高三数学一轮复习 第2章第11节 导数在研究函数中的应用课件 文 (广东专用)_图文

第十一节 导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数 2.函数的极值与导数 (1)若函数f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函 数值 都小 ,且f′(a)=0,而且在x=a附近的左侧 f′(x)<0 ,右侧 f′(x)>0 ,则a点叫函数的极小值点,f(a)叫函数的极小值. (2)若函数f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函 数值 都大 ,且f′(b)=0,而且在x=b附近的左侧 f′(x)>0 , 右侧 f′(x)<0 ,则b点叫函数的极大值点,f(b)叫函数的极大值,极 大值和极小值统称为极值. 3.函数的最值与导数 (1)函数f(x)在[a,b]上有最值的条件 如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条 连续不断的曲线,那 么它必有最大值和最小值. (2)求y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值的步骤 ①求函数y=f(x)在(a,b)内的 极值 . ②将函数y=f(x)的各极值与 端点处的函数值f(a)、f(b) 比较,其中 最大 的一个是最大值, 最小 的一个是最小值. 1.f′(x)>0是f(x)在(a,b)内单调递增的充要条件吗? 【提示】 函数f(x)在(a,b)内单调递增,则f′(x)≥0,f′(x)>0是f(x) 在(a,b)内单调递增的充分不必要条件. 2.导数值为0的点一定是函数的极值点吗?它是可导函数在该点取得 极值的什么条件? 【提示】 不一定.如函数f(x)=x3,在x=0处,有f′(0)=0,但x=0 不是函数f(x)=x3的极值点,对于可导函数,若x=x0为其极值点,则需 满足以下两个条件:①f′(x0)=0,②x=x0两侧的导数f′(x)的符号异 号.因此f′(x0)=0是函数y=f(x)在点x=x0取得极值的必要不充分条件 . 4 1.(教材改编题)当 x>0 时,f(x)=x+x 的单调减区间是( A.(2,+∞) C.( 2,+∞) B.(0,2) D.(0, 2) ) 【解析】 4 4 f′(x)=1-x2,令 f′(x)<0,得 1-x2<0. ∴0<x<2,∴f(x)的减区间为(0,2). 【答案】 B 2.函数 y=x3+ax+b 在区间[-1,1]上为减函数,在(1,+∞)上 为增函数,则 a 等于( A.3 ) C. 3 3 D.- 3 3 B.-3 【解析】 y′=3x2+a,由题意知,当x=1时,y′=0,∴a=-3. 【答案】 B 1 3.函数 f(x)= x2-ln x 的最小值( 2 A. 1 2 B.1 C.不存在 D .0 ) 【解析】 2 1 x -1 f′(x)=x- = ,且 x>0, x x 令 f′(x)>0,得 x>1;令 f′(x)<0,得 0<x<1. 1 1 ∴f(x)在 x=1 时取最小值 f(1)= -ln 1= . 2 2 【答案】 A 4.(2011·广东高考)函数f(x)=x3-3x2+1在x=________处取得极小值. 【解析】 f′(x)=3x2-6x=3x(x-2), 令f′(x)>0,得x>2或x<0;令f′(x)<0,得0<x<2. 所以函数的单调递增区间为(-∞,0),(2,+∞),减区间为(0,2), 所以函数在x=2处取得极小值. 【答案】 2 (2011·广东高考改编)设0<a≤1,讨论函数f(x)=ln x+a(1 -a)x2-2(1-a)x的单调性. 【思路点拨】 (1)转化为判定f′(x)的正负;(2)在0<a≤1,x>0时 ,进而把所求问题转化为求g(x)=2a(1-a)x2-2(1-a)x+1>0(或小 于0)的解. 【尝试解答】 函数 f(x)的定义域为(0,+∞), 1 f′(x)= +2a(1-a)x-2(1-a) x 2a?1-a?x2-2?1-a?x+1 = , x 令 g(x)=2a(1-a)x2-2(1-a)x+1, 1 (1)当 a=1 时,g(x)=1,f′(x)= >0, x 此时 f(x)在(0,+∞)上单调递增. (2)当 a≠1 时,f′(x)=0,即 g(x)=0, 其判别式 Δ=4(1-a)(1-3a), 1 ①当 0<a< 时,Δ>0,f′(x)有两个零点, 3 ?a-1??3a-1? 1 x1= - >0, 2a 2a?1-a? x2= ?a-1??3a-1? 1 + , 2a 2a?1-a? 且当 0<x<x1 或 x>x2 时,g(x)>0,∴f′(x)>0. 因此 f(x)在(0,x1)与(x2,+∞)内为增函数; 当 x1<x<x2 时,g(x)<0,f′(x)<0, ∴f(x)在区间(x1,x2)内是减函数. 1 ②当 ≤a≤1 时,Δ≤0,g(x)≥0,则 f′(x)≥0. 3 所以 f(x)在(0,+∞)内为增函数. 1 综上所述,当 0<a< 时, 3 f(x)在(0, ( ?1-a?- ?1-a??1-3a? ), 2a?1-a? ?1-a?+ ?1-a??1-3a? ,+∞)上单调递增, 2a?1-a? ?1-a?- ?1-a??1-3a? ?1-a?+ ?1-a??1-3a? , ) 上单调递 2a?1-a? 2a?1-a? 在( 1 减;当 ≤a≤1 时,f(x)在(0,+∞)上单调递增., 3 若例题中函数f(x)的解析式改为“函数f(x)=(-x2+ ax)ex(x∈R,e为自然对数的底数)”.试求解如下问题: (1)当a=2时,求函数f(x)的单调递增区间; (2)若函数f(x)在(-1,1)上单调递增,求a的取值范围. 【解】 (1)当 a=2 时,f(x)=(-x2+2x)ex, ∴f′(x)=(-2x+2)ex+(-x2+2x)ex=(-x2+2)ex. 令 f′(x)>0,即(-x2+2)ex>0, ∵ex>0,∴-x2+2>0,解得- 2<x< 2.

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