【金版学案】高中数学人教A版选修2-1练习:3.2第1课时空间向量与平行关系(含答案解析)

第三章 3.2 空间向量与立体几何 立体几何中的向量方法 空间向量与平行关系 第 1 课时 A 级 基础巩固 一、选择题 1.已知 a=(2,4,5),b=(3,x,y)分别是直线 l1、l2 的方向向量.若 l1∥l2,则( A.x=6,y=15 C.x=3,y=15 B.x=3,y= 15 2 15 2 ) D.x=6,y= 3 x y 15 解析:因为 l1∥l2,所以 a∥b,所以 = = ? x=6,y= . 2 4 5 2 答案:D 2.若 A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线 l 上,则直线 l 的一个方向向量为( A.(1,2,3) C.(2,1,3) B.(1,3,2) D.(3,2,1) ) → 解析:AB=(2,4,6)=2(1,2,3). 答案:A 3.若平面 α 与 β 的法向量分别是 a=(1,0,-2),b=(-1,0,2),则平面 α 与 β 的 位置关系是( A.平行 C.相交不垂直 ) B.垂直 D.无法判断 解析:因为 a=(1,0,-2)=-(-1,0,2)=-b, 所以 a∥b,所以 α∥β. 答案:A 4. 已知线段 AB 的两端点坐标为 A(9, -3, 4), B(9, 2, 1), 则线段 AB 与坐标平面( A.xOy 平行 C.yOz 平行 B.xOz 平行 D.yOz 相交 ) → 解析:因为AB=(9,2,1)-(9,-3,4)=(0,5,-3), 所以 AB∥平面 yOz. 答案:C 1 ? 5. 若直线 l∥α, 且 l 的方向向量为(2, m, 1), 平面 α 的法向量为? 则 m 为( ?1,2,2?, A.-4 C.-8 B.-6 D.8 ) 解析:因为 l∥α,所以 l 的方向向量与面 α 法向量垂直, ?1,1,2?=2+1m+2=0,所以 m=-8. 所以(2,m,1)· ? 2 ? 2 答案:C 二、填空题 6.若平面 α 的一个法向量为 u1=(-3,y,2),平面 β 的一个法向量为 u2=(6,-2, z),且 α∥β,则 y+z=________. -3 y 2 解析:因为 α∥β,所以 u1∥u2.所以 = = . 6 -2 z 所以 y=1,z=-4.所以 y+z=-3. 答案:-3 3? 7.已知直线 a,b 的方向向量分别为 m=(4,k,k-1)和 n=? ?k,k+3,2?,若 a∥b, 则 k=________. 解析:①当 k=0 时,a 与 b 不平行. k-1 4 k ②当 k≠0 时,由 = = 解得 k=-2. k k+3 3 2 答案:-2 19? 5? 5? ? ? 8.若 A? ?0,2, 8 ?,B?1,-1,8?,C?-2,1,8?是平面 α 内的三点,设平面 α 的法 向量 a=(x,y,z),则 x∶y∶z=________. 答案:2∶3∶(-4) 三、解答题 9.如图所示,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中, M、N 分别是 C1C、B1C1 的中点.求证: MN∥平面 A1BD. 证明:法一:如图所示,以 D 为原点,DA、DC、DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 1? ?1 ? 轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为 1,则可求得 M? ?0,1,2?,N?2,1,1?,D(0, → → 1 1 ,0, ?,DA1=(1,0,1), 0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),于是MN=? 2? ?2 → DB=(1,1,0), 设平面 A1BD 的法向量是 n=(x,y,z), → → ?x+z=0, ? 则 n· DA1=0,且 n· DB=0,得? ?x+y=0. ? 取 x=1,得 y=-1,z=-1,所以 n=(1,-1,-1). → 1 1? 又MN·n=? ?2,0,2?·(1,-1,-1)=0, → 所以MN⊥n.又 MN?平面 A1BD, 所以 MN∥平面 A1BD. → → → 1 → 1→ 1 → → 1→ 法二:因为MN=C1N-C1M= C1B1- C1C= (D1A1-D1D)= DA1, 2 2 2 2 → → 所以MN∥DA1,而 MN?平面 A1BD,DA1? 平面 A1BD, 所以 MN∥平面 A1BD. 10.如图,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直,AB= 2,AF=1,M 是线段 EF 的中点.求证:AM∥平面 BDE. 证明:建立如图所示的空间直角坐标系, 设 AC∩BD=N,连接 NE, 则点 N、E 的坐标分别是 ? 2, 2,0?、(0,0,1). 2 ?2 ? → 2 2 所以NE=?- ,- ,1?. 2 ? 2 ? 又点 A、M 的坐标分别是( 2, 2,0)、 ? 2, 2,1?, 2 ?2 ? → 2 2 所以AM=?- ,- ,1?. 2 ? 2 ? → → 所以NE=AM,且 A?NE,所以 NE∥AM. 又因为 NE? 平面 BDE,AM?平面 BDE, 所以 AM∥平面 BDE. B 级 能力提升 1.已知平面 α 内有一个点 A(2,-1,2),α 的一个法向量为 n=(3,1,2),则下列点 中在平面 α 内的是( A.(1,-1,1) 3? C.? ?1,-3,2? 答案:B 2.已知△ ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(2,1,0),B(0,2,3),C(1,1,3),则平 面 ABC 的一个单位法向量为________. 解析:设平面 ABC 的法向量为 n=(x,y,z). 因为 A(2,1,0),B(0,2,3),C (1,1,3), → → 所以AB=(-2,1,3),BC=(1,-1,0), ) 3? B.? ?1,3,2? 3? D.? ?-1,3,-2? ?n· ?-2x+y+3z=0, AB=0, ? 则有? 即? → ?x-y=0. ? ?n· BC=0, ?x=3z, ? 解得? ? ?x=y

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