2019-2020学年高中数学 116棱柱、棱锥、棱台和球的表面积学案 新人教B版必修2.doc

2019-2020 学年高中数学 116 棱柱、 棱锥、 棱台和球的表面积学案 新 人教 B 版必修 2
一.学习要点:柱、锥、台和球的表面积 二.学习 过程: 1. 直棱柱的侧面积和表面积: 设直棱柱的高为 h ,底面多边形的周长为 c ,则此直棱柱的侧面积公式为:

S直棱柱侧 ? ch
即直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘 积。 S棱柱全 ? S侧 ? 2S底 . 重要结论 直棱柱的侧面展 开图是一个矩形; 正方体的表面积:设正方体的棱长为 a ,则 S表 ? 6a ;
2

长方体的表面积:设长方体的长、宽、高分别为 a 、 b 、 c ,则 S表 ? 2(ab ? bc ? ca) . 2.正棱锥的侧面积和表面积: 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形, 底面是正多边形, 设底面边长为 a , 底面周长为 c , 斜高为 h ,则
/

S正棱锥侧 ?

1 1 nah / ? ch / . 2 2

即直棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高乘积的一半。 S棱锥全 ? S侧 ? S底 . 规律探索 利用侧面展开原理求圆柱和圆锥的侧面积。 圆柱的侧面展开是矩形,设圆柱的底面半径为 r ,底面周长为 c ,圆柱的母线长为 l , 可得 S圆柱侧 ? cl ? 2? rl . 圆锥的侧面展开图是扇形,设圆锥的底面半径为 r ,底面周长为 c ,则此扇形的弧长为 底面周长 c , 半径为圆锥的母线长 l ,

1 S圆锥侧 ? cl ? ? rl . 2
3. 正棱台的侧面积和表面积: 正棱台的侧面展开图是 全等的等腰梯形。 设棱台下底面边长为 a ,周长为 c ,上底面边长为 a ,周长为 c ,斜高为 h ,则
/
/

/

S正棱台侧 ?

1 1 n ? a ? a / ? h/ ? ? c ? c/ ? h/ . 2 2

4. 球的表面 积: 球面不能展成平面,需用微积分知识求面积。

S球 ? 4? R2 .
即球面面积等于它的大圆面积的四倍。 例 1 已知正四棱锥底面正方形的边长为 4 , 高与斜高的夹角为 30 , 求正四棱锥的侧面积及 P 全面积。
o

D O A B E

C

例 2 如图,一个容器的盖子用一个正四棱台和一个球 焊接而成。球的半径 为 R ,正四棱台 的上、下底面边长分别为 2.5 R 和 3 R ,斜高为 0.6 R . (1)求这个容器盖子的表面积(用 R 表示,焊接处对面积的影响忽略不计) ; (2)若 R ? 2 cm ,为盖子涂色时所用的涂料每 0.4kg 可以涂 1m ,计算为 100 个 这样的盖
2

子涂色需涂料多少千克(精确到 0.1kg ) . 解:

课堂练习 教材 28 页练习 课后作业:见作业(41)


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