不定积分教案

第五章 不定积分
章节题目:5.1 不定积分的概念 5.2 不定积分的性质 5.3 换元积分法 5.4 分部积分法 学时分配:共 6 学时。 5.1 不定积分的概念 5.2 不定积分的性质 5.3 换元积分法 5.4 分部积分法

教学安排说明

1 学时 1 学时 2 学时 2 学时

本章教学目的与要求: 理解并掌握原函数与不定积分的概念;熟练掌握不定积分 的基本公式和基本积分方法,熟练地利用换元积分法与分部积分法求不定积分。

课 堂 教 学 方 案(一)
课程名称:5.1 不定积分的概念;5.2 不定积分的性质 授课时数:2 学时 授课类型:理论课 教学方法与手段:讲授法 教学目的与要求:理解并掌握原函数与不定积分的概念;熟练掌握不定积分的基 本公式,了解不定积分的基本运算法则,能够用不定积分的基本公式和性质求不 定积分 教学重点、难点:教学重点:原函数和不定积分的概念,不定积分的性质及几何意 义,不定积分的基本公式;教学难点:不定积分的概念及几何意义和用不定积分 的性质求不定积分。 教学内容 5.1 不定积分的概念 1.原函数与不定积分 在微分学中,我们讨论了求已知函数的导数与微分的问题。但是,在科学、

1

技术和经济的许多问题中,常常还需要解决相反的问题,也就是要由一个函数的 已知导数(或微分) ,求出这个函数。这种由函数的已知导数(或微分)去求原来 的函数的运算,称为不定积分,这是积分学的基本问题之一。 定义 1 如果函数 f ( x) 与 F ( x) 为定义在某同一区间内的函数,并且处处都有
F ' ( x) ? f ( x) 或 dF ( x) ? f ( x)dx ,

则称 F ( x) 是 f ( x) 的一个 原函数. .. 根据导数公式或微分公式,我们很容易得出一些简单函数的原函数.如
(sin x)? ? cos x , (sin x ? 1)? ? cos x ,

故 sin x 是 cos x 的一个原函数; 故 sin x ? 1 也是 cos x 的一个原函数; 故 x 2 是 2 x 的一个原函数; 故 x 2 也是 2 x 的一个原函数.

( x 2 )? ? 2 x , ( x 2 ? 2)? ? 2 x ,
. . . . . .

由此可见,一个函数的原函数并不是唯一的.对此有以下两点需要说明: 第一,若在某区间内 F ( x) 为 f ( x) 的一个原函数,即 F ?( x) ? f ( x) ,则对任意常 数 C , 由于 ( F ( x) ? C )? ? f ( x) ,所以函数 F ( x) ? C 都是 f ( x) 的原函数.这说明如果 函数 f ( x) 有原函数,那么它就有无限多个原函数. 第二,若在某区间内 F ( x) 为 f ( x) 的一个原函数,那么, f ( x) 的其它原函数和
F ( x) 有什么关系?

设 ? ( x ) 是 f ( x) 在同一区间上的另一个原函数,即 ??( x) ? f ( x) ,于是有
[?( x) ? F ( x)]? ? ??( x) ? F ?( x) ? 0,

由于导数恒为零的函数必为常数,因此

2

?( x) ? F ( x) ? C1 (C1为某个常数),
即 ?( x) ? F ( x) ? C1. 这说明 f ( x) 的任意两个原函数之间只差一个常数. 因此,如果 F ( x) 是 f ( x) 的一个原函数,则 f ( x) 的全体原函数可以表示为
F ( x) ? C

(其中 C 为任意常数).

为了更方便地表述一个函数的全体原函数,我们引入下面不定积分的概念. 2.不定积分的概念 定义 2 函数 f ( x) 在某区间内的全体原函数称为 f ( x) 在该区间内的不定积分, 记为
f ( x)dx ,

其中记号 ? 称为积分号, f ( x) 称为被积函数, f ( x)dx 称为被积表达式, x 称为积分 变量.即

? f ( x)dx ? F ( x) ? C .

这说明 ,要计算函数的不定积分 , 只需求出它的一个原函数 , 再加上任意常数
C 就可以了.

例 1 求 f ( x) ? 2 x 的不定积分. 解:因为 ( x 2 )? ? 2 x ,所以 ? f ( x)dx ? ? 2 xdx ? x 2 ? C. 例 2 求 f ( x) ? e x 的不定积分. 解:因为 (e x )? ? e x ,所以 ? f ( x)dx ? ? e x dx ?e x ? C. 3.不定积分学的几何意义 不定积分的几何意义:若 F ( x) 是 f ( x) 的一个原函数,则称 y ? F ( x) 的图象为
f ( x) 的一条积分曲线.于是, f ( x) 的不定积分在几何上表示 f ( x) 的某一条积分曲

线沿纵轴方向任意平移所得一组积分曲线组成的曲线族.若在每一条积分曲线上 横坐标相同的点处作切线,则这些切线互相平行(如图4-1),任意两条曲线的纵坐

3

标之间相差一个常数.给定一个初始条件,就可以确定一个常数 C 的值,因而就确 定了一个原函数,于是就确定了一条积分曲线. 例 3 设曲线通过点 (1,2) ,且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求 此曲线的方程. 解:设所求的曲线方程为 y ? f ( x) ,按题设,曲线上任一点 ( x, y ) 处的切线斜率 为
dy ? 2 x, dx

说明 y ? f ( x) 是 2 x 的一个原函数.因为 2 x 的全体原函数为

? 2 xdx ? x

2

?C,

所以曲线方程为 y ? f ( x) ? x 2 ? C ,又由于曲线过点 (1,2) ,故 f (1) ? 2 , 1 ? C ? 2, 解 得 C ? 1 ,于是所求曲线为 y ? f ( x) ? x2 ? 1 . 例 4 一物体作直线运动,速度为 v(t ) ? 2t 2 ? 1m / s,当t ? 1s时,物体所经过的 路 程为 3m,求物体的运动方程。 解:设物体的运动方程为 s ? s(t ). 依题意有 s?(t ) ? v(t ) ? 2t 2 ? 1, 所以
2 3 t ?t ?C 3 4 将 t ? 1, s ? 3代入上式,得 C ? ,因此,所求物体的运动 方程为 3 2 3 4 s (t ) ? t ? t ? 3 3 s (t ) ? ? (2t 2 ? 1)dx ?

一般,若 F ( x) 是函数 f ( x) 的原函数,那么 y ? F ( x) 所表示的曲线称为 f ( x) 的 一条积分曲线。 不定积分 ? f ( x ) dx 在几何上表示由积分曲线 y ? F ( x) 沿 y 轴方向上 下平移而得到的一族曲线,称为积分曲线族。这就是不定积分的几何意义。 课堂练习:填空

4

2 ? ex x 小结:本节讲述了原函数的概念,不定积分的概念,性质及几何意义。


? ? x4 )



? ? csc 2 x )



?? )

4.基本积分表及常用的积分公式 第一节我们知道积分与微分互为逆运算,因此由第二章的导数的基本公式可 以相应地写出不定积分的基本公式。列表如下: (1) ? kdx ? kx ? C (2) ? x u dx ? ( k 是常数);
( ? ? ?1) ;

1 u ?1 x ?C u ?1

1 (3) ? dx ? ln x ? C ; x 1 x a ?C (4) ? a x dx ? ln a

(a ? 0, a ? ?1) ;

(5) ? e x dx ? e x ? C ; (6) ? sin xdx ? ? cos x ?C ; (7) ? cos xdx ? sin x ?C ;
1 dx ? ? sec 2 xdx ? tan x ?C ; 2 cos x 1 (9) ? 2 dx ? ? csc 2 xdx ? ? cot x ?C ; sin x

(8) ?

(10) ? (11) ?

1 1? x2

dx ? arcsin x ? C ;

1 dx ? arctan x ? C ; 1? x2

(12) ? sec x tan xdx ? sec x ? C ; (13) ? csc x cot xdx ? ? csc x ? C ; 以上 13 个基本积分公式是求不定积分的基础,若能熟记,则对不定积分的运算 会起到关键性的作用. 以上 11 个公式是求不定积分的基础,必须熟记。

5

例 5 求下列不定积分: (1) ? x dx 解:(1) (2)

(2) ?

1 dx (3) x2
3

?2

x

? e x dx

?
?x

1 1 2 ?1 xdx ? ? x dx ? 1 x2 ? C ? x2 ? C 3 2 ?1
1
2

1 2

dx ? ? x ? 2 dx ?
x x

1 1 x ? 2?1 ? C ? ? ? C ? 2 ?1 x

(2e) x 2x ? ex ?C ? ?C (3) ? 2 ? e dx ? ? (2e) dx ? ln 2e 1 ? ln 2
x

5.2 不定积分的性质 根据不定积分的定义,可以得到其如下性质: 性质 1 两个函数之和(差)的不定积分等于这两个函数的不定积分之和 (差), 即

? [ f ( x) ? g ( x)]dx ? ? f ( x)dx ? ? g ( x)dx .
证明:根据导数的运算法则,
[ ? f ( x)dx ? ? g ( x)dx]? ? [ ? f ( x)dx ]? ? [ ? g ( x)dx ]? ? f ( x) ? g ( x),

因此 ? f ( x)dx ? ? g ( x)dx 是 f ( x) ? g ( x) 的原函数,而且上式含有不定积分记号,因此 已经含有任意常数,故上式即为 f ( x) ? g ( x) 的不定积分.证毕. 类似可证明如下性质. 性质 2 不为零的常数因子可以移到积分号前

? af ( x)dx ? a ? f ( x)dx
例 1 求不定积分 ? (e x ? 2 sin x)dx.

(a ? 0)

解: ? (e x ? 2sin x)dx ? ? e x dx ? 2 ? sin xdx ?e x ? 2 cos x ? C . 例 2 求 ? (2 x ? 3 cos x ? 4)dx 解: ? (2 x ? 3 cos x ? 4)dx = ? 2 x dx ? 3? cos xdx ? 4 ? dx =
1 x 2 ? 3 sin x ? 4 x ? C ln 2

6

例3

求不定积分 ?
1 x2
?

1 x
5 2

2

x

dx .
5 ? ?1

解: ?

x 2 2 ?3 2 dx ? ? x dx ? ?C ? ? x 2 ?C ? ? ?C . 5 3 x 3 x x ? ?1 2

例 4 求不定积分 ? (2 x ? x 2 )dx . 解: ? (2 x ? x 2 )dx ? ? 2 x dx ? ? x 2dx ?
2x 1 3 ? x ?C . ln 2 3

注意:在分项积分后,每个不定积分的结果都应有一个积分常数,但任意常 数的和仍是常数,因此最后结果只要写一个任意常数即可。 例 5 求?
( x ? 1) 2 dx x

(x ? 1) 2 x 2 ? 2x ? 1 1 1 dx ? ? dx ? ? ( x ? 2 ? )dx ? x 2 ? 2 x ? ln x ? C 解: ? x x x 2

例 6 求 ? tan 2 xdx 解: ? tan 2 xdx ? ? (sec 2 x ? 1)dx ? tan x ? x ? C 上面例题都是属于基本积分法的应用,就是利用基本积分公式和积分运算法 则直接求不定积分.但有时并不是被积函数直接就符合基本积分公式,需要对被积 函数作适当的恒等变换 . 如用代数运算或三角关系等对被积函数进行变形,是变 形后的被积函数能直接使用基本公式和运算法则求出不定积分. x 例 7 求 ? cos 2 dx 2 x 1 ? cos x 1 1 dx ? ? (1 ? cos x)dx ? ( x ? sin x)dx ? C 解: ? cos 2 dx ? ? 2 2 2 2 sin 2 x dx . 例 8 求不定积分 ? cos x sin 2 x 2sin x cos x dx ? ? dx ? 2? sin xdx ? ?2 cos x ? C . 解: ? cos x cos x 例 9 求不定积分 ? 3x e x dx .

7

解: ? 3x e x dx ? ? (3e) x dx ? 例 10 求不定积分 ?

3x e x ?C . 1 ? ln 3

x4 dx . 1 ? x2

x4 1 dx ? x 2 ? 1 ? 解:由于 ,所以 2 1? x 1 ? x2 x4 1 x3 2 d x ? ( x ? 1 ? )d x ? ? x ? arctan x ? C . ? 1 ? x2 ? 1 ? x2 3

小结:本节讲述了不定积分的基本公式和基本运算法则,以及利用直接积分法求 函数的积分方法。 作业:P151 1;3(1) (4) (6) (7) (10) (11)

课 堂 教 学 方 案(二)
课程名称:5.3 换元积分法 授课时数:2 学时 授课类型:理论课 教学方法与手段:讲授法 教学目的与要求:掌握第一类换元积分法和第二类换元积分法求不定积分的基本 方法和步骤;强调第二类换元积分法与第一类换元积分法之间的区别;了解第二 类换元积分法适用的函数类型 教学重点、难点:教学重点:第一类换元积分法和第二类换元积分法;教学难点: 第一类换元积分法中中间变量 u ? ? ( x) 的选取,灵活地运用微分公式凑微分
du ? d? ( x) ? ? ?( x)dx; 第二类换元积分法中适当选取单调连续函数 x ? ? (t ) , 将积分

? f ( x)dx 化为积分 ? f [? (t )? ?(t )dt ,求出结果。
教学内容 5.3 换元积分法 有时仅仅依靠不定积分的性质和基本积分表来计算不定积分是非常有限的 ,因

8

此有必要讨论求不定积分的一种重要方法 ,其实质是把复合函数的求导法则反过 来用于求不定积分,也就是利用变量代换来求不定积分,这种方法称为换元积分法. 按照换元方式的不同,通常把换元法分为两类. 1.不定积分的第一类换元法(凑微分法) 1 dx. 例 1 求不定积分 ? 2x ?1 分析 基本积分公式表中没有与该积分一致的公式 ,因此该积分不能直接由积 1 分公式与不定积分的性质求得 .但注意到 是复合函数 , 且 d(2 x ? 1) ? 2dx ,于 2x ? 1 是可做如下的变换和计算: 1 1 1 1 1 dx ? ? ? 2dx ? ? d(2 x ? 1), 解 ? 2x ?1 2 2x ?1 2 2x ?1 1 1 ? ? du (令 u ? 2 x ? 1 ), 2 u 1 ? ln | u | ?C , 2 1 ? ln | 2 x ? 1 | ?C (将 u ? 2 x ? 1 回代), 2 1 1 由 ( ln | 2 x ? 1 | ?C )? ? ,验证上述积分结果正确. 2 2x ? 1 一般地,对于积分 ? f (ax ? b)dx ,总可以作变换 u ? ax ? b ,把它化为

? f (ax ? b)dx ? ? a f (ax ? b)d(ax ? b)
? 1? f (u )du ? ? u ? ax ?b . a ??

1

一般地,有: 定理 1 若 ? f ( x)dx ? F ( x) ? C 且 u ? ? ( x) 可导,则

? f (u)dx ? F (u) ? C .
定理 1 表明,在基本积分公式中,将 x 换成任一可导函数 u ? ? ( x) 后公式仍然成 立,从而扩充了基本积分公式的使用范围.定理中的结论可表示为

? f [? ( x)]d? ( x) ? F [? ( x)] ? C ,

9



? f [? ( x)]? ?( x)dx ? F [? ( x)] ? C . ? f [? ( x)]? ?( x)dx ? ? f [? ( x)] d[? ( x)] (凑微分)
? ? f (u )du

由此得到如下求不定积分的步骤,即

(令 u ? ? ( x) ) (积分公式) (将 u ? ? ( x) 回代).

? F (u) ? C ? F [? ( x)] ? C

上述方法称为第一类换元法或凑微分法. 注意:如果中间换了元,积分完了后,一定要回代,即将积分后的函数中 的变量 u 换成 ? ( x) ;如果熟练过后,可以不要换元这步,就将 ? ( x) 当作一个变 量来积分即可,最后也不需要回代了。 例 2 求不定积分 ? (2 x ? 1)10dx . 解:利用凑微分方法 dx ?
1 d( ax ? b) ,此时 a ? 2, b ? 1, a 1 1 10 10 10 ? (2 x ? 1) dx ? 2 ? (2 x ? 1) (2 x ? 1)?dx ? 2 ? (2 x ? 1) d(2 x ? 1) (凑微分) 1 ? ? u10du (换元,令 u ? 2 x ? 1 ) 2

1 u11 ? ?C 2 11
? 1 (2 x ? 1)11 ? C 22

(将 u ? 2 x ? 1 回代).

例 3 求 ? (3 x ? 1) 8 dx 解: ? (3 x ? 1) 8 dx ?
1 (3 x ? 1) 8 ? 3dx ? 3 1 1 (3x ? 1)8 ( ? 3x ? 1)?dx ? ? (3x ? 1)8 d (3x ? 1) ? 3 3

?

10

?

1 8 1 9 1 u du ? u ?C ? (3x ? 1)9 ? C ? 3 27 27

例 4 求 ? xe x dx
2

解: ? xe x dx ?
2

2 2 1 x2 1 1 1 2 e ? 2 xdx ? ? e x ? ( x 2 )?dx ? ? e x d ( x 2 ) = e x ? C ? 2 2 2 2

ln 2 x 例 5 求? dx x

ln 2 x 1 dx ? ? ln 2 xd (ln x) ? ln 3 x ? C 解: ? x 3 1 dx . x(1 ? 2 ln x)

例 6 求不定积分 ? 解: ?
?

1 1 1 1 d(ln x) dx ? ? ? dx ? ? 1 ? 2 ln x x(1 ? 2 ln x) 1 ? 2 ln x x

1 1 d(1 ? 2 ln x) (凑微分公式) ? 2 1 ? 2 ln x 1 1 ? ? du (令 u ? 1 ? 2 ln x ) 2 u 1 1 ? ln | u | ?C ? ln | 1 ? 2 ln x | ?C (将 u ? 1 ? 2 ln x 回代). 2 2 1 注: 一般情形有 f (ln x) dx ? f (ln x)d(ln x) . x 当运算熟练后,可以不把换元和回代过程写出来,而是直接计算下去. x dx . 例 7 求不定积分 ? 1 ? x2 1 1 解:依据不定积分的第一类换元法,有 xdx ? d(x 2 ) ? d(1+x 2 ) ,所以 2 2

x 1 2 xdx 1 d(1+x 2 ) ln (1+x 2 ) ? 1 ? x2 dx ? 2 ? 1 ? x2 ? 2 ? 1 ? x2 ? 2 ? C .
1 dx . a ? x2 1 1 1 1 1 dx 1 dx dx ? ( ? )dx ? ? 解: ? 2 2 ? ? ? a ?x 2a a ? x a ? x 2a a ? x 2a a ? x

例8

求不定积分 ?

2

?

1 1 1 a?x ln a ? x ? ln a ? x ? C ? ln ?C 2a 2a 2a a ? x

11

1 dx(a ? 0) x ? a2 1 1 1 1 1 d ( x ? a) d ( x ? a) dx ? ( ? )dx = [ ? ?? ] 解: ? 2 2 ? 2a x ? a x ? a 2a x?a x?a x ?a

例 9 求?

2

= 求?

1 1 x?a (ln x _ a ? ln x ? a ? C = ln ?C 2a 2a x ? a

例 10

1 a2 ? x2
1

dx(a ? 0)
x d( ) x a ? arcsin ? C a x 1 ? ( )2 a

解: ?

a ?x
2

2

dx ? ?

dx x a 1 ? ( )2 a

??

例 11

求?

1 dx(a ? 0) a ? x2
2

x d( ) dx 1 1 x a ? x 2 ? a ? x 2 ? a arctana ? C 1? ( ) 1? ( ) a a sin x d cos x 例 12 求不定积分 ? tan xdx .解: ? tan xdx ? ? cos x dx ? ?? cos x ? ? ln cos x ? C 1 1 解: ? 2 dx ? 2 2 a ?x a
同理 ? cot xdx ? ln sin x ? C 例 13 求不定积分 ? sin 2 xdx . 解:方法一 方法二 方法三

? sin 2 xdx ? 2 ? sin 2 xd(2 x) ? ? 2 cos 2 x ? C ;
? sin 2 xdx ? 2? sin x cos xdx ? 2? sin xd(sin x) ? (sin x)
2

1

1

?C ;
2

? sin 2 xdx ? 2? sin x cos xdx ? ?2? cos xd(cos x) ? ?(cos x)

?C.

在此例中三种方法得到的结果并不一样 ,这说明不定积分的结果不是唯一的, 采用不同的方法,可以出现不同形式的结果 .但不同形式的结果 , 他们之间只相差 一个常数.

12

例 14

求不定积分 ? sec xdx .
1 cos x d sin x dx ? ? dx ? ? 2 cos x cos x 1 ? sin 2 x

解: ? sec xdx ? ?

1 1 ? sin x 1 ? sin x ? ln ? C ? ln ? C ? ln sec x ? tan x ? C . 2 1 ? sin x cos x

同理 例 15

? csc xdx ? ln csc x ? cot x ? C
求不定积分 ? esin x cos xdx .

解:依据不定积分的第一类换元法,有 cos xdx ? d(sin x) ,即

?e

sin x

cos xdx ? ? esin x d(sinx) ? esin x ? C .

( arctan x )2 dx . 例 16 求不定积分 ? 1 ? x2

解:凑微分

1 dx ? d( arctan x) ,有 1 ? x2

( arctan x)2 1 2 3 ? 1 ? x2 dx ? ?( arctan x) d( arctan x) ? 3 (arctan x) .

第一类换元积分法在积分中是经常使用的方法 , 不过如何适当地选取代换却 没有一般的规律可循 ,只能具体问题具体分析 . 要掌握好这种方法, 需要熟记一些 函数的微分公式,并善于根据这些微分公式对被积表达式做适当的微分变形. 下面是部分经常使用凑微分法的积分类型及其凑微分的方法: 1 (1) ? f (ax ? b)dx ? ? f (ax ? b)d(ax ? b) ; a 1 (2) ? f (ln x) dx ? ? f (ln x)d(lnx) ; x (3) ? f (e x )e x dx ? ? f (e x )d(e x ) ; (4)

? f (sin x) cos xdx ? ? f (sin x)d( sin x) ;

(5) ? f (cos x) sin xdx ? ? ? f (cos x)d(cos x) ;

13

2 (6) ? f (tan x) sec xdx ? ? f (tan x)d(tan x) ; 2 (7) ? f (cot x) csc xdx ? ? ? f (cot x)d(cot x) ;

(8) ? f (arcsin x) (9) ? f (arctan x) (10) ?

1 1 ? x2

dx ? ? f (arcsin x)d(arcsin x) ;

1 dx ? ? f (arctan x )d(arctan x ) ; 1 ? x2

f ?( x) 1 dx ? ? d( f ( x)) ? ln | f ( x) | ?C . f ( x) f ( x)

2.第二类换元积分法 第一类换元积分法是先凑微分,再用新变量 u 代替 ? ( x) ,但是有些不定积分需 要作相反方式的换元,即令 x ? ? (t ) ,把 t 作为新的积分变量,从而简化积分计算,最 后再将 t ? ? ?1 ( x) 回代. 例 17 求不定积分 ?
x dx . x?3
x ? t 2 ? 3 ,此时 dx ? 2tdt ,于是

解:令 t ? x ? 3 (t ? 0), 即

?

x t2 ? 3 t3 2 dx ? ? 2tdx ? 2? (t ? 3)dx ? 2( ? 3t ) ? C, t 3 x ?3
1 x 2 dx ? ( x ? 6)( x ? 3) 2 ? C . 3 x ?3

再将 t ? x ? 3 回代,整理后得 ? 一般地,

定理 2 (第二类换元积分法) 设函数 f ( x) 在某区间 I 上连续,又 x ? ? (t ) 在 t 对 应的区间上的导数 ? ?(t ) 连续,且 ? ?(t ) ? 0 ,则有换元公式

? f ( x)dx ? [? f [? (t )]? ?(t )dt ]

t ?? ?1 ( x )



14

其中 t ? ? ?1 ( x) 是 x ? ? (t ) 的反函数. 对于被积函数中含有 n ax ? b 的不定积分,可令 n ax ? b ? t ,即作变换
x? 1 n n (t ? b) , (a ? 0), dx ? t n ?1 dt ,以简化计算. a a

例 18 求 ?

1 1? x

dx

解:令 x ? t, 则x ? t 2 , dx ? 2tdt.于是

?1?

1 x

dx ? ?

1 1? t ? t 1 ? 2tdt ? 2? dt ? 2? (1 ? )dt 1? t 1? t 1? t

= 2(t ? ln 1 ? t ) ? C ? 2[ x ? ln(1 ? x )] ? C 例 19 求不定积分 ?
1 dx . x? x

解:令 3 x ?

1 1 ? t , x ? t 3 ? , dx ? 3t 2dt , 则 3 3

?

3

1 3 x ? dx ? 3? t 3dt ? t 4 ? C ? 3 4

3? 1 ?3 ?x? ? ?C . 4? 3?

4

例 20 求不定积分 ?

1? 3 1? x dx . 1? x

解:令 t ? 6 1 ? x ,则 x ? t 6 ?1, dx ? 6t 5dt ,于是有

1? 3 1? x 1? t 2 5 t3 t5 2 2 ? 1 ? x dx ? ? t 3 6t dt ? 6? (1 ? t )t dt ? 6( 3 ? 5 ) ? C,
再将 t ? 6 1 ? x 回代,得

15

1? 3 1? x 6 5 ? 1 ? x dx ? 2 1 ? x ? 5 6 (1 ? x) ? C .
如果被积函数中含有二次根式 a 2 ? x 2 , a 2 ? x 2 , x 2 ? a 2 , (a ? 0) 时,通常 采用三角函数换元的方法去掉根号:含 a 2 ? x 2 时,设 x ? a sin t ;含 a 2 ? x 2 时,设
x ? a tan t ;含 x 2 ? a 2 时,设 x ? a sect .

例 21 求不定积分 ? 解:令 x ? a sin t , (?

1 a ? x2
2

dx .

?
2

?t?

?
2

) , dx ? a cos tdt ,于是

?

1 a2 ? x2

dx ? ?

1 a 2 ? a 2 sin 2 t

a cos tdt ? ? dt ? t ? C.

再由 x ? a sin t ,得 t ? arcsin

x ,将其回代上式,得, a

?

1 a2 ? x2

dx ? arcsin

x ? C. a

例 22 求 ?

1 x2 ? a2

dx(a ? 0)

解: 令 x ? a sec t (0 ? t ?

?
2

), 则 x 2 ? a 2 ? a 2 (sec 2 t ? 1) ? a tan t , dx ? a sec t tan tdt .

于是 ?

1 x2 ? a2

dx ? ?

x a sec t tant dt ? ? sec tdx ? ln sec t ? tant ? C1 ,根据 sec t ? 知 a a tant

tant ?

x2 ? a2 ,因此 a

?

1 x2 ? a2

dx ? ln

x ? a

x2 ? a2 ? C1 = ln( x 2 ? a 2 ? x) ? ln a ? C1 a

= ln( x 2 ? a 2 ? x) ? C (其中 C= C1 ? ln a )

16

例 23 求不定积分 ? 解: ?
1 9x ? 4
2

1 9x2 ? 4
1 3? 1

dx .

dx ?

2 ? 2 dx ,令 x ? sec t (0 ? t ? ), dx ? sec t tan tdt , 3 2 3 4 x2 ? 9

则有

?

1 9x2 ? 4

dx ?

1 3?

1 x2 ? 4 9

dx ?

1 1 sec tdt ? ln | sec t ? tan t | ?C1 ? 3 3

1 ? ln | sec t ? sec 2 t ? 1 | ?C1 , 3

再将 t ? arccos

2 回代,得到 3x

?
1 其中 C ? C1 ? ln 2 . 3

1 3 3 dx ? ln | x ? ( x)2 ? 1 | ?C1 3 2 2 9x ? 4
2

1

1 ? ln | 3x ? 9 x 2 ? 4 | ?C , 3

例 24 求不定积分 ? 解:令 x ? a tan t (?

1 x ? a2
2

dx (a ? 0) .
), dx ? a sec 2 tdt ,则有

?
2

?t ?

?
2

?

1 x2 ? a2

dx ? ?

a sec2 t dt ? ? sec tdt ? ln sec t ? tan t ? C0 a sec t

? ln 1 ? tan 2 t ? tan t ? C0
x x2 ? a2 ? ln( ? ) ? C0 a a

? ln( x ? x2 ? a 2 ) ? C

17

其中 C ? C0 ? ln a . 综上所述,当被积函数含有形如 a 2 ? x 2 或 x 2 ? a 2 的根式时,可作如上三种 变换,上述三种变换称为三角代换。有些函数即可用第一类换元法又可用第二类 换元积分法来积分。 上面的三个例子中,最后的回代过程可借助直角三角形的边角关系进行。如 当 被 积 函 数 中 含 a 2 ? x 2 时 , 设 x ? a sin t , 可 作 辅 助 直 角 三 角 形 如 图 , 易 得
co st ? a2 ? x2 , t ant ? a x a ?x
2 2

等其它三角函数值;当含有含 a 2 ? x 2 时 , 设

x ? a tan t ,可作辅助直角三角形如图 4-3; 当含有 x 2 ? a 2 时,设 x ? a sect ,可作辅

助直角三角形如图 4-4,

图 5-1

利用直角三角形的边角关系,即可找出积分结果中新变量 t 的三角函数还原为 原积分变量 x 的关系式 下面再列出部分初等函数的不定积分,以补充基本积分公式表: (1) ? tan xdx ? ? ln | cos x | ?C ; (2) ? cot xdx ? ? ln | sin x | ?C ; (3) ? sec xdx ? ? ln | sec x ? tan x | ?C ; (4) ? csc xdx ? ? ln | csc x ? cot x | ?C ;

18

1 dx ? a ? x2 1 dx ? (6) ? 2 a ? x2

(5) ?

2

1 x arcsin ? C (a ? 0) ; a a 1 a?x ln | | ?C (a ? 0) ; 2a a?x

(7) ? (8) ?

1 a2 ? x2 1 x ?a
2 2

dx ? arcsin

x ?C a

(a ? 0) ;

dx ? ln | x ? x 2 ? a 2 | ?C

(a ? 0) ;

(9) ? (a 2 ? x 2 )dx ?

a2 x x 2 arcsin ? a ? x2 ? C 2 a 2

(a ? 0) .

有些函数即可用第一类换元法又可用第二类换元积分法来积分。 例 25 求

?

x x?3

dx

解 1: 用第一类换元法,得

?

x x?3

dx ? ?

x ?3?3 dx ? ? ( x ? 3 ? x?3
3 1

3 x?3

)d ( x ? 3)

2 2 = ( x ? 3) 2 ? 6( x ? 3) 2 ? C ? ( x ? 3) 3 ? 6 x ? 3 ? C 3 3

解 2:用第二类换元法。令 x ? 3 ? t, 则x ? t 2 ? 3, dx ? 2tdt

?

x x ?3

dx ? ?

t2 ? 3 t3 ? 2tdt ? 2? (t 2 ? 3)dt ? 2( ? 3t ) ? C t 3

= 课堂练习

2 ( x ? 3) 3 ? 6 x ? 3 ? C 3

19

?1?
作业: P189

dx
3

x

?

x2 9 ? x2

dx

?

x2 ? 4 dx x

?

dx x 1? x

小结:本节分别讲述了用第一类、第二类换元积分法求函数的积分 3 (2)(3)(6)(7)(8)(9)(10)(15)(17)(20) 4 (1)(4)(5)(6)

课 堂 教 学 方 案(三)
课程名称:5.4 分部积分法 授课时数:2 学时 授课类型:理论课 教学方法与手段:讲授法 教学目的与要求:掌握分部积分法的步骤和积分法适用的函数类型。 教学重点、难点:教学重点:分部积分法公式的使用,正确地选取函数
u ? u( x),v ? v( x) 求出不定积分;教学难点:用分部积分法时,掌握对不同的函数

积分怎样选择 u ? u( x),v ? v( x) 的原则,使不定积分容易求出。 教学内容 5.4 分部积分法 前面介绍的换元积分法虽然可以解决很多的积分计算问题,但有些积分,如

? xe dx, ? x sin xdx 等等,利用换元法求解还是无法完成的.本节我们介绍另一种基
x

本积分方法—分部积分法. 设 u ? u( x), v ? v( x) 具有连续导数,则由函数求导法则得: (uv)? ? u ?v ? uv? , 移项得: uv? ? (uv)? ? u ?v , 所以有 或者

? ud v? ? u v?d

u? v ? dv ,u

(1) (2)

x ? u?v? ? u d v. x

式(1)或式(2)称为分部积分公式.

20

利用分部积分公式求不定积分的关键在于如何将所给积分 ? vdu 化为 ? udv 或

? uv?dx 形式,

也就是选择好 u, v ? ,一般情况下,选择 u, v ? ,可按照反三角函数,对数

函数,幂函数,三角函数,指数函数的顺序,把排在前面的那类函数选作 u ,而把排在 后面的那类函数选作 v ? .这样使它更容易计算. 例 1 求不定积分 ? x sin xdx . 解:令 u ? x, sin xdx ? d(? cos x) ? dv ,则

? x sin xdx ? ? uv?dx ? ?? xd( cos x) ? ? x cos x ? ? cos xdx ? ? x cos x ? sin x ? C .
在使用分部积分法时 ,可不必按部就班地写出 u, v 的表达式 , 而直接按照公式 (1)写出求解过程;另外,有些函数的积分需要连续多次应用分部积分法. 例 2 求 ? x cos xdx ; 解:令 u ? x, dv ? cos xdx, 则v ? sin x, 于是

? x cos xdx ? ? xd (sin x) ? x sin x ? ? sin xdx ? x sin x ? (? cos x) ? C
? xxinx ? cos x ? C.

此题若令 u ? cos x, dv ? xdx , 则v ?
x ? x cos xdx ? ? cos xd ? ?2 ?1
2

1 2 x , 于是 2

1 2 1 2 ? ? ? cos x ? x ? ? x d (cos x) 2 2 ? 1 1 ? x 2 cos x ? ? x 2 sin xdx. 2 2

这样新得到的积分

?2x

1

2

sin xdx 反而比原积分 ? x cos xdx 更难求了。 所以然在分部

积分法中,u ? u( x)和dv ? dv( x) 的选择不是任意的, 如果选取不当, 就得不出结果。 在通常情况下,按以下两个原则选择 u ? u( x)和dv ? dv( x) : (1) v( x) 要容易求,这是使用分部积分公式的前提;

21

(2) ? vdu 要比 ? udv 容易求出,这是使用分部积分公式的目的。 例 3 求 ? xe x dx ; 解:设 u ? x, dv ? e x dx, 则v ? e x , 于是

? xe

x

dx ? ? xde x ? xe x ? ? e x dx ? xe x ? e x ? C.

u及dv 的选择有一定规律的。 注: 在分部积分法中, 当被函数为幂函数与正 (余)

弦或指数函数的乘积时,往往选取幂函数为 u. 例 4 求不定积分 ? x 2 e x dx . 解: ? x 2 e x dx ? ? x 2 d(e x ) ? x 2e x ? ? 2 xe x dx ? x 2e x ? 2? xd(e x )
? x 2 e x ? (2 xe x ? ? 2e x dx) ? ( x 2 ? 2 x ? 2)e x ? C

例 5 求不定积分 ? x ln xdx . 解: ? x ln xdx ?
1 1 ln xd(x 2 ) ? [ x 2 ln x ? ? x 2d(ln x)], ? 2 2 1 2 1 21 1 1 ? x ln x ? ? x dx ? x 2 ln x ? ? xdx 2 2 x 2 2 1 1 ? x 2 ln x ? x 2 ? C . 2 4

例 6 求 ? x 2 ln xdx ;
1 ?1 ? 解:为使 v 容易求得,选取 u ? ln x, dv ? x 2 dx ? d ? x 3 ?, 则v ? x 3 , 于是 3 ?2 ?

?x

2

ln xdx ?

1 1 1 ln xdx 3 ? x 3 ln x ? ? x 3 d (ln x) ? 3 3 3 1 3 1 2 1 3 1 ? x ln x ? ? x dx ? x ln x ? x 3 ? C. 3 3 3 9

例 7 求不定积分 ? arcsin xdx . 解:被积函数是反三角函数和幂函数 (1 ? x 0 ) 的乘积,故选取 arcsin x ? u ,于是

22

? arcsin xdx ? x arcsin x ? ? xd(arcsin x) ? x arcsin x ? ?
再利用换元积分法得

x 1 ? x2

dx ,

1 d(1 ? x2 ) 2 ? arcsin xdx ? x arcsin x ? 2 ? 1 ? x2 ? x arcsin x ? 1 ? x ? C .
例 8 求 ? arctan xdx ; 解:设 u ? arctanx, dv ? dx, 则v ? x, 于是

? arctanxdx ? x arctanx ? ? xd (arct anx) ?x arctanx ? ? x ? 1 ? x
? x arctanx ?

1

2

dx

1 1 1 d (1 ? x 2 ) ? x arctanx ? ln | 1 ? x 2 | ?C. 2 ? 2 1? x 2

例 9 求 ? x arctan xdx 。
1 ?1 ? 1 解: ? x arctanxdx ? ? arctanxd ? x 2 ? ? x 2 arctanx ? ? x 2 d ?arctanx ? 2 ?2 ? 2 ?
?

1 2 1 1 1 1 ? 1 ? x arctanx ? ? x 2 ? dx ? x 2 arctanx ? ? ?1 ? ?dx 2 2 2 2 2 ? 1? x2 ? 1? x

1 2 1 x arctan x ? ( x ? arctan x) ? C. 2 2 注①:如果被积函数含有对数函数或反三角函数,可以用考虑用分部积分当,

并设对数函数或反三角函数为 u 。 注②:在分部积分法应用熟练后,可把认定的 u , dv 记在心里在而不写出来, 直接在分部积分公式中应用。 还有一类积分的求解过程是通过分部积分,获得所求不定积分满足的一个方 程,然后把不定积分解出来.这也是一种比较典型的求不定积分的方法,特别是 被积函数为三角函数与指数函数的乘积时是经常用到的. 例 10 求不定积分 ? e x cos xdx .

23

解: ? e x cos xdx ? ? cos xd(e x ) ? cos x ? e x ? ? e x d(cos x) ? cos x ? e x ? ? e x sin xdx 再次利用分部积分法,得到

?e

x

cos xdx ? cos x ? e x ? ? sin xd(e x ) ? e x cos x ? e x sin x ? ? e x d(sin x)
x ? ex c o s x? e

s i? x ? n

x

e

c x sx d .o

由上述等式可解得

?e

x

cos xdx ?

1 x e (sin x ? cos x) ? C . 2

例 11 求 ? e x sin xdx ;
x x x x x x 解: ? e sin xdx ? ? e d (? cos x) ? ?e cos x ? ? e cos xdx ? ? e cos x ? ? e d (sin x)

? ?e x cos x ? ? e x d (sin x) ? ?e x cos x ? e x sin x ? ? e x sin xdx

由于上式第三项就是所求的积分 ? e x sin xdx ,把它移到等式左边,得
2 ? e x sin xdx ? e x (sin x ? cos x) ? 2C ,



1 x e (sin x ? cos x) ? C. 2 注①: 如果被积函数为指数函数与正 (余) 弦函数的乘积, 可任选项其一为 u ,

?e

x

sin xdx ?

但一经选定,在后面的解题过程中要始终选项其为 u 。 注②:有时求一个不定积分,需要将换元积分法和分部积分法结合起来使用。 (如下例) 例 12 求不定积分 ? sec3 xdx . 解:被积函数可以写成 sec x ? sec2 x ? sec x ? (tanx)? ,利用分部积分法,得

? sec

3

xdx ? ? sec xd(tan x) ? sec x tan x ? ? tan xd(sec x)

24

? sec x tan x ? ? sec x tan 2 xdx ? sec x tan x ? ? sec x(sec2 x ? 1) xdx ? sec x tan x ? ? sec3 xdx ? ? sec xdx
? sec x tan x ? ln | sec x ? tan x | ? ? sec3 xdx .

由以上等式可得到
1 xdx ? (sec x tan x ? ln | sec x ? tan x |) ? C . 2 有时在使用分部积分法前,要先使用换元积分公式.

? sec

3

例 13 求不定积分 ? sin(ln x )dx . 解:注意到被积函数是由函数 sin u 与 u ? ln x 复合的一个复合函数,因此,首先 利用换元积分法,令 u ? ln x ,则 x ? eu , dx ? eu du ,有

? sin(ln x)dx ? ? e
去中间计算过程,得

u

sin udu ,

此时被积函数是指数函数与三角函数的乘积,与例 4.5 类似进行两次分部积分,略

?e
把 u ? ln x 代入得到

u

1 sin udu ? eu (sin u ? cos u ) ? C , 2 x

? sin(ln x)dx ? 2 [sin(ln x) ? cos(ln x)] ? C .
例 14.求 ? e x dx 解:先去根号,设 x ? t, 则x ? t 2 , dx ? 2tdt, 于是

?e

x

dx ? ? e t ? 2tdt ? 2? tde t ? 2te t ? 2? e t dt
x

? ? 2te t ? 2e t ? C ? 2e

?

x ? 1 ? C.

?

这是一道综合题,先用换元积分法消去根式,再用分部积分法求得最终结果。

25

所以解题时要灵活运用这些方法。 课堂练习:求下列不定积分:

? x sin 2 xdx

?

ln x x

dx

? xarc cot xdx

? cos(ln x)dx ;

小结:本节讲了分部积分法公式及几种情况下的应用 作业:P153 (1) (2) (4) (5) (8) ;6(1) (4) (7) (8) (12) 小结: 本章主要介绍原函数与不定积分的概念、不定积分的性质、基本积分公式,以 及基本积分方法——直接积分法、换元积分法和分部积分法. 1.原函数与不定积分的概念 (1)导数与积分是互逆的运算
??? ? F ?( x) ? f ( x) F ( x) ? C ??? ?
求导 积分

(2)原函数的概念 设函数 f ( x) 在区间 ( a, b) 有定义,若存在函数 F ( x) ,使对于任意的 x ? (a, b) , 都有
F ?( x) ? f ( x) 或 dF ( x) ? f ( x)dx

则称 F ( x) 是 f ( x) 在 ( a, b) 上的一个原函数. (3)不定积分的概念 若 f ( x) 有原函数,则 f ( x) 的全体原函数 F ( x) ? C 称为 f ( x) 的不定积分,记作

? f ( x)dx ? F ( x) ? C .
2.不定积分的基本性质 (1) [ ? f ( x)dx]? ? f ( x) 或 d[ ? f ( x)dx] ? f ( x)dx ;

(2) ? f ?( x)dx ? f ( x) ? C 或 3.不定积分的基本运算性质

? df ( x ) ? f ( x ) ? C

26

(1) ? [ f ( x) ? g ( x)]dx ? ? f ( x)dx ? ? g ( x)dx (2) ? kf ( x)dx ? k ? f ( x)dx k为非零常数
换元法 ? 4.不定积分的积分方法 ? ? ?第二类换元法 x=? (t) ? ?分部积分法 ? ?第一类换元法 u=? (x)

27


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