高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充互动课堂学案苏教版选修1-2


3.1 数系的扩充 互动课堂 疏导引导 1.复数概念的理解及两复数相等的条件 2 2 2 引进了虚数单位 i 之后, 对于方程 x +1=0, 当 x=i 时, x +1=0 成立, 因此 i 是方程 x +1=0 的一个根.由于 i 可以与实数进行四则运算,并且进行四则运算时,原有的加、乘运算律仍 然成立,于是便有了形如 a+bi(a、b∈R)的数——复数. 复数包括实数和虚数.两个复数相等,是指这两个复数的实部和虚部分别相等.一般地, 两个复数只能说它们相等或者是不相等, 而不能比较它们的大小, 只有当两个复数都是实数 时,才能比较它们的大小. 2.各数集(复数集、实数集、虚数集、纯虚数集)之间的关系 上述四种数集之间的关系可用图来表示.如图, 3.数的发展过程 ? ?正实数(b ? 0, a ? 0) ? ? ?实数(b ? 0)?零(b ? 0, a ? 0) ? ?负实数(b ? 0, a ? 0) 复数a ? bi(a, b ? R)? ? ? ?虚数(b ? 0)?纯虚数(a ? 0, b ? 0) ? ? ?非纯虚数(a ? 0, b ? 0) ? 4.注意问题 本节内容概念较多,在理解的基础上要牢记实数、 虚数、 纯虚数与复数的关系,特别要明 确,实数也是复数,要把复数与虚数加以区别,对于纯虚数 bi(b≠0,b∈R)不要只记形式,认 为形如 bi 的数就是纯虚数,要注意 b∈R,且 b≠0. 复数 z=a+bi(a、b∈R)是由它的实部和虚部唯一确定的.两个复数相等的充要条件是复 数问题转化成实数问题的主要方法,要很好地掌握. 要明确一个复数等式可得到两个实数等式这一性质,并在解题中会应用它. 对“两个复数只能说相等或不相等,不能比较大小”的说明: (1)根据复数相等的定义知,在 a=c,b=d 两式中,只要有一个不成立,那么 a+bi≠c+di. (2)“不能比较大小”的确切含义是指: 不论怎样定义两个复数之间的一个关系“<”,都不 能使这种关系同时满足实数集中大小关系的四种性质: ①对于任意实数 a、b 来说,a<b,a=b,b<a 这三种情况有且只有一种成立; ②若 a<b,b<c,则 a<c; ③若 a<b,则 a+c<b+c; 1 ④若 a<b,c>0,则 ac<bc. 规律总结 1.设 z=a+bi(a,b∈R)利用复数相等转化为实数问题是解决复数问题常用的方法. 2.两共轭复数在复平面内的对应点关于 x 轴对称, 因此, 它们的和为实数, 差为 0 或纯虚数, 积为实数. 3.实数的共轭复数是它本身,两纯虚数的积是实数. 4.数的概念扩展为复数后,实数集中的一些运算性质、概念、关系就不一定运用了.如不等 式的性质、绝对值的定义、偶次方非负等等. 活学巧用 2 例 1 实数 k 为何值时,复数 (1+i)k -(3+5i)k-2(2+3i)分别是 (1)实数;(2)虚数;(3)纯虚 数;(4)零? 2 2 2 解:由 z=(1+i)k -(3+5i)k-2(2+3i)=(k -3k-4)+(k -5k-6)i. 2 (1)当 k -5k-6=0 时,z∈R,即 k=6 或 k=-1. 2 (2)当 k -5k-6≠0 时,z 是虚数,即 k≠6 且 k≠-1. 2 ? ?k ? 3k ? 4 ? 0 (3)当 ? 2 时,z 是纯虚数,解得 k=4. ? ?k ? 5k ? 6 ? 0 2 ? ?k ? 3k ? 4 ? 0 时,z=0,解得 k=-1. 2 ? k ? 5 k ? 6 ? 0 ? (4

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