3

140. 三棱柱 ABC-A1B1C1 中, ? BAC=900,AB=BB1=1,直线 B1C 与平面 ABC 成 300 角,求二面 角 B-B1C-A 的正弦值。 解析:可以知道,平面 ABC 与平面 BCC1B1 垂直,故可由面 面垂直的性质来寻找从一个半平面到另一个半平面的垂 线。

B1

C1

解:由直三棱柱性质得平面 ABC ? 平面 BCC1B1,过 A 作 AN ? 平面 BCC1B1,垂足为 N,则 AN ? 平面 BCC1B1, (AN ? 棱 B1C, 即为我们要找的垂线) 在平面 BCB1 内过 N 作 NQ B 垂足为 Q,连 QA,则 ? NQA 即为二面角的平面角。 ∵AB1 在平面 ABC 内的射影为 AB,CA ? AB,∴CA ? B1A,

A1 Q N C

A

AB=BB1=1,得 AB1= 2 。∵直线 B1C 与平面 ABC 成 300 角,∴ ? B1CB=300,B1C=2,Rt△B1AC 中,由勾股定理得 AC= 2 ,∴AQ=1。在 Rt△BAC 中,AB=1,AC= 2 ,得 AN=

6 。 3

sin ? AQN= AN

AQ

=

6 6 。即二面角 B-B1C-A 的正弦值为 。 3 3

141. 已知菱形 ABCD 边长为 a,且其一条对角线 BD=a,沿对角线 BD 将 ?ABD 折起

与?BCD 所在平面成直二面角,点 E、F 分别是 BC、CD 的中点。
(1)求 AC 与平面 AEF 所成的角的余弦值 (2)求二面角 A-EF-B 的正切值。

BD (1) 解析:菱形 ABCD 的对角线 AC?BD,因此BD?AO , ?OC ? BD?面AOC :
,中位线 EF//BD,可知 EF? 面 AOC, EF ? 面AEF ,故面 AEF?面AOC ,这样 AC 在 面 AEF 内的射影就是 AG, ?CAG 就是 AC 与平面 AEF 的成角,解三角形 AOC 可得

www.91tutor.com
AC ?

自助家教网

海量教学资源,免费下载

6 3 15 a,CG ? a,AG ? a。 2 4 4

? cos ?CAG ?

3 10 10

(2)分析:由前一小问的分析可知 EF?平面AOC ,? EF?AG,EF?OG,故?AGO

就是二面角 A-EF-B 的平面角,在 Rt?AOG 中, ?AOG ? 90? , AO ?

3 a, 2

OG ?

3 a。 4

3 a AO 2 ?2 ? tg?AGO ? ? OG 3 a 4

142. 如图,ABCD-A1B1C1D1 是正方体,E 是 CC1 的中点,求二面角 B-B1E-D 的余弦值。 解析:图中二面角的二个半平面分别为△DEB1 所在的半平面和△BEB1 所在的半平面,即正 方体的右侧面,它们的交线即二面角的棱 B1E。不难找到 DC 即为从其中的一个半平面出发, 并且垂直于另一个半平面的直线。 解: 由题意可得直线 DC ? 平面 BEB1,且垂足为 C,过 C 作 CF ? B1E 于 F(如图,F 在 B1E 的延长线上) ,连 DF,则由三垂线定理可得 ? DFC 即二面角的平面角。

△B1C1E~△CFE,∴CF=

B1C1 ? CE 5 ? a; B1 E 5

B1

C1 E F C

B

www.91tutor.com
1 2 30 DF= a ? a ? a. 5 5
2

自助家教网
D1 A1 D A

海量教学资源,免费下载 C1 B1 E F C B

5 a ∴cos ? DFC= 5

6 。 ? 30 6 a 5
6 。 6

即二面角的平面角的余弦值为

143. 如图, 在平面角为 600 的二面角 ? -l- ? 内有一点 P, 到 ? 、? 分别为 PC=2cm,PD=3cm, P 则垂足的连线 CD 等于多少? (2) 到棱 l 的距离为多少? P 解析: 对于本题若这么做: C 在平面 ? 内作棱 l 的垂线, 过 垂足为 E,连 DE,则 ? CED 即为二面角的平面角。这么作 辅助线看似简单,实际上在证明 ? CED 为二面角的平面角 时会有一个很麻烦的问题,需要证明 P、D、E、C 四点共 面。这儿,可以通过作垂面的方法来作二面角的平面角。 解:∵PC、PD 是两条相交直线, ∴PC、PD 确定一个平面 ? ,设 ? 交棱 l 于 E,连 CE、DE。 ∵PC⊥ ? , ∴PC⊥l,

?
P C

D

E l

?

又∵PD⊥ ? ,∴PD⊥l。 ∴l⊥平面 ? ,则 l⊥CE、DE,故 ? CED 即为二面角的平面角,即 ? CED=600。 ∴ ? CPD=1200,△PCD 中,PD=3,PC=2,由余弦定理得 CD= 19 cm。由 PD⊥DE,PC⊥CE 可得 P、D、E、C 四点共圆,且 PE 为直径,由正弦定理得 PE=2R=

CD 19 2 57 cm。 = = sin ?CED sin 600 3

说明:三垂线定理及其逆定理是作二面角的平面角的最主要的方法,要引起重视。 144. 如图,梯形 ABCD 中,BA⊥AD,CD⊥AD,AB=2,CD=4,P 为平面 ABCD 外一点,平面 PAD ⊥平面 ABCD,△PBC 是边长为 10 的正三角形,求平面 PAD 与面 PBC 所成的角. 解法一:如图,延长 DA、CB 交于 E,

AB 2 1 = = ,∴AB 是△ECD 的中位线,CB=BE=10. CD 4 2

又△PCB 为正△,易证△PCE 为直角三角形,PE⊥PC.又平面 PDA⊥平面 ABCD,且 CD⊥交线 DA,∴CD⊥平面 PDE.PE 是 PC 在平面 PDE 内的射影,∴PE⊥PD(三垂线定理的逆定理).故∠

www.91tutor.com

自助家教网

海量教学资源,免费下载

CPD 是 D-PE-C 的平面角.在 Rt△CDP 中,sin∠DPC=

4 2 2 = ,故二面角大小为 arcsin . 10 5 5

解法二:利用 Scosθ =S′.如右图, 平面 PAD⊥平面 ABCD

?
CD⊥AD,BA⊥AD BA⊥平面 PAD

?
CD⊥平面 PAD △PAD 是△PBC 在平面 PDA 内的射影.设面 PDA 与面 PCB 所成的二面角为θ , S△PDA=S△PCB· 则 cos θ .Rt△PAB 中,PA=4 6 =AD;Rt△PDC 中,PD=2 21 .

∴△PAD 为等腰三角形且 S△PAD=

1 PD·AH=15 7 . 2

cosθ =

S ?PAD 15 7 21 = = , 5 S ?PBC 25 3

θ =arccos=

21 . 5
D1 A1

C
1

145. 如图,平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 的底面为正方形,点 A1 在底面的射影 O 在 AB 上,已知侧棱 A1A 与底面 ABCD 成 D 450 角,A1A=a。求二面角 A1-AC-B 的平面角的正切值。 (答案:

B1 C A O
1

B

2)

作OE ? AC , 连接A1E , 根据三垂线定理EO ? AC , A1E ? AC , ??A1EO为A1 -AC-B的平面角.

P

A A B C

D

www.91tutor.com

自助家教网

海量教学资源,免费下载

146. 如图,在梯形 ABCD 中,AD//BC, ? ABC=900,AB=a,AD=3a,sin ? ADC=

5 ,又 PA 5

⊥平面 ABCD,PA=a,求二面角 P-CD-A 的大小。(答案:arctg

5 ) 3

作AE ? CD, 连接PE,则?PEA为P-CD-A的平面角,又 ? 5 AE ,在RT? ADE中,sin ?ADC= , 可求AE. 5 AD 又PA ? a, 可求出二面角?PEA的正切值来. sin ?ADC=
147. 已知 Rt△ABC 的两直角边 AC=2,BC=3,P 为斜边上一 点,沿 CP 将此直角三角形折成直二面角 A—CP—B,当 AB=71/2 时,求二面角 P—AC—B 的大小。

作法一:∵A—CP—B 为直角二面角, ∴过 B 作 BD⊥CP 交 CP 的延长线于 D,则 BD⊥DM APC。 ∴过 D 作 DE ⊥AC,垂足为 E,连 BE。

www.91tutor.com

自助家教网

海量教学资源,免费下载

∴∠DEB 为二面角 A—CP—B 的平面角。 作法二:过 P 点作 PD′⊥PC 交 BC 于 D′,则 PD′⊥面 APC。 ∴过 D′作 D′E′⊥AC,垂足为 E′,边 PE′, ∴∠D′E′P 为二面角 P—AC—B 的平面角。 148. 矩形 ABCD,AB=3,BC=4,沿对角线 BD 把△ABD 折起, 使点 A 在平面 BCD 上的射影 A′落在 BC 上,求二面角 A—BC-—C 的大小。

这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题,解决问题的关键在 于搞清折叠前后“变”与“不变”。结果在平面图形中过 A 作 AE⊥BD 交 BD 于 O、交 BC 于 E,则折叠后 OA、OE 与 BD 的垂直关系不变。但 OA 与 OE 此时变成相交两线段并 确定一平面,此平面必与棱垂直。由特征Ⅱ可知,面 AOE 与面 ABD、面 CBD 的交线 OA 与 OE 所成的角,即为所求二面角的平面角。另外,A 在面 BCD 上的射影必在 OE 所在的直线上,又题设射影落在 BC 上,所以 E 点就是 A′,这样的定位给下面的定量提 供了优质服务。事实上,AO=AB· AD/BD=3*4/5=12/5,OA′=OE=BO·tgc∠CBD,而 BO=AB2/BD=9/5, tg∠CBD,故 OA′=27/20。在 Rt△AA′O 中,∠AA′O=90°所以 cos∠ AOA′=A′O/AO=9/16,ty∠AOA′=arccos9/16 即所求的二面 arccos9/16。 149. 将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,使得 BD ? a ,则三棱锥 D — ABC 的体积为 ( )

a3 A. 6
D

a3 B. 12

C.

3 3 a 12

D.

2 3 a 12

解析:取 BD 的中点为 O,BD⊥平面 OAC, S?AOC ?

1 1 2 2 ? 2a ? a ? a ,则 2 2 4

VD? ABC ? 2VB? AOC =

2 3 a 。选 D 12

150. 在矩形 ABCD 中,AB=a,AD=2b,a<b,E、F 分别是 AD、BC 的中点,以 EF 为折痕把四边形 EFCD 折起, 当 ?CEB ? 90 时,二面角 C—EF—B 的平面角的余
?
b E a F D C

B A

www.91tutor.com
弦值等于

自助家教网
( )

海量教学资源,免费下载

A.0

B.

a2 b2

C. ?

a2 b2

D. ?

a b

解析:由图可知

CE=BE= a 2 ? b 2

2 2 ? 当 ?CEB ? 90 时,CB= 2( a ? b ) 。

?CFB 为所求平面角,由余弦定理得 cos ?CFB ?
(C)。

2b 2 ? 2(a 2 ? b 2 ) a2 ?? 2。 选 2b 2 b


相关文档

高中立体几何典型500题及解精品2
高中立体几何典型500题及解析(二)(51~100题)
高中立体几何典型500题及解析(一)(1-50题)
高中立体几何典型500题及解析(五-六)(201~300题)
高中立体几何典型500题及解析(八)(351~400题)
高中立体几何典型500题及解析(九)(401~450题)
高中立体几何典型500题及解析(七)(301~350题)
高中立体几何典型500题及解析(四)(151~200题)
高中立体几何典型500题及解析(三)(101~150题)
高中立体几何典型500题及解析(五)(201~250题)
电脑版