2017_18学年高中数学第一章1.1棱柱棱锥棱台的结构特征课件_图文

第1课时

棱柱、棱锥、棱台的结构特征

1.知道空间几何体的概念及其含义,了解空间几何体的分类及其 相关概念. 2.了解棱柱、棱锥、棱台的定义,知道这三种几何体的结构特征, 能够识别和区分这些几何体.

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1.空间几何体的定义 空间中的物体都占据着空间的一部分,如果只考虑这些物体的形 状和大小,而不考虑其他因素,那么由这些物体抽象出来的空间图 形就叫做空间几何体.

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2.空间几何体的分类 类别 多面体 旋转体 由一个平面图形绕它所在平 由若干个平面多边形围成的 定义 面内的一条定直线旋转所形 几何体 成的封闭几何体

图形

面:围成多面体的各个多边形; 轴:形成旋转体时所绕的定直 棱:相邻两个面的公共边; 线 顶点:棱与棱的公共点

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名师点拨 对多面体的理解,应注意以下几个方面: (1)多面体是由平面多边形围成的,不是由圆面或其他曲面围成的, 也不是由空间多边形围成的. (2)本章所说的多边形,一般包括它内部的平面部分,故多面体是 一个“封闭”的几何体. (3)围成一个多面体至少需要四个面. (4) 如果一个多面体是由几个面围成的,那么这个多面体就称为 几面体.

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【做一做1】 下列物体不能抽象成旋转体的是( ) A.篮球 B.日光灯管 C.电线杆 D.金字塔 解析:金字塔是多面体,不能抽象成旋转体;篮球、日光灯管、电 线杆都可抽象成旋转体. 答案:D

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3.棱柱 一般地,有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且 定义 每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围 成的多面体叫做棱柱 棱柱中, 这两个互相平行的面叫做棱柱的底面,简称底; 有关 其余各面叫做棱柱的侧面;相邻侧面的公共边叫做棱柱 概念 的侧棱;侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点

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图形

表示 用表示底面各顶点的字母表示棱柱,如上图中的棱柱可 法 表示为棱柱 ABCDE-A'B'C'D'E' 按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱 分类 柱……

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【做一做2】 下列说法正确的是( ) A.所有的棱柱都有一个底面 B.棱柱的顶点至少有6个 C.棱柱的侧棱至少有4条 D.棱柱的棱至少有4条 解析:因为棱柱有两个底面,所以A项不正确;因为棱柱底面的边 数至少是3,棱柱的顶点数至少是6,棱柱的侧棱数至少是3,棱柱的棱 数至少是9,所以C,D项不正确,B项正确. 答案:B

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4.棱锥 一般地,有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点 定义 的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥 多边形面叫做棱锥的底面或底;有公共顶点的各个三角形 有关 面叫做棱锥的侧面;各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点;相 概念 邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱

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图形

表示 法 分类

用表示顶点和底面各顶点的字母表示,如上图中的棱锥可 表示为棱锥 S-ABCD 按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……其 中三棱锥又叫四面体

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【做一做3】 下列棱锥有6个面的是( ) A.三棱锥 B.四棱锥 C.五棱锥 D.六棱锥 解析:三棱锥有4个面;四棱锥有5个面;五棱锥有6个面;六棱锥有7 个面. 答案:C

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5.棱台 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间 的部分叫做棱台 原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面;其 有关概 他各面叫做棱台的侧面;相邻侧面的公共边叫做棱台的侧 念 棱;底面与侧面的公共顶点叫做棱台的顶点 定义

图形

用表示底面各顶点的字母表示棱台,如上图中的棱台可表 表示法 示为棱台 ABCD-A'B'C'D' 分类 按底面多边形的边数分为三棱台、四棱台、五棱台……

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归纳总结1.棱台的侧棱延长后交于一点,侧面是梯形. 2.在棱台中,两个底面与平行于底面的截面是相似多边形,如图① 所示.

3.在棱台中,过不相邻的两条侧棱的截面是梯形,如图②所示.

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【做一做4】 下列四个几何体是棱台的为(

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解析:A项中的几何体是棱柱;B项中的几何体是棱锥;D项中的几 何体的侧棱没有交于一点,则它不是棱台;很明显C项中的几何体是 棱台. 答案:C

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1.识别棱柱 剖析:判断一个几何体是不是棱柱,关键是要紧扣棱柱的三个本 质特征: (1)有两个面互相平行; (2)其余各面是平行四边形; (3)在这些平行四边形中,每相邻两个面的公共边都互相平行. 这三个特征缺一不可,如图所示的几何体有两个面互相平行,其 余各面都是平行四边形,但不具备特征(3),故不是棱柱.

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2.识别棱锥 剖析:将图①所示的正方体ABCD-A1B1C1D1截去两个三棱锥AA1B1D1和C1-B1CD1,得如图②所示的几何体.

图②所示的几何体有一个面ABCD是四边形,其余各面都是三角 形,很明显这个几何体不是棱锥.因此,有一个面是多边形,其余各面 都是三角形的几何体不一定是棱锥.

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由此看出,判断一个几何体是不是棱锥,关键是要紧扣棱锥的三 个本质特征: (1)有一个面是多边形;(2)其余各面是三角形;(3)这些三角形有一 个公共顶点.这三个特征缺一不可.

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3.棱柱、棱锥、棱台的结构特征比较 剖析:如下表所示.
结构特征 底面 侧面 侧棱 棱柱 两个底面是全 等的多边形 平行四边形 平行且相等 棱锥 只有一个底 面,且底面是 多边形 三角形 相交于同一 点 与底面是相 似的多边形 三角形 棱台 两个底面是相似 的多边形 梯形 延长线交于同一 点 与两个底面是相 似的多边形 梯形

平行于底面 与两个底面是 的截面 全等的多边形 过不相邻两 平行四边形 侧棱的截面

题型一

题型二

题型一

棱柱、棱锥、棱台的结构特征

【例1】 下列说法不正确的是 .(只填序号) ①棱台的侧面一定不会是平行四边形; ②一个底面是正方形的棱锥的侧棱长相等; ③棱柱的底面一定是平行四边形; ④棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面.

题型一

题型二

解析:

棱台的侧面为梯形,故①正确;若ABCD-A1B1C1D1为正方体,则四 棱锥A-A1B1C1D1的底面是正方形,但侧棱长不相等,故②不正确;易 知③不正确;在如图所示的棱柱中,前、后两个面互相平行,但都不 是底面,故④不正确. 答案:②③④

题型一

题型二

反思棱柱、棱锥、棱台的定义是识别和区分多面体结构特征的关 键.因此,在涉及多面体的结构特征问题时,先看是否满足定义,再看 它们是否具备各自的性质.

题型一

题型二

【变式训练1】 下列说法正确的有( ) ①一个棱柱至少有五个面;②用一个平面去截棱锥,底面和截面 之间的部分叫棱台;③棱台的侧面是等腰梯形;④各个面都是三角 形的几何体是三棱锥. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

题型一

题型二

解析:

①中,因为棱柱有两个底面,所以棱柱的面数由侧面个数决定,而
侧面个数与底面多边形的边数相等,所以面数最少的棱柱为三棱柱, 有五个面,故①正确;②中,截面与底面不一定平行,故②不正确;③中, 因为棱台是由棱锥截来的,而棱锥的所有侧棱不一定相等,所以棱 台的侧棱不一定都相等,即不一定是等腰梯形,故③不正确;④中,如 图所示的几何体各面均为三角形,但不是三棱锥,故④不正确. 答案:A

题型一

题型二

题型二

对多面体的识别和判断

【例2】 根据下列关于多面体结构特征的描述,说出多面体的名称: (1)由6个平行四边形围成的几何体; (2)由7个面围成,其中一个面是六边形,其余6个面都是有一个公 共顶点的三角形. 解:(1)棱锥的侧面形状只能是三角形,则该多面体不是棱锥;棱台 的侧面形状是梯形,则该多面体不是棱台,所以该几何体只能是棱 柱.由6个面均是平行四边形,知该棱柱的底面是平行四边形,即该几 何体是底面为平行四边形的四棱柱. (2)棱柱和棱台的面中有0个或2个面是三角形(即底面),则该多面 体不是棱柱和棱台,而是棱锥.这6个三角形是侧面,六边形是底面, 即该棱锥是六棱锥.

题型一

题型二

反思根据多面体的特征描述识别和判断多面体时,要结合棱柱、棱 锥、棱台的结构特征(侧面形状、底面形状、侧棱、底边等)来确 定.注意判断时要充分发挥空间想象能力,必要时做出几何模型通 过演示进行准确判断.

题型一

题型二

【变式训练2】 如图,观察下面四个几何体,其中判断正确的是 ( )

A.①是棱台 B.②是棱台 C.③是棱锥 D.④不是棱柱

题型一

题型二

解析:①不是由棱锥截来的,所以①不是棱台;②上、下两个底面 不平行,所以②不是棱台;③是棱锥;④前、后两个面平行,其他的面 都是平行四边形,且相邻两个平行四边形的公共边互相平行,所以 ④是棱柱,故选C. 答案:C


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