山东省淄博市2013-2014学年高二数学上学期期末考试 理

2013-2014 学年度第一学期期末模块学分认定考试 高二数学(理)
(满分 225 分,时间 120 分钟) 说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 第Ⅰ卷(选择题,共 120 分) 注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其它答案标号,不能答在试题卷上. 一、本题共 20 小题,每小题 6 分,共 120 分,在每小题给出的四个选项中选出一个符合 题目要求的选项. 1、不 在 . . 3x ? 2 y < 6 表示的平面区域内的一个点是 A.(0,0) B.(1,1) C.(0,2) D. (2,0)

2、已知△ABC 的三内角 A,B,C 成等差数列,且 AB=1,BC=4,则该三角形面积为 A. 3 B.2 C.2 3 D.4 3

2 3、设命题甲: ax ? 2ax ? 1 ? 0 的解集是实数集 R ;命题乙: 0 ? a ? 1 ,则命题甲是命题

乙成立的 A . 充分不必要条件 C. 必要不充分条件
2 2 2

B. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
2

4、与圆 C1 : x ? ( y ? 1) ? 1及圆 C2 : x ? ( y ? 4) ? 4 都外切的动圆的圆心在 A. C. 一个圆上 双曲线的一支上 B. 一个椭圆上 D. 一条抛物线上

5、已知 {an } 为等比数列, Sn 是它的前 n 项和。若 a2 ? a3 ? 2a1 ,且 a4 与 2 a7 的等差中项为 则 S5 等于 A. 31 B. 32 C. 33 D. 34

5 , 4

6、如图,在平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,底面是边长为 2 的正
1

方形,若 ?A1 AB ? ?A1 AD ? 600 ,且 A 1 A ? 3 ,则 A1C 的长为 A. 5 B. 2 2 C. 14 D. 17

7、设抛物线 y 2 ? 8x 的焦点为 F,准线为 l ,P 为抛物线上一点,PA⊥ l ,A 为垂足.如果直线 AF 的斜率为 - 3 ,那么|PF|等于 A. 8 3 B. 8 C. 4 3 D. 4

x2 y2 8 、 已知 F1 、 F2 是椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点,若椭 圆上存在 点 P 使 a b

PF1 ? PF2 ? 0 ,则 PF1 PF2 ?
A. b


B. 2b



C. 2b

D. b

?x ? 1 ? 9.已知变量 x,y 满足 ? y ? 2 则 x ? y 的最小值是 ?x ? y ? 0 ?
A.4 B.3 C.2 D.1

10.若函数 f(x)和 g(x)的定义域、值域都是 R,则不等式 f(x)> g(x)有解的充 要条件是 A. ? x∈R,f(x)>g(x) B.有无穷多个 x(x∈R ) ,使得 f(x)>g(x) C. ? x∈R,f(x)>g(x) D.{ x∈R| f(x)≤g(x)}= ? 11.数列 {an } 的通项公式 an =n ? n ,则数列 ?
2

?1? ? 的前 10 项和为 ? an ?
12 11

A.

9 10

B.

10 11

C.

11 10

D.

12. △ ABC 中, B ? 120 , AC ? 3,AB ? 3 ,则 cos C ?
2

A.

1 2

B. ?

3 2

C.

3 2

D. ?

1 2

→ 13.设 O-ABC 是正三棱锥,G1 是△ABC 的重心,G 是 OG1 上的一点,且 OG=3GG1,若OG= → → → xOA+yOB+zOC,则(x,y,z)为

?1 1 1? A.? , , ? ?4 4 4?

?3 3 3? B.? , , ? ?4 4 4?

?1 1 1? C.? , , ? ?3 3 3?

?2 2 2? D.? , , ? ?3 3 3?

14.等差数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? a1 ? a2 ? ... ? an ,若 S10 ? 31 , S20 ? 122 ,则 S30 = A.153 B.182 C.242 D.273

15.已知 A( x , 5 ? x , 2 x ? 1 ) ,B(1, x ? 2 , 2 ? x ) ,当| AB |取最小值时, x 的值 等于 A.

8 7

B.-

8 7

C.19

D.

19 14

16 . 设 椭 圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 F1 , F2 , P 是 C 上 的 点 a 2 b2

C 的离心率为 PF 2 ? F 1 F 2 , ?PF 1 F2 ? 30? ,则椭圆
A.

3 6

B.

1 3

C.

3 3

D.

1 2

17.已知 x ? 1, y ? 1 且 xy ? 16 ,则 log2 x ? log2 y A.有最大值 2 B.等于 4 C.有最小值 3 D.有最大值 4

18.已知向量 a ? (1,1,0) , b ? (?1,0, 2) ,且 ka ? b 与 2a ? b 互相垂直,则 k 的值是 A. 1 B.

1 5

C.

3 5

D.

7 5

19.等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn,若

2n Sn a = ,则 n = Tn 3n ? 1 bn
D.

A.

2 3

B.

2n ? 1 3n ? 1

C.

2n ? 1 3n ? 1

2n ? 1 3n ? 4
3

x2 y 2 20.已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 与双曲 ? ? 1 的右焦点重合,抛物线的准 4 5
2

线与 x 轴的交点为 K,点 A 在抛物线上且 AK ? (A) 2 2 (B)3

2 AF ,则 A 点的横坐标为
(D)4

(C) 2 3

第Ⅱ卷(非选择题,共 105 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,把答案填在答案纸中横线上. 21.若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点坐标为(1,0)则准线方程为_____; 22.若等比数列 ?an ? 满足 a2 ? a4 ? 20, a3 ? a5 ? 40 ,则前 n 项 Sn =_____; 23.已知集合 A ? {x | x2 ? x ? 6 ? 0} , B ? {x | ( x ? 4)( x ? 2) ? 0} ,则 A
2

B ? ______;
2 2

24.已知 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a , b , c .若 a ? ab ?b ?c ? 0 , 则角 C 的大小是 ;

C (1, ?1,5) ,a ? ( x, y,1) , 25. 已知空间三点 A(0, 2,3) ,B(?2,1, 6) , 若向量 a 分别与 AB ,

AC 垂直则向量 a 的坐标为_



26.下列命题中,真命题的有________。 (只填写真命题的序号)
2 2 ①若 a, b, c ? R 则“ ac ? bc ”是“ a ? b ”成立的充分不必要条件;

②若椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点为 F1 , F2 , 且弦 AB 过点 F 则 ?A B F 2 的周长为16; 1, 16 25

③若命题“ ? p ”与命题“ p 或 q ”都是真命题,则命题 q 一定是真命题;
2 2 ④若命题 p : ?x ? R , x ? x ? 1 ? 0 ,则 ? p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 69 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 27. (本小题满分 13 分) 设 ?ABC 的内角 A , B , C 所对的边长分别为 a , b , c ,且 cos B ?

4 ,b ? 2. 5
4

(Ⅰ)当 A ? 30 时,求 a 的值;
o

(Ⅱ)当 ?ABC 的面积为 3 时,求 a ? c 的值.

28. (本小题满分 13 分)

ax ? 已 知 命 题 p : 方 程 (a x? 2 ) (

1? ) 在0??1,1? 上 有 解 ; 命 题 q : 不 等 式

x 2 ? 2ax ? 2a ? 0 恒成立,若命题“ p或q ”是假命题,求 a 的取值范围.

29. (本小题满分 14 分) 数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 2 , Sn ? (Ⅰ)求 a2 , a3 ; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项 an ; (III)求数列 ?nan ? 的前 n 项和 Tn .
1 * an ?1 ? 1 (n ? N ) . 2

5

30. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的菱形, ?ABC ?

?
4

, PA ? 底

面 ABCD,PA=2,M 为 PA 的中点,N 为 BC 的中点。AF⊥CD 于 F,如图建立空间直角坐标系。 (Ⅰ)求出平面 PCD 的一个法向量并证明 MN//平面 PCD; (Ⅱ)求二面角 P—CD—A 的余弦值。

31. (本小题满分 15 分) 已知椭圆 C1 、抛物线 C2 的焦点均在 x 轴上, C1 的中心和 C2 的顶点均为原点 O ,从 每条曲线上取两个点,将其坐标记录如下: A 、 A2 ( ? 2,0) 、 A3(4,? 4) 、 1(3,? 2 3 )

A4 ( 2 ,

2 ) . 2

(Ⅰ)经判断点 A 、C2 的标准方程; 1, A 3 在抛物线 C2 上,试求出 C1 (Ⅱ)求抛物线 C2 的焦点 F 的坐标并求出椭圆 C1 的离心率; (III)过 C2 的焦点 F 直线 l 与椭圆 C1 交不同两点 M、N , 且满足 OM ? ON ,试求 出直线 l 的方程.

6

2013-2014 学年度第一学期期末模块学分认定考试 高二数学 (满分 225 分,时间 120 分钟) 说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 第Ⅰ卷(选择题,共 120 分) 1-20DACCA ABBCA BCADA CDDBB
7

21. x ? ?1 ; 22. 2
n ?1

?2;

23. {x | 2 ? x ? 3} ; 24.

2? ; 3

25. (1,1,1) ; 26.①③④ 三、解答题:本大题共 5 小题,共 69 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 27. (本小题满分 13 分) 设 ?ABC 的内角 A , B , C 所对的边长分别为 a , b , c ,且 cos B ? (Ⅰ)当 A ? 30 时,求 a 的值;
o

4 ,b ? 2. 5

(Ⅱ)当 ?ABC 的面积为 3 时,求 a ? c 的值. 解:(Ⅰ)因为 cos B ?

4 3 ,所以 sin B ? ??????2 分 5 5
??????4 分

由正弦定理

a b a 10 ? ? ,可得 sin A sin B sin 30 3

所以 a ?

5 ??????5 分 3 1 3 ac sin B , sin B ? , 2 5

(Ⅱ)因为 ?ABC 的面积 S ?

所以

3 ac ? 3 , ac ? 10 10
2 2 2

??????7 分

由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B , 得4 ? a ?c ?
2 2

8 ac ? a 2 ? c 2 ? 16 ,即 a 2 ? c 2 ? 20 ??????10 分 5
8

所以 (a ? c) ? 2ac ? 20 , (a ? c) ? 40 ,
2 2

所以, a ? c ? 2 10 28. (本小题满分 13 分)

??????13 分

已 知 命 题 p : 方 程 (a x? 2 ) ( ax ?

1? ) 在0??1,1? 上 有 解 ; 命 题 q : 不 等 式

x 2 ? 2ax ? 2a ? 0 恒成立,若命题“ p或q ”是假命题,求 a 的取值范围.
解:若 p 正确,易知知 a ? 0 .

(ax ? 2)(ax ? 1) ? 0 的解为

1 2 或 ? .????2 分 a a 1 2 若方程在 ??1,1? 上有解,只需满足 ?1 ? ? 1 或 ?1 ? ? 1 .????4 分 a a
即 a ? ??, ?1?

?

?1, ??) .???????????6 分
2

若 q 正确,即不等式 x ? 2ax ? 2a ? 0 恒成立,则有 ? ? 0, 得 a ? 0或a ? 2 . 若 p或q 是假命题,则 p, q 都是假命题, 有? ???????????9 分

??1 ? a ? 1, ?0 ? a ? 2,

???????????12 分

所以 a 的取值范围是 (0,1) .???????????13 分 29. (本小题满分 14 分) 数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 2 , Sn ? (Ⅰ)求 a2 , a3 ; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项 an ; (III)求数列 ?nan ? 的前 n 项和 Tn . 解:(Ⅰ) n ? 1, S1 ?
1 * an ?1 ? 1 (n ? N ) . 2

1 a 2 ? 1 ? a1 ? a 2 ? 6 ;?????1 分 2
9

1 a3 ? 1 ? a1 ? a 2 ? a3 ? 18 ?????2 分 2 1 1 (Ⅱ) n ? 2 , S n ? a n ?1 ? 1, S n ?1 ? a n ? 1 ,?3 分 2 2 1 1 a n ? S n ? S n ?1 ? a n ?1 ? a n ,?4 分, 2 2 n ? 2, S 2 ?
即 an?1 ? 3an ?????5 分 对于 a2 ? 3a1 也满足上式?????6 分

相减得

? 数列 {an } 是首项为 2,公比为 3 的等比数列,?7 分 an ? 2 ? 3n?1 (n ? N * ) .?? 8 分
(III) nan ? 2n ? 3n?1

Tn ? 2 ?1 ? 4 ? 3 ? 6 ? 32 ? 8 ? 33 ? ... ? 2n ? 3n?1 ?????9 分 3Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? 32 ? 6 ? 33 ? 8 ? 34 ? ... ? 2n ? 3n ?????10 分
相减得, ? 2Tn ? 2(1 ? 3 ? 32 ? 33 ? ... ? 3n?1 ) ? 2n ? 3n ?11 分

1 ? 3n ? 2? ? 2n ? 3n ???12 分 1? 3
? 3n ? 1 ? 2n ? 3n ?13 分

? Tn ?

(2n ? 1) ? 3n ? 1 ?????14 分 2

30. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的菱形, ?ABC ?

?
4

, PA ? 底

面 ABCD,PA=2,M 为 PA 的中点,N 为 BC 的中点。AF⊥CD 于 F,如图建立空间直角坐标系。 (Ⅰ)求出平面 PCD 的一个法向量并证明 MN//平面 PCD; (Ⅱ)求二面角 P—CD—A 的余弦值。

10

解证:由题设知:在 Rt ?AFD 中, AF ? FD ?

2 2

A(0,0,0) 、B(1,0,0) 、F(0,

2 2 2 ,0) 、D( ? , ,0) ;P(0,0,2) 、 2 2 2

M(0,0,1) 、N(1—

2 2 , ,0)????4 分 4 4 2 2 , , ? 1) ,????5 分 4 4

(Ⅰ) MN ? (1 ?

2 2 2 PF ? (0, , ? 2) , PD ? (? , , ? 2) ????6 分 2 2 2
设平面 PCD 的一个法向量为 n =(x,y,z)

? 2 y ? 2 z ? 0, ? ? ?n ? PF ? 0, ? 2 则? ?? ? ?? 2 x ? 2 y ? 2 z ? 0, ?n ? PD ? 0, ? 2 ? 2
令 z= 2 ,得 n =(0,4, 2 )????8 分 ∵ MN ? N ? (1 ? ∴MN∥平面 PCD

2 2 , ,?1) ? (0,4, 2 ) ? 0 4 4
???????????10 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得平面 PCD 的法向量 n (0,4, 2 ) ,平面 ADC 的一个法向量为

AM ? (0,0,1) ????12 分
设二面角 P-CD-A 的平面角为 ? ,则 cos ? ?

n ? AM | n | ? | AM |

?

2 18 ? 1

?

1 3

即二面角 P-CD-A 的余弦值为

1 ???????????14 分 3

31. (本小题满分 15 分) 已知椭圆 C1 、抛物线 C2 的焦点均在 x 轴上, C1 的中心和 C2 的顶点均为原点 O ,从
11

每条曲线上取两个点,将其坐标记录如下: A 、 A2 ( ? 2,0) 、 A3(4,? 4) 、 1(3,? 2 3 )

A4 ( 2 ,

2 ) . 2

(Ⅰ)经判断点 A 、C2 的标准方程; 1, A 3 在抛物线 C2 上,试求出 C1 (Ⅱ)求抛物线 C2 的焦点 F 的坐标并求出椭圆 C1 的离心率; (III)过 C2 的焦点 F 直线 l 与椭圆 C1 交不同两点 M、N , 且满足 OM ? ON ,试求 出直线 l 的方程. 解: (Ⅰ)设抛物线 C2 : y 2 ? 2 px( p ? 0) ,则有

y2 ? 2 p ( x ? 0) ,据此验证 4 个点知 A1 x

(3, ? 2 3 ) 、 A3 (4, ? 4)在抛物线上,??????2 分 将 A3 坐标代入曲线方程,得 C2 : y 2 ? 4 x 设C C : 12: ??????3 分

2 x2 y2 ( 2, )代入得: ? 2 ? (a ? b ? 0) ,把点( ? 2,0) 2 2 a b
2 ? ?a ? 4 解得 ? 2 ? ?b ? 1

?4 ?1 ? ?a2 ? ? 2 ? 1 ?1 ? ? a 2 2b 2
∴ C1 方程为

x2 ? y 2 ? 1 ?????????????????6 分 4

(Ⅱ)显然, p ? 2 ,所以抛物线焦点坐标为 F (1, 0) ; 由(Ⅰ)知, a ? 2 , c ? a2 ? b2 ? 3 , 所以椭圆的离心率为 e ? (III)法一: 直 线 l 过 抛 物 线 焦 点 F (1, 0 ) , 设 直 线 l 的 方 程 为 x ? 1 ? my, 两 交 点 坐 标 为

3 ;???????????????8 分 2

M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,

12

?x ? 1 ? m y ? 由 ? x2 消去 x ,得 (m 2 ? 4) y 2 ? 2my ? 3 ? 0, ??????????10 分 2 ? ? y ?1 ?4
∴ y1 ? y 2 ?

? 2m ?3 , y1 y 2 ? 2 2 m ?4 m ?4



x1x2 ? (1 ? my1)(1 ? my2 ) ? 1 ? m( y1 ? y2 ) ? m2 y1 y2
? 1? m ? ? 2m ?3 4 ? 4m 2 2 ? m ? ? ② m2 ? 4 m2 ? 4 m2 ? 4
?????????12 分

由 OM ? ON ,即 OM ? ON ? 0 ,得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0(*) 将①②代入(*)式,得

1 4 ? 4m 2 ?3 ? 2 ? 0 , 解得 m ? ? 2 2 m ?4 m ?4

????14 分

所求 l 的方程为: y ? 2 x ? 2 或 y ? ?2 x ? 2

???????15 分

法二:容易验证直线 l 的斜率不存在时,不满足题意;???????????9 分 当直线 l 斜率存在时, 直线 l 过抛物线焦点 F (1, 0) , 设其方程为 y ? k ( x ? 1) , 与 C1 的 交点坐标为 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y 2 )

? x2 2 ? 由 ? 4 ? y ? 1 消掉 y ,得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4(k 2 ?1) ? 0 , ????10 分 ? ? y ? k ( x ? 1)
于是 x1 ? x2 ?

8k 2 4(k 2 ? 1) , x x ? 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2



y1 y2 ? k ( x1 ?1) ? k ( x1 ?1) ? k 2[ x1x2 ? ( x1 ? x2 ) ?1]
即 y1 y2 ? k (
2

4(k 2 ? 1) 8k 2 3k 2 ? ? 1) ? ? 1 ? 4k 2 1 ? 4 k 2 1 ? 4k 2

② ?????????12 分

由 OM ? ON ,即 OM ? ON ? 0 ,得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0(*) 将①、②代入(*)式,得

4(k 2 ? 1) 3k 2 k2 ? 4 ? ? ? 0, 1 ? 4k 2 1 ? 4 k 2 1 ? 4 k 2
13

解得 k ? ?2 ;????14 分 故,所求 l 的方程为: y ? 2 x ? 2 或 y ? ?2 x ? 2 .???15 分

14


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