丰镇市高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

精选高中模拟试卷

丰镇市高级中学 2018-2019 学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 一、选择题
1. 数列{an}满足 a1=3,an﹣an?an+1=1,An 表示{an}前 n 项之积,则 A2016 的值为( A.﹣ B. C.﹣1 D.1 )

姓名__________

分数__________

2. 我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举,这个伟大创 举与我国古老的算法——“辗转相除法”实质一样,如图的程序框图源于“辗转相除法”.当输入 a=6 102, b=2 016 时,输出的 a 为( )

A.6 B.9 C.12 D.18 3. 数列 {an } 中, a1 ? 1 ,对所有的 n ? 2 ,都有 a1 a2 a3 A.

25 9

B.

25 16


an ? n2 ,则 a3 ? a5 等于( 61 C. 16

) D.

31 15

4. 某几何体的三视图如图所示,则它的表面积为(

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A.

B.

C.

D. )111.Com] D. x ? ?2

5. 若函数 y ? f ( x ? 1) 是偶函数,则函数 y ? f ( x) 的图象的对称轴方程是( A. x ? 1 B. x ? ?1 C. x ? 2

6. 直线 :

( 为参数)与圆



( 为参数)的位置关系是(



A.相离 7. 方程 x= A.双曲线

B.相切 B.椭圆

C.相交且过圆心 )

D.相交但不过圆心

所表示的曲线是( D.椭圆的一部分

C.双曲线的一部分 正确的是( )

8. 若定义在 R 上的函数 f(x)满足:对任意 x1,x2∈R 有 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,则下列说法一定 A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数 C.f(x)+1 为奇函数 D.f(x)+1 为偶函数 )

9. 设曲线 y=ax2 在点(1,a)处的切线与直线 2x﹣y﹣6=0 平行,则 a=( A.1 B. C. ),则 f(2)的值为( D.﹣1 )

10.已知幂函数 y=f(x)的图象过点( , A. B.﹣ C.2 D.﹣2

11.若全集 U={﹣1,0,1,2},P={x∈Z|x2<2},则? UP=( A.{2} B.{0,2} C.{﹣1,2} D.{﹣1,0,2}



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12.函数 f ? x ? ? a log a x ?1 有两个不同的零点,则实数的取值范围是(
x

) D. ?10, ?? ?

A. ?1,10?

B. ?1, ?? ?

C. ? 0,1?

二、填空题
13.某校开设 9 门课程供学生选修,其中 A,B,C3 门课由于上课时间相同,至多选 1 门,若学校规定每位 学生选修 4 门,则不同选修方案共有 15.观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 … 照此规律,第 n 个等式为 . 种. . 14.正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,平面 AB1D1 和平面 BC1D 的位置关系为

16.已知函数 f(x)的定义域为[﹣1,5],部分对应值如下表,f(x)的导函数 y=f′(x)的图象如图示. x f(x) ﹣1 1 0 2 4 2 5 1

下列关于 f(x)的命题: ①函数 f(x)的极大值点为 0,4; ②函数 f(x)在[0,2]上是减函数; ③如果当 x∈[﹣1,t]时,f(x)的最大值是 2,那么 t 的最大值为 4; ④当 1<a<2 时,函数 y=f(x)﹣a 有 4 个零点; ⑤函数 y=f(x)﹣a 的零点个数可能为 0、1、2、3、4 个. 其中正确命题的序号是 .

17.已知圆 C1:(x﹣2)2+(y﹣3)2=1,圆 C2:(x﹣3)2+(y﹣4)2=9,M,N 分别是圆 C1,C2 上的动点, P 为 x 轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值 .

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18.向区域

内随机投点,则该点与坐标原点连线的斜率大于 1 的概率为



三、解答题
x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1、F2 ,过点 F1 作垂直 8 4 于轴的直线,直线 l 2 垂直于点 P ,线段 PF2 的垂直平分线交 l 2 于点 M . (1)求点 M 的轨迹 C2 的方程;
19.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C1 : (2)过点 F2 作两条互相垂直的直线 AC 、BD ,且分别交椭圆于 A、B、C、D ,求四边形 ABCD 面积 的最小值.

20.已知梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠B= 所示的几何体 (Ⅰ)求几何体的表面积

,DC=2AB=2BC=2

,以直线 AD 为旋转轴旋转一周的都如图

(Ⅱ)判断在圆 A 上是否存在点 M,使二面角 M﹣BC﹣D 的大小为 45°,且∠CAM 为锐角若存在,请求出 CM 的弦长,若不存在,请说明理由.

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21.(理)设函数 f(x)=(x+1)ln(x+1). (1)求 f(x)的单调区间; (2)若对所有的 x≥0,均有 f(x)≥ax 成立,求实数 a 的取值范围.

22.已知曲线 C 的极坐标方程为 4ρ2cos2θ+9ρ2sin2θ=36,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半 轴,建立平面直角坐标系; (Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)若 P(x,y)是曲线 C 上的一个动点,求 3x+4y 的最大值.

23.已知在等比数列{an}中,a1=1,且 a2 是 a1 和 a3﹣1 的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式;
* (2)若数列{bn}满足 b1+2b2+3b3+…+nbn=an(n∈N ),求{bn}的通项公式 bn.

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24.如图,四边形 ABCD 与 A′ABB′都是边长为 a 的正方形,点 E 是 A′A 的中点,AA′⊥平面 ABCD. (1)求证:A′C∥平面 BDE; (2)求体积 VA′﹣ABCD 与 VE﹣ABD 的比值.

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丰镇市高级中学 2018-2019 学年高二上学期第二次月考试卷数学(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】D 【解析】解:∵a1=3,an﹣an?an+1=1, ∴ … ∴数列{an}是以 3 为周期的周期数列,且 a1a2a3=﹣1, ∵2016=3×672,
672 ∴A2016 =(﹣1) =1.

,得



,a4=3,

故选:D. 2. 【答案】 【解析】选 D.法一:6 102=2 016×3+54,2 016=54×37+18,54=18×3,18 是 54 和 18 的最大公约数,∴ 输出的 a=18,选 D. 法二:a=6 102,b=2 016,r=54, a=2 016,b=54,r=18, a=54,b=18,r=0. ∴输出 a=18,故选 D. 3. 【答案】C 【解析】 试 题 分 析 : 由 a1 a2 a3

a n ? n , 则 a1 a2 a3
2

n2 ,所以 a ? 1) , 两 式 作 商 , 可 得 an ? n? 1? ( n 2 (n ? 1)
2

a3 ? a5 ?

32 52 61 ? ? ,故选 C. 22 42 16

考点:数列的通项公式. 4. 【答案】 A 【解析】解:由三视图知几何体为半个圆锥,且圆锥的底面圆半径为 1,高为 2, ∴母线长为 , =2+ .

2 圆锥的表面积 S=S 底面+S 侧面= ×π×1 + ×2×2+ ×π×

故选 A. 【点评】 本题考查了由三视图求几何体的表面积, 解题的关键是判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几 何量.

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5. 【答案】A 【解析】 试题分析:∵函数 y ? f ( x ? 1) 向右平移个单位得出 y ? f ( x) 的图象,又 y ? f ( x ? 1) 是偶函数,对称轴方程 为 x ? 0 ,? y ? f ( x) 的对称轴方程为 x ? 1 .故选 A. 考点:函数的对称性. 6. 【答案】D 【解析】【知识点】直线与圆的位置关系参数和普通方程互化 【试题解析】将参数方程化普通方程为:直线 : 圆心(2,1),半径 2. 圆心到直线的距离为: 又圆心不在直线上,所以直线不过圆心。 故答案为:D 7. 【答案】C 【解析】解:x= 故选 C. 【点评】本题主要考查了曲线与方程.解题的过程中注意 x 的范围,注意数形结合的思想. 8. 【答案】C 【解析】解:∵对任意 x1,x2∈R 有 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1, ∴令 x1=x2=0,得 f(0)=﹣1 ∴令 x1=x,x2=﹣x,得 f(0)=f(x)+f(﹣x)+1, ∴f(x)+1=﹣f(﹣x)﹣1=﹣[f(﹣x)+1], ∴f(x)+1 为奇函数. 故选 C 【点评】本题考查函数的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答. 9. 【答案】A 【解析】解:y'=2ax, 于是切线的斜率 k=y'|x=1=2a,∵切线与直线 2x﹣y﹣6=0 平行 ∴有 2a=2 ∴a=1
2 2 两边平方,可变为 3y ﹣x =1(x≥0),





,所以直线与圆相交。

表示的曲线为双曲线的一部分;

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故选:A 【点评】本题考查导数的几何意义:曲线在切点处的导数值是切线的斜率. 10.【答案】A 【解析】解:设幂函数 y=f(x)=x ,把点( ,
α

)代入可得

=

α



∴α= ,即 f(x)= 故 f(2)= 故选:A. 11.【答案】A 【解析】解:∵x <2 ∴﹣ <x<
2



=



2 ∴P={x∈Z|x <2}={x|﹣

<x<

,x∈Z|}={﹣1,0,1},

又∵全集 U={﹣1,0,1,2}, ∴?UP={2} 故选:A. 12.【答案】B 【解析】

?1? ? 与 y ? loga x 的图象有两个交点,当 0 ? a ? 1 时同一坐标 ?a? 系中做出两函数图象如图(2),由图知有一个交点,符合题意;当 a ? 1 时同一坐标系中做出两函数图象如图
试题分析:函数 f ? x ? 有两个零点等价于 y ? ? (1),由图知有两个交点,不符合题意,故选 B.
y
2
2

x

y

1

1

-3

-2

-1 -1

O

1

2

3

x

-4

-3

-2

-1 -1

O

1

2

3

4

x

-2

-2

(1)

(2)

考点:1、指数函数与对数函数的图象;2、函数的零点与函数交点之间的关系.

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【方法点睛】本题主要考查指数函数与对数函数的图象、函数的零点与函数交点之间的关系.属于难题.判断方 程 y ? f ? x ? 零点个数的常用方法:①直接法:可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数;②转化 法:函数 y ? f ? x ? 零点个数就是方程 f ? x ? ? 0 根的个数,结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周 期性、对称性) 可确定函数的零点个数;③数形结合法:一是转化为两个函数 y ? g ? x ? , y ? h ? x ? 的图象的 交点个数问题,画出两个函数的图象,其交点的个数就是函数零点的个数,二是转化为 y ? a, y ? g ? x ? 的交 点个数的图象的交点个数问题.本题的解答就利用了方法③.

二、填空题
13.【答案】 75

【解析】计数原理的应用. 【专题】应用题;排列组合. 【分析】由题意分两类,可以从 A、B、C 三门选一门,再从其它 6 门选 3 门,也可以从其他六门中选 4 门, 根据分类计数加法得到结果. 【解答】解:由题意知本题需要分类来解,
1 3 第一类,若从 A、B、C 三门选一门,再从其它 6 门选 3 门,有 C3 C6 =60, 4 第二类,若从其他六门中选 4 门有 C6 =15,

∴根据分类计数加法得到共有 60+15=75 种不同的方法. 故答案为:75. 【点评】 本题考查分类计数问题, 考查排列组合的实际应用, 利用分类加法原理时, 要注意按照同一范畴分类, 分类做到不重不漏. 14.【答案】 平行 . 【解析】解:∵AB1∥C1D,AD1∥BC1, AB1?平面 AB1D1,AD1?平面 AB1D1,AB1∩AD1=A C1D?平面 BC1D,BC1?平面 BC1D,C1D∩BC1=C1 由面面平行的判定理我们易得平面 AB1D1∥平面 BC1D 故答案为:平行. 【点评】本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系,在判断线与面的平行与垂直关系时,正方体是最常 用的空间模型,大家一定要熟练掌握这种方法. 15.【答案】 n+(n+1)+(n+2)+…+(3n﹣2)=(2n﹣1)2 .

【解析】解:观察下列等式

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1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 … 等号右边是 12,32,52,72…第 n 个应该是(2n﹣1)2 左边的式子的项数与右边的底数一致, 每一行都是从这一个行数的数字开始相加的, 照此规律,第 n 个等式为 n+(n+1)+(n+2)+…+(3n﹣2)=(2n﹣1)2, 故答案为:n+(n+1)+(n+2)+…+(3n﹣2)=(2n﹣1)2 【点评】本题考查归纳推理,考查对于所给的式子的理解,主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之 间的关系,本题是一个易错题. 16.【答案】 ①②⑤ .

【解析】解:由导数图象可知,当﹣1<x<0 或 2<x<4 时,f'(x)>0,函数单调递增,当 0<x<2 或 4<x <5,f'(x)<0,函数单调递减,当 x=0 和 x=4,函数取得极大值 f(0)=2,f(4)=2,当 x=2 时,函数取得 极小值 f(2),所以①正确;②正确; 因为在当 x=0 和 x=4,函数取得极大值 f(0)=2,f(4)=2,要使当 x∈[﹣1,t]函数 f(x)的最大值是 4,当 2≤t≤5,所以 t 的最大值为 5,所以③不正确; 由 f(x)=a 知,因为极小值 f(2)未知,所以无法判断函数 y=f(x)﹣a 有几个零点,所以④不正确, 根据函数的单调性和极值,做出函数的图象如图,(线段只代表单调性),根据题意函数的极小值不确定,分 f(2)<1 或 1≤f(2)<2 两种情况,由图象知,函数 y=f(x)和 y=a 的交点个数有 0,1,2,3,4 等不同情 形,所以⑤正确, 综上正确的命题序号为①②⑤. 故答案为:①②⑤.

【点评】本题考查导数知识的运用,考查导函数与原函数图象之间的关系,正确运用导函数图象是关键.

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17.【答案】 5

﹣4



【解析】解:如图,圆 C1 关于 x 轴的对称圆的圆心坐标 A(2,﹣3),半径为 1,圆 C2 的圆心坐标(3,4), 半径为 3, |PM|+|PN|的最小值为圆 A 与圆 C2 的圆心距减去两个圆的半径和, 即: 故答案为:5 ﹣4. ﹣4=5 ﹣4.

【点评】本题考查圆的对称圆的方程的求法,考查两个圆的位置关系,两点距离公式的应用,考查转化思想与 计算能力,考查数形结合的数学思想,属于中档题. 18.【答案】 .

【解析】解:不等式组

的可行域为:

由题意,A(1,1),∴区域 =( x3) 由 = ,

的面积为

,可得可行域的面积为:1

= ,

∴坐标原点与点(1,1)的连线的斜率大于 1,坐标原点与

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与坐标原点连线的斜率大于 1 的概率为: 故答案为: .

=

【点评】本题考查线性规划的应用,几何概型,考查定积分知识的运用,解题的关键是利用定积分求面积.

三、解答题
19.【答案】(1) y 2 ? 8x ;(2) 【解析】 试题分析:(1)求得椭圆的焦点坐标,连接 MF2 ,由垂直平分线的性质可得 MP ? MF2 ,运用抛物线的定 义,即可得到所求轨迹方程;(2)分类讨论:当 AC 或 BD 中的一条与轴垂直而另一条与轴重合时,此时四
2

64 . 9

边形 ABCD 面积 S ? 2b .当直线 AC 和 BD 的斜率都存在时,不妨设直线 AC 的方程为 y ? k ?x ? 2? ,则直 线 BD 的方程为 y ? ?

1 ?x ? 2 ? .分别与椭圆的方程联立得到根与系数的关系,利用弦长公式可得 AC , k 1 利用四边形 ABCD 面积 S ? AC BD 即可得到关于斜率的式子, 再利用配方和二次函数的最值求法, BD . 2

即可得出.

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(2) 当直线 AC 的斜率存在且不为零时, 直线 AC 的斜率为,A( x1 , y1 ) , 则直线 BD 的斜率为 ? C ( x2 , y2 ) ,

1 , k

? y ? k ( x ? 2) ? 直线 AC 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,联立 ? x 2 y 2 ,得 (2k 2 ? 1) x2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 8 ? 0 .111] ?1 ? ? 4 ?8 8k 2 ? 8 8k 2 x x ? ∴ x1 ? x2 ? , . 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 32(k 2 ? 1) 1 1 | AC |? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? .由于直线 BD 的斜率为 ? ,用 ? 代换上式中的。可得 2 k k 2k ? 1 2 32(k ? 1) . | BD |? k2 ? 2 1 16(k 2 ? 1)2 ∵ AC ? BD ,∴四边形 ABCD 的面积 S ? | AC | ? | BD |? 2 . 2 (k ? 2)(2k 2 ? 1)
2 2 由于 (k ? 2)(2k ? 1) ? [

64 (k 2 ? 2) ? (2k 2 ? 1) 2 3(k 2 ? 1) 2 2 2 ] ?[ ] ,∴ S ? ,当且仅当 k ? 2 ? 2k ? 1 ,即 9 2 2

k ? ?1 时取得等号.
易知,当直线 AC 的斜率不存在或斜率为零时,四边形 ABCD 的面积 S ? 8 . 综上,四边形 ABCD 面积的最小值为 考点:椭圆的简单性质.1 【思路点晴】求得椭圆的焦点坐标,由垂直平分线的性质可得 | MP |?| MF2 | ,运用抛物线的定义,即可得所求的 轨迹方程.第二问分类讨论,当 AC 或 BD 中的一条与轴垂直而另一条与轴重合时,四边形面积为 2b .当直线
2

64 . 9

AC 和 BD 的斜率都存在时,分别设出 AC, BD 的直线方程与椭圆联立得到根与系数的关系,利用弦长公式求得

AC , BD ,从而利用四边形的面积公式求最值.
20.【答案】 【解析】解:(1)根据题意,得; 该旋转体的下半部分是一个圆锥, 上半部分是一个圆台中间挖空一个圆锥而剩下的几何体, 其表面积为 S= ×4π×2 或 S= ×4π×2 ×2=8 π, ﹣2π× )+ ×2π× =8 π;

+ ×(4π×2

(2)作 ME⊥AC,EF⊥BC,连结 FM,易证 FM⊥BC, ∴∠MFE 为二面角 M﹣BC﹣D 的平面角, 设∠CAM=θ,∴ EM=2sinθ,EF= ,

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∵tan∠MFE=1,∴ ∴CM=2 .

,∴tan

=

,∴



【点评】本题考查了空间几何体的表面积与体积的计算问题,也考查了空间想象能力的应用问题,是综合性题 目. 21.【答案】 【解析】解:(1)由 f'(x)=ln(x+1)+1≥0 得 . (2)令 g(x)=(x+1)ln(x+1)﹣ax.“不等式 f(x)≥ax 在 x≥0 时恒成立”?“g(x)≥g(0)在 x≥0 时恒
a 1 成立.”g'(x)=ln(x+1)+1﹣a=0?x=e ﹣ ﹣1. a 1 当 x∈(﹣1,e ﹣ ﹣1)时,g'(x)<0,g(x)为减函数. a 1 当 x∈(e ﹣ ﹣1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)为增函数.

,∴f(x)的增区间为

,减区间为

“g(x)≥0 在 x≥0 时恒成立”?“ea﹣1﹣1≤0”,即 ea﹣1≤e0,即 a﹣1≤0,即 a≤1. 故 a 的取值范围是(﹣∞,1].

22.【答案】

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2 2 2 2 2 2 【解析】解:(Ⅰ)由 4ρ cos θ+9ρ sin θ=36 得 4x +9y =36,

化为



(Ⅱ)设 P(3cosθ,2sinθ), 则 3x+4y= , . ∵θ∈R,∴当 sin(θ+φ)=1 时,3x+4y 的最大值为

【点评】 本题考查了椭圆的极坐标方程、 三角函数的单调性与值域, 考查了推理能力与计算能力, 属于中档题.

23.【答案】 【解析】解:(1)设等比数列{an}的公比为 q,由 a2 是 a1 和 a3﹣1 的等差中项得: 2a2=a1+a3﹣1,∴ ∴2q=q ,∵q≠0,∴q=2, ∴ ; (2)n=1 时,由 b1+2b2+3b3+…+nbn=an,得 b1=a1=1. n≥2 时,由 b1+2b2+3b3+…+nbn=an ① b1+2b2+3b3+…+(n﹣1)bn﹣1=an﹣1② ①﹣②得: , ∴ . .
2



【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式,考查了数列的递推式,解答的关键是想到错位相减,是基 础题. 24.【答案】 【解析】(1)证明:设 BD 交 AC 于 M,连接 ME. ∵ABCD 为正方形,∴M 为 AC 中点, 又∵E 为 A′A 的中点, ∴ME 为△A′AC 的中位线, ∴ME∥A′C. 又∵ME?平面 BDE,A′C?平面 BDE, ∴A′C∥平面 BDE.

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∵VE﹣ABD= (2) 解: ∴VA′﹣ABCD:VE﹣ABD=4:1.

=

=

= VA′﹣ABCD.

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