2018版高考数学一轮总复习平面向量数系的扩充与复数的引入4.1平面向量的概念及其线性运算模拟演练课件文_图文

板块四 模拟演练· 提能增分

[A 级

基础达标](时间:40 分钟 )

1.如图所示,D,E, F 分别是△ABC 的边 AB,BC, → → CA 的中点,则 AF-DB等于( )

→ A. FD → C.FE

→ B.FC → D.BE

解析

→ → → → → → → 由题图, 知DB=AD, 则AF- DB=AF-AD=DF.

→ → 由三角形中位线定理,知DF=BE.故选 D.

→ 2.[2017· 嘉兴模拟]已知向量 a 与 b 不共线,且 AB=λa → +b,AC=a+μb,则点 A,B,C 三点共线应满足 ( A. λ+μ=2 C.λμ=-1
解析 = 1.

)

B.λ-μ=1 D.λμ=1

→ → 若 A, B,C 三点共线,则AB= kAC,即 λa+b

= k(a+ μb),所以 λa+ b= ka+ μkb,所以 λ= k,1= μk,故 λμ

→ → 3.已知 A、B 、C 三点不共线,且点 O 满足OA+ OB+ → OC=0,则下列结论正确的是( 1→ 2→ → A. OA= AB+ BC 3 3 1→ 2→ → C.OA= AB- BC 3 3 )

2→ 1→ → B.OA= AB+ BC 3 3 2→ 1→ → D.OA=- AB- BC 3 3

解析

→ → → ∵ OA+ OB+OC= 0,∴ O 为△ ABC 的重心,∴

2 1 → 1 → 1 → → → → → → OA=- × ( AB + AC)=- (AB + AC )=- (AB +AB +BC ) 3 2 3 3 1 → 2→ 1→ → =- (2AB+BC)=- AB- BC. 3 3 3

→ 4.[2017· 安徽六校联考 ]在平行四边形 ABCD 中,AB= → → → → a,AC=b,DE=2EC,则 BE=( 1 A.b- a 3 4 C.b- a 3 )

2 B .b - a 3

解析

1 D .b + a 3 → → → → → → → 因为 BE = AE - AB =AD + DE - AB ,所以BE =

2→ 4 → → → → 2→ → BC+ AB- AB=AC-AB+ AB-AB=b- a,故选 C. 3 3 3

→ → 5.如图,在△ABC 中, |BA|=|BC|,延 → → → → → 长 CB 到 D , 使 AC⊥ AD, 若AD=λ AB+μAC, 则 λ-μ 的值是 ( A.1 C.3 ) B .2 D .4

解析

→ 1 → 由题意可知, B 是 DC 的中点,故AB= (AC+ 2

→ → → → AD),即AD=2AB-AC,所以 λ=2,μ=- 1,则 λ-μ=3.

→ → → 6.在△ABC 中,D 为边 AB 上一点,若 AD=2DB,CD 2 1→ → = CA+λ CB,则 λ=________. 3 3
解析 2→ 2 → → → → → 因为 AD= 2DB, 所以AD= AB= (CB- CA). 在 3 3

2 → 1→ 2 → → → → → △ ACD 中,因为CD=CA+ AD=CA+ (CB-CA)= CA+ 3 3 3 2 → CB,所以 λ= . 3

→ 7.设点 M 是线段 BC 的中点,点 A 在直线 BC 外,BC
2

→ → → → → 2 =16,|AB+AC|=|AB- AC|,则|AM|=________.
解析 → → → → → → 由 |AB+AC|= |AB-AC|可知,AB⊥ AC,

则 AM 为 Rt△ ABC 斜边 BC 上的中线, 1 → → 因此, |AM|= |BC|= 2. 2

→ 8. [2017· 泉州四校联考 ]设 e1, e2 是不共线的向量, 若AB → → =e1-λ e2, CB=2e1+ e2, CD=3e1- e2,且 A, B,D 三点 2 共线,则 λ 的值为________ . → → 解析 ∵ CB= 2e1+ e2,CD= 3e1- e2,
→ → → ∴BD= CD-CB= (3e1- e2)- (2e1+ e2)= e1- 2e2, 若 A, → → → → B, D 三点共线, 则AB与 BD共线, 存在 μ∈ R 使得AB= μBD, 即 e1 - λe2 = μ(e1 - 2e2 ) , 由 e1 , e2 是 不 共 线 的 向 量 ,得
? ?1= μ, ? ? ?- λ=- 2μ,

解得 λ=2.

9.[2017· 合肥模拟]已知向量 a,b 不共线,且 c=λa+ b,d=a+(2λ-1)b,若 c 与 d 反向共线,求实数 λ 的值.
解 由于 c 与 d 反向共线, 则存在实数 k 使 c= kd(k<0),

于是 λa+ b= k[a+ (2λ- 1)b], 整理得 λa+b= ka+ (2λk- k)b.
? ?λ= k, 由于 a, b 不共线,所以有? ? ?2λk- k= 1,

1 整理得 2λ - λ- 1= 0,解得 λ= 1 或 λ=- . 2
2

1 又因为 k<0,所以 λ<0, 故 λ=- . 2

→ → 10.已知|OA|=1 ,|OB|= 3,∠AOB=90° ,点 C 在∠ → → → AOB 内,且∠AOC=30° .设 OC=mOA+nOB(m,n ∈R),求 m 的值. n 解 如图所示,因为 OB⊥ OA,

→ 不妨设 |OC|= 2, 过点 C 作 CD⊥ OA 于点 D, CE⊥ OB 于点 E,所以 → → → 四边形 ODCE 是矩形, OC=OD+DC → → =OD+ OE.

→ → → 因为 |OC|= 2,∠ COD=30° ,所以 |DC|= 1, |OD|= → → 又因为 |OB|= 3, |OA|= 1, → → → 所以OD= 3OA,OE=

3.

3→ 3→ → → OB,OC= 3OA+ OB, 3 3

3 m 3 此时 m= 3, n= ,所以 = = 3. 3 n 3 3

[B 级

知能提升](时间:20 分钟 )

11.如图所示,在平行四边形 ABCD 中,O 是对角线 AC,BD 的交点,N 是线段 OD 的中点,AN 的延长线与 CD 交于点 E ,则下列说法错误的是( )

→ → → A. AC= AB+AD 1→ 1→ → C.AO= AB+ AD 2 2

→ → → B.BD= AD-AB 5→ → → D.AE= AB+AD 3

解析

由向量的加法和减法,知道 A、B 正确;由中点

DE DN 1 公式知道 C 正确,而△ DNE∽△ BNA,所以 = = , BA NB 3 1→ → → → → 所以AE=AD+DE= AD+ AB,故 D 错误. 3

12.[2014· 福建高考]设 M 为平行四边形 ABCD 对角线 → 的交点, O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点, 则OA → → → +OB+ OC+OD等于( → A. OM → C.3OM ) → B.2OM → D.4OM

解析

→ → → → → → → → OA+OB+OC+OD =(OA+OC)+(OB+OD )=

→ → → 2OM+2OM=4OM.故选 D.

→ → → → 13. 如图, 平面内有三个向量 OA,OB, OC, 其中OA与 → → → → → OB的夹角为 120° , OA与OC的夹角为 30° , 且|OA|= |OB|=1, → |OC|= 2 → → → 3.若 OC = λ OA + μOB (λ , μ ∈ R),则 λ + μ 的值为

6 ________ .

解析

→ → 以 OC 为对角线,OA, OB的方向为边的方向作

平行四边形 ODCE(图略 ). 由已知,得∠ COD= 30° ,∠ COE=∠ OCD= 90° . → | OC | → → 在 Rt△ OCD 中, |OC|= 2 3, |OD|= = 4. cos30° → → 在 Rt△ OCE 中, |OE|= |OC|tan30° = 2. → → → → OD= 4OA , OE= 2OB. → → → → → 因为OC=OD+OE= 4OA + 2OB,所以 λ= 4, μ= 2. 所以 λ+μ=6.

→ → → 14.设点 O 在△ABC 内部,且有 4OA+ OB+OC=0, 求△ABC 与△OBC 的面积之比.



取 BC 的中点 D,连接 OD,

→ → → 则OB+ OC= 2OD, → → → ∵ 4OA+OB+ OC= 0, → → → → ∴ 4OA=- (OB+ OC)=-2OD, 1→ → ∴OA=- OD. 2 → → ∴ O、A、 D 三点共线,且 |OD|= 2|OA|, ∴ O 是中线 AD 上靠近 A 点的一个三等分点, ∴ S△ ABC∶ S△ OBC= 3∶ 2.


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