1.三角函数图象与性质2


三角函数的图象与性质
一.本章在高考中的地位 摘自《2014 湖北高考数学学科考试说明》

内容 任意角的概念、弧度制 任意角的正弦、 余弦、 正切的 定义 诱导公式、 同角三角函数的基 本关系式 周期函数的定义、 三角函数的 周期性 三 角 函 数 y ? sin x , y ? cos x , y ? tan x 的图象和性质 大 函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象和性 质 三角函数模型的简单应用 两角和与差的正弦、 余弦、 正 切公式 二倍角的正弦、 余弦、 正切公 式

知识要求 了解 理 解 掌 握 (A) (B) (C) √ √ √ √ √ √ √ √ √

三 角 函 数

三 角 恒 等 变 换

本章内容在近四年高考中所占分值 高考 2014 题号 18 难度 ★★ 分值 12 考点 值域 图象变换、 对 5 称性 方程与零点 17 18 ★★★ 值域

2013

6

★★

3 2012



2011

6



5

解不等式

二.思维导图

三.知识梳理
1.任意角与象限角的概念 任意角包括______、______、______。 象限角:角的终边在第几象限,称为第几象限角。 2.角度与弧度的转化 角 度 弧 度

0
0

30

60

120

150
3? 4

? 4

? 2

?

3.任意角的三角函数值

?
sin ?

0

? 6

? 4

? 3

? 2

2? 3

3? 4

5? 6

?

cos?
tan ?


?
sin ?















0

? 6

? 4

? 3

? 2

2? 3

3? 4

5? 6



?

cos?
tan ?


4.三角函数值符号的判定(记忆口诀:ASTC 法则) 第一象限 sinx cosx tanx 第二象限 第三象限 第四象限

5.同角三角函数的关系

sin 2 ? ? cos2 ? ? ______ ;
公式一:

sin ? ? ______ cos ?

6.诱导公式(记忆口诀:奇变偶不变,符号看象限)

sin(? ? 2k? ) ? ______; cos(? ? 2k? ) ? ______; tan(? ? 2k? ) ? ______;
公式二:

sin(? ? ? ) ? ______; cos(? ? ? ) ? ______; tan(? ? ? ) ? ______;
公式三:

sin(?? ) ? ______; cos(?? ) ? ______; tan(?? ) ? ______;
公式四:

sin(? ? ? ) ? ______; cos(? ? ? ) ? ______; tan(? ? ? ) ? ______;
公式五:

sin(

?

? ? ) ? ______; cos( ? ? ) ? ______; 2 2

?

公式六:

sin( ? ? ) ? ______; cos( ? ? ) ? ______; 2 2
7.和差角公式

?

?

sin(? ? ? ) ? _______________________; sin(? ? ? ) ? ________________________; cos(? ? ? ) ? _______________________; cos(? ? ? ) ? ________________________; tan(? ? ? ) ? _______________________; tan(? ? ? ) ? _______________________;
8.倍角公式.降幂公式

sin 2? ? _____________; cos 2? ? ____________=____________=____________;tan 2? ? _________________;
9.半角公式

sin

?
2

? ____________; cos

?
2

? ____________; tan

?
2

? ____________;

10.辅助角公式

a sin ? ? b cos ? ? _____________;(使用条件)
11.基本三角函数的图象

sin x

cos x

tan x
12. y ? A sin(? x ? ? ) ? b 的最小正周期 最小正周期 T =_______。 13. y ? A sin(? x ? ? ) ? b , ( A ? 0, ? ? 0) 的值域____________; 14. y ? A sin(? x ? ? ) ? b , ( A ? 0, ? ? 0) 的单调性 单调递增区间______________________;单调递减区间______________________; 15. y ? A sin(? x ? ? ) ? b 的对称性 对称轴________________;对称中心坐标_________________;

四.考点分类解析 (一)三角恒等变换
1. 同角三角函数的关系

4 ,且 ? 是第二象限角,则 tan ? 的值是( ) 5 3 4 3 4 A、 B、 C、 ? D、 ? 4 3 4 3 3 变式 1. 在 ?ABC 中,若 tan A ? ? ,则 cos A =_________ 4 4 ? 2m m?3 变式 2. 已知 sin ? ? , cos ? ? , ? 是第四象限角,求 tan ? 的值 m?5 m?5
例 1. 已知 sin ? ?

例 2. 已知 tan??=-2,求值:①

2sin ? ? cos ? 2 ;② sin ? ? sin ? cos ? . sin ? ? cos ?

2 例 3.已知 sin ? ,cos ? 是方程 4 x ? 4mx ? 2m ? 1 ? 0 的两个根,

3? ? ? ? 2? ,求角 ? 2

变式 1. 若 ? 是一个锐角,且 2 sin ? cos ? ? a ,则 sin ? ? cos ? 等于( A、 a ? 1 B、


2

?

2 ?1 a ?1

?

C、 a ? 1 ? a ? a
2

D、 1 ? a

规律方法: 2. 诱导公式

1 ? ,且 ? 是第四象限的角,那么 cos(? ? ) ? ______ 5 2 B 4 A?C A?C ? cos 变 式 1. 在 ?ABC 中 , 设 s i n ? , 则 s i n 的值等于 2 5 2 2
例 4. 已知 cos ? ? ___________ 变式 2.

3 sin ? 1200? ? tan

?

?

19? ? 37? ? ? cos585? ? tan? ? ? =______________ 6 4 ? ?

? 5? 2 cos( x ? ) ? 3sin( x ? ) 2 2 变式 3. 已知 tan x ? 2 ,则 4sin( x ? 2? ) ? 9 cos( x ? ? )

规律方法: 3.和差角公式 例 5. 已知 cos ? ? ?

3 ?? ? ?? ? , ? ? ? , ? ? ,则 cos ? ? ? ? 的值为( 5 ?2 ? ?4 ?



A、

2 10

B、 ?

2 10

C、 ?

2 10

D、

2 3 ? 2 5


变式 1. 在 ?ABC 中, cos A ? A、 ?

33 65

B、

33 65

3 5 , cos B ? ,则 cos C =( 5 13 63 63 C、 ? D、 65 65

n ? 变 式 2. 已 知 s i ?

4 5 ?? ? , ? ? ? , ? ? , cos ? ? ? , ? 是第三象限,则 5 13 ?2 ?

cos ? ? ? ? ? =________
变式 3. cos87 ? cos 432 ? sin 93 ? cos198 =( ) D、 ?

A、

6? 2 4

B、

6? 2 4

C、

2? 6 4

6? 2 4


变式 4. 如果 tan ?? ? ? ? ?

2 ?? 1 ?? ? ? , tan ? ? ? ? ? ,那么 tan ? ? ? ? 的值为( 5 4? 4 4? ? ?
C、

A、

13 18

B、

13 22

变式 5. 已知 A ? B ? A、2 B、-2

?

3 22

D、

1 6


4

,则 ?1 ? tan A??1 ? tan B ? =( C、1 D、-1

规律方法: 4. 倍角公式与半角公式 例 6. 已知 cos

?

4 ? ? 7 ? ? ? , 8? ? ? ? 12? ,求 sin ? cos ? tan 的值 8 5 4 4 20 4

变式 1. 设 cos ? ? ?

? ?

??

? ? 1 ?? ? 2 ? ? ? ,sin ? ? ? ? ? ,且 2 ? ? ? ? ,0 ? ? ? 2 ,求 2? 9 ?2 ? 3

cos ?? ? ? ?

8 变式 2. cos ? ?

A、 cos ?

1 sin 2? cos 2? ? sin 8 ? 等于( ) 4 B、 cos 2? C、 sin ? D、 sin 2?

1 2 的值是 变式 3. 化简: ? ? 2 tan( ? x)sin 2 ( ? x) 4 4 2 cos 4 x ? 2 cos 2 x ?

.

规律方法:

5. 辅助角公式 例 7. 用辅助角化简下列各式: (1)

1 3 cos x ? sin x ; (2) 3 sin x ? cos x ; (3) 2 2

cos x ? sin x ;
(4)

2 ? sin x ? cos x ? ;

(5)

2 cos x ? 6 sin x ; 所 得 结 果 分 别 是

____________________(用序号表示) (1) 2 2 cos ?

?? ?? ? ?? ? ? ?? ? (2) 2sin ? x ? ? ; (3) 2 cos ? ? x ? ; (4) 2sin ? x ? ? ; ? x? ; 4? 6? ? ?4 ? ? ?3 ?

(5) cos ?

?? ? ? x? ?3 ?

规律方法: (二) y ? Asin ??x ? ? ? 的图象与性质 1.

y ? sin x 与 y ? cos x 与 y ? tan x 的图象与性质

例 8、用“五点法”作出 y ? sin ? x ?

? ?

??

?? ? ? 11 的简图 ? , x ? ?? , 6? ? 6 6 ? ?

变式 1、在 ?? 2? ,2? ? 内分别作出函数 y ? sin | x | 与 y ? 1 ? cos2 x 的图像

2.

y ? Asin ??x ? ? ? 的图象变换
1 ,得到函数 f 1 ? x ? =__________, 2

例 9、写出以下函数图像变化过程得到的函数 (1)函数 y ? sin x 的图像上点的横坐标缩小为原来的 再将 f 1 ? x ? 的图像向左平移

? 个单位,得到函数 f 2 ? x ? =__________ 6 ? (2)函数 y ? sin x 的图像向左平移 个单位,得到函数 f 1 ? x ? =__________, 3 1 再将 f 1 ? x ? 图像点的横坐标缩为原来的 ,得到函数 f 2 ? x ? =__________ 2
(3)函数 y ?

? ?? ? 2 sin ? 3x - ? 的图像向左平移 个单位,得到函数 f 1 ? x ? =__________, 12 4? ?

再将 f 1 ? x ? 图像上点的横坐标伸长为原来的 3 倍,得到函数 f 2 ? x ? =__________ 再将 f 2 ? x ? 图像上点的纵坐标缩短到原来的

2 倍,得到函数 f 3 ? x ? =__________ 2

3.

周期、振幅、相位、初相

例 10. 求下列三角函数的周期: y ?sin2x ; y ? |c o s2x| ; y ? 3sin( ? ) ;

x ? 2 5

例 11. 已知函数 y ? sin(? x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? / 2) 且此函 数的图象如图所示,则点 P(?, ? ) 的坐标是 A. (2, ) ( D. (4, ) )

?

2

B. (2, )

?

4

C. (4, )

?

?

2

4

变式 1. 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( x ? R, A ? 0, ? ? 0,| ? |? 图象, (部分)如图所示,则 f ( x ) 的解析式是

?
2

)的

A. f ( x) ? 2sin(? x ? C. f ( x) ? 2sin(? x ?

?
6

)( x ? R) )( x ? R)

B. f ( x) ? 2sin(2? x ?

?
6

)( x ? R) )( x ? R)

?
3

D. f ( x) ? 2sin(2? x ?

?
3

4.

y ? Asin ??x ? ? ? ? b 的值域

例 12. 求下列函数的值域 (1) y ? sin x ; (2) y ? sin ? 2 x ?

? ?

??

?; 3?

(3) y ? 2sin x ? 1 ;

(4) y ? sin ? 2 x ?

? ?

??

?? ? ? ?? ? ?? ? , x ? ? 0, ? ; (5) y ? 2sin ? 2 x ? ? ? 1 , x ? ? 0, ? 3? 3? ? ? 4? ? 4?

5.

y ? Asin ??x ? ? ? ? b 的方程与不等式
2 sin x ? 2 的定义域(以下 k ? Z )是(


例 13.函数 f ? x ? ? A、 ?2k? ?

? ?

?
4

,2k? ?

??
2? ?
3? ? 4? ?

B、 ?? 2k? ?

? ?

?
4

,2k? ?

??
2? ?

C、 ?2k? ?

? ?

?
4

,2k? ?

D、R

变式 1. 求满足 cos? 2 x ?

? ?

??

3 的 x 的集合 ?? 6? 2

6.

y ? Asin ??x ? ? ? ? b 的单调性
? ?

例 14. 函数 y ? sin ? x ?

??

? 的递增区间是( 4?
? ?



A、 ?2k? ?

? ?

3? ?? ,2k? ? ? ?k ? Z ? 4 4?

B、 ?2k? ?

5? ?? ,2k? ? ? ?k ? Z ? 4 4?

C、 ?2k? ?

? ?

?
4

,2k? ?

5? ? ?k ? Z ? 4 ? ?

D、 ?2k? ?

? ?

?
4

,2k? ?

3? ? ?k ? Z ? 4? ?

变式 1.

函数 y ? sin ?

?? ? ? x ? 在下列哪个区间为减函数( ?4 ?
C、 ? ?



A、 ? ?

? 3? ? ? , ? 4 4? ?

B、 ?? ? ,0?

? ? 3? ? , ? 4 4 ? ?

D、 ??

? ? ?? , ? 2 2? ?

变式 2. 函数 y ? lg cos(5 x ?

?
3

) 的单调递增区间为_____________

7.

y ? Asin ??x ? ? ? ? b 的对称性

例 15. 求 y ? cos(3 x ?

?
5

) 的对称中心和对称轴

变式 1. 设函数 f ?x ? ? 4 sin ? 2 x ?

? ?

??

? ?x ? R ? ,探究下列问题: 3?

(1)如果有 x1 与 x2 满足 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 0 ,那么 x1 ? x2 与 ? 是_________________ (2)函数 y ? f ?x ? 与函数 f ?x ? ? 4cos? 2 x -

? ?

??

? 的图像的关系是_______________ 6?

(3)函数 y ? f ?x ? 的图像所有的对称中心坐标是_________________ (4)函数 y ? f ?x ? 图像所有的对称轴是________________

变式 2. 已知函数 f ?x ? ? sin?2 x ? ? ? 的图像关于直线 x ? A、

?
8

对称,则 ? 的一个值是(



? 2

B、 ?

?
4

C、

? 4

D、

3? 4

五.综合训练

?? ? 1.(12 十一月理)函数 f ? x ? ? A sin ? ? x ? ? ? 1 ? A ? 0, ? ? 0 ? 的最大值为 3,其图象相 6? ?
邻两条对称轴之间的距离为

? . 2

(1)求函数 f ? x ? 的解析式; (2)设 ? ? ? 0,2? ? , f ?

?? ? ? ? 2 ,求 ? 的值. ?2?

2.(2014 湖北理)某实验室一天的温度(单位: C )随时间 (单位;h)的变化近似满足 函数关系: f (t) ? 10 ? 3 cos

o

?
12
o

t ? sin

?
12

t , t ? [0, 24).

(1) 求实验室这一天的最大温差; (2) 若要求实验室温度不高于 11 C ,则在哪段时间实验室需要降温?

3.(2012 湖北理)已知向量 a ? ? cos ? x ? sin ? x,sin ? x ? ,
b ? ? cos ? x ? sin ? x, 2 3 cos ? x ,设函数 f ? x ? ? a ? b ? ? ? x ? R ? 的图像关于直线

?

?

x ? ? 对称,其中 ?, ? 为常数,且 ? ? ? ,1? 2
(1) 求函数 f ? x ? 的最小正周期;
?? ? ? 3? ? (2) 若 y ? f ? x ? 的图像经过点 ? , 0 ? ,求函数 f ? x ? 在区间 ?0, ? 上的取值范 ?4 ? ? 5 ?

?1 ? ? ?

围。 加 2 大题

六.课堂巩固 3 1. 若 sin ? ? ? , 且 tan ? ? 0, 则 cos ? = _____________. 5
2. 已知 tanα=2,则

4sin3α-2cosα =( 5cosα+3sinα B. 5 11

) 3 C. 5 D. 7 11

2 A. 5 3. 已知 cos ? ? ?

1 ,则 sin ? ? tan ? =________________ 3 4. 已知 tan ? ? 3 ,且??为第三象限角,则 sin ? =________, cos ? =__________

5.若 0 ? ? ?

?

2 3 A. 3

,?

?

? 1 ? ? ? 3 ? ? ? 0, cos( ? ? ) ? , o ( s ?) ? ? , 则c ( cos( ? ) ? 2 4 3 2 4 2 3 3 5 3 6 B. ? C. D. ? 3 9 9
? ?



6. 化简: f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? 7. 在 ?0,2? ? ,使 sin x ?

??

5? ? ? ? cos ? 2 x ? 3? 6 ?

? ? =____________ ?

1 成立的 x 的取值范围是_____________ 2


8. 函数 y ? sin ?2 x ? ? ? ?0 ? ? ? ? ? 是 R 上的偶函数,则 ? 的值是( A、0 B、

? 4

C、

? 2

D、 ?

9. 函数 y ? 2 sin ?

?? ? ? x ? 的单调递减区间为___________ ?3 ?
1 ?? 1 ? ? x ? 与 y ?| sin x | 的最小正周期分别是______ 2 ?6 3 ?

10. 函数 y ? ?3 sin ?

11. 用“五点法”作出 y ? cos? x ?

? ?

??

?? ? ? 11 的简图 ? , x ? ?? , 6? ? 6 6 ? ?

12. 已知函数 f ?x ? ? sin? x ? 求 f ?x ? 的值域

? ?

??

?? ? (2) ? ? cos x , x ? ? , ? ? .(1)判断函数 f ?x ? 的单调性; 6? ?2 ?

加 2 大题


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