【首发2014青岛市一模第2套】山东省青岛市2014届高三第一次模拟考试文科数学含答案

高三自评试卷

数学 (文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔和 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)将姓名、准考证号、 考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑;如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案不能答在试题卷上. 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)作答,答案必须写在答题卡各题目指 定区域内相应的位置,不能写在试题卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新 的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.

第Ⅰ卷(选择题
有一项是符合题目要求的. 1.复数 A. ?1

共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只

2i ( i 是虚数单位)的虚部为 1? i
B. i C. 1 D. 2

2.已知全集 U ? R ,集合 A ? x | x ? x ? 0 , B ? ?x | ln x ? 0? ,则 (CU A)
2

?

?

B?

A. (0,1]

B. (??,0)

(1, ??)

C. ?

D. (0,1)

3.某中学高中一年级有 400 人,高中二年级有 320 人,高中三年级有 280 人,现从中抽取 一个容量为 200 人的样本,则高中二年级被抽取的人数为 A. 28 B. 32
2

C. 40

D. 64

4.命题“ ?x ? R, 使得 x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是 A. ?x ? R, 均有 x ? x ? 1 ? 0
2

B. ?x ? R, 均有 x ? x ? 1 ? 0
2

C. ?x ? R, 使得 x ? x ? 1 ? 0
2

D. ?x ? R, 均有 x ? x ? 1 ? 0
2

5.曲线 y ? x ? 2x 在 (1, ?1) 处的切线方程为
3

A. x ? y ? 2 ? 0

B. x ? y ? 2 ? 0

C. x ? y ? 2 ? 0

D. x ? y ? 2 ? 0

6.抛物线 y ? 8x 的焦点坐标为
2

A. (2, 0)

B. (?2, 0)

C. (0,

1 ) 32

D. (0,

1 ) 16
y

7.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0, ? ?

?
2

) 的部分图
1
?

象如图所示,为了得到 y ? sin 2 x 的图象,只需将 f ( x ) 的图象

? A.向右平移 个单位 3 ? C.向左平移 个单位 3

? B.向右平移 个单位 6 ? D.向左平移 个单位 6

? O
6

?

x

3 (第7题)

?x ? 2 y ? 0 ? 8.设 z ? x ? y, 其中实数 x , y 满足 ? x ? y ? 0 ,若 z 的最大值为 12 ,则 z 的最小值为 ?0 ? y ? k ?
A. ? 3 B. ? 6 C. 3 ② y ? x ? cos x D. 6 ③ y ? x ? cos x ④ y ? x ? 2 x 的图 9.现有四个函数:① y ? x ? sin x

象(部分)如下,则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是 A.①④③② B.④①②③ C. ①④②③. D.③④②①

y

y

y

y

O o

xX

O

x

O

x

O

xx

X X ,?, n )是 ?AOB 所在的平面内的点,且 OAi ? OB ? OA ? OB . 10.若 Ai ( i ? 1,2,3 X 给出下列说法:① | OA 1 |?| OA 2 |?

?| OAn |?| OA | ;② | OAi | 的最小值一定是 | OB | ;

③点 A 、 Ai 在一条直线上.其中正确的个数是 A . 0 个. B. 1 个 . C . 2 个. D . 3 个.

第Ⅱ卷(非选择题
1 的最小值_________; x?4

共 100 分)
开始 输入 x

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 已知 x ? 4 ,则 x ?

12. 圆 C : x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 的圆心 到直线 l : 3x ? 4 y ? 4 ? 0 的距离 d ? 13.已知 sin( ; ;

n ?1 n ? n ?1 x ? 2x ?1 n?3?
否 是

?

3 ? ? x) ? ,则 cos( x ? ) ? 6 5 3

14. 如图是某算法的程序框图,若任意输入

[1,19] 中的实数 x ,则输出的 x 大于 49 的
概率为 ;

输出 x 结束

15. 如果对定义在 R 上的函数 f ( x ) ,对任意两个不相等的实数 x1 , x2 ,都有

x1 f ( x1 ) ? x2 f ( x2 ) ? x1 f ( x2 ) ? x2 f ( x1 ) ,则称函数 f ( x) 为“ H 函数”.给出
? ?ln x x ? 0 下列函数① y ? x2 ;② y ? e x ? 1 ;③ y ? 2 x ? sin x ;④ f ( x) ? ? .以上 x?0 ? ?0
函数是“ H 函数”的所有序号为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (sin x, 3 sin x), n ? (sin x,? cos x) ,设函数 f ( x) ? m ? n ,若函数 g ( x) 的图象与 f ( x) 的图象关于坐标原点对称. (Ⅰ)求函数 g ( x) 在区间 ??

? ? ?? 上的最大值,并求出此时 x 的取值; , ? 4 6? ?
A ? ? A ? ) ? g( ? ) ? ? 3 , 2 12 12 2

(Ⅱ)在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,若 f (

b ? c ? 7 , bc ? 8 ,求边 a 的长.

(本小题满分 12 分) 17. 在某高校自主招生考试中, 所有选报 II 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读 与表达”两个科目的考试,成绩分为 A, B, C , D, E 五个等级. 某考场考生的两科考试成绩数 据统计如下图所示,其中“数学与逻辑”科目的成绩为 B 的考生有 10 人. (Ⅰ)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为 A 的人数; (Ⅱ)若等级 A, B, C , D, E 分别对应 5 分, 4 分, 3 分, 2 分, 1 分,求该考场考生“数学与逻辑”科 目的平均分; (Ⅲ) 已知参加本考场测试的考生中, 恰有两人的两科成绩均为 A . 在至少一科成绩为 A 的 考生中,随机抽取两人进行访谈,求这两人的两科成绩均为 A 的概率.

18. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 面 ABCD ,

P

E 、 F 分别为 BD 、 PD 的中点, EA ? EB .
(Ⅰ)证明: PB ∥面 AEF ; (Ⅱ)证明: AD ? PB

F
A D B E

C
19. (本小题满分 12 分) 在数列 ?an ? (n ? N ) 中,其前 n 项和为 Sn ,满足 2Sn ? n ? n .
?

2

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? n ? 2 n ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 Tn .
a

20. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? 2ln x, h( x) ? x2 ? x ? a. (Ⅰ)求函数 f ( x) 的极值; (Ⅱ)设函数 k ( x) ? f ( x) ? h( x), 若函数 k ( x) 在 [1,3] 上恰有两个不同零点,求实数 a 的取值 范围.

21. (本小题满分 14 分) 已知点 P 在椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上, 以 P 为圆心的圆与 x 轴相切于椭圆的 a2 b2

O 为坐标原点. 右焦点 F2 ,且 OP ? OF2 ? 2, tan?OPF 2 ? 2 ,其中
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

0) (Ⅱ) 已知点 M( ? 1, , 设 Q 是椭圆 C 上的一点, 过 Q 、M 两点的直线 l 交 y 轴于点 N ,
若 NQ ? 2QM , 求直线 l 的方程; (Ⅲ)作直线 l1 与椭圆 D :

x2 2 y 2 ? 2 ? 1 交于不同的两点 S , T ,其中 S 点的坐标为 (?2,0) ,若 a2 b

点 G (0, t ) 是线段 ST 垂直平分线上一点,且满足 GS ? GT ? 4 ,求实数 t 的值.

高三自主检测

数学(文科)参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分. CAD BA CBBCB 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 6 12. 3 13.

3 5

14.

2 3

15.②③

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤. 16. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题意得:

f ( x) ? sin 2 x ? 3 sin x cos x ?
所以 g ( x) ? ? 因为 x ? ??

1 ? cos 2 x 3 1 ? ? sin 2 x ? ? sin(2 x ? ) 2 2 2 6
……………………3 分

1 ? ? sin( 2 x ? ) 2 6

? ? 2? ? ? ? ? ?? , ? ,所以 2 x ? ? ?? , 6 ? 3 6? ? 4 6? ?
?
6 ??

所以当 2 x ?

?
2

即x ??

?
6

时,

函数 g ( x) 在区间 ?? (Ⅱ)由 f (

1 ? ? ?? , ? 上的最大值为 .……………………6 分 2 ? 4 6?

3 A ? ? A ? ) ? g ( ? ) ? ? 3 得: sin A ? 2 12 12 2 2
1 1 或 cos A ? ? ……………………8 分 2 2
2

又因为 0 ? A ? ? ,解得: cos A ? 由题意知 bc ? 8 , b ? c ? 7

所以 a ? b ? c ? 2bccos A ? (b ? c) ? 2bc(1 ? cos A) ? 33 ? 16cos A
2 2 2

则 a ? 25 或 a ? 41
2 2

故所求边 a 的长为 5 或 41 .

……………………12 分

17. (本小题满分 12 分) 解:(1)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为 B 的考生有 10 人, 所以该考场有 10 ? 0.25 ? 40 人……………………2 分 所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为 A 的人数为

40 ? (1 ? 0.375 ? 0.375 ? 0.15 ? 0.025) ? 40 ? 0.075 ? 3 ……………………4 分
(2)该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为

1? 0.2 ? 2 ? 0.1 ? 3 ? 0.375 ? 4 ? 0.25 ? 5 ? 0.075 ? 2.9 ……………………7 分
(3)因为两科考试中,共有 6 人得分等级为 A,又恰有两人的两科成绩等级均为 A, 所以还有 2 人只有一个科目得分为 A, 设这四人为甲,乙,丙,丁,其中甲,乙是两科成绩都是 A 的同学,则在至少一科成绩等 级为 A 的考生中,随机抽取两人进行访谈,基本事件空间为

? ? { {甲,乙},{甲,丙},{甲,丁},{乙,丙},{乙,丁},{丙,丁} } ,有 6 个基本事件
设“随机抽取两人进行访谈,这两人的两科成绩等级均为 A”为事件 B,所以事件 B 中包含 的基本事件有 1 个,则 P( B) ? 18. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)因为 E 、 F 分别为 BD 、 PD 的中点, 所以 EF ∥ PB ……………………2 分 因为 EF ? 面 AEF , PB ? 面 AEF 所以 PB ∥面 AEF ……………………5 分 (Ⅱ)因为 PA ? 面 ABCD 所以 PA ? AD ……………………7 分 因为 EA ? EB ,所以 ?ABE ? ?BAE 又因为 E 为 BD 的中点 所以 ?ADE ? ?DAE 所以 2(?BAE ? ?DAE) ? 180

1 . ……………………12 分 6

P

F A D B E

C

得 ?BAE ? ?DAE ? 90 ,即 BA ? AD ……………………10 分 因为 PA

AB ? A ,所以 AD ? 面 PAB

所以 AD ? PB ……………………12 分 19. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)由题设得: 2Sn ? n ? n2 ,所以 2Sn ?1 ? n ? 1 ? (n ? 1)2 (n ? 2) 所以 an ? Sn ? Sn ?1 ? 1 ? n

(n ? 2) ……………2 分

当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 0 ,数列 ?an ? 是 a1 ? 0 为首项、公差为 ? 1 的等差数列 故 an ? 1 ? n .……………5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知: bn ? n ? 21?n 所以 Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn

? 1 ? 20 ? 2 ? 2?1 ? 3 ? 2?2 ? 4 ? 2?3 ?
两式相减得:

? n ? 21?n

2?1 ? Tn ? 1? 2?1 ? 2 ? 2?2 ? 3 ? 2?3 ? 4 ? 2?4 ?

? (n ? 1) ? 21?n ? n ? 2? n ……………………8 分

1 Tn ? 1 ? 2?1 ? 2?2 ? 2?3 ? 2?4 ? ? 21?n ? n ? 2? n 2 1 1 1 ? 2 ? 2 ? ( )n ? n ? ( )n ? 2 ? (n ? 2)( )n . 2 2 2 1 所以 Tn ? 4 ? 2(n ? 2)( )n .……………………12 分 2
20. (本小题满分 13 分) (Ⅰ) f ( x) 的定义域是 (0,??) , f ?( x) ? 2 x ?

2 ? 0 ,得 x ? 1 ……………………3 分 x

x ? (0,1) 时, f ?( x) ? 0 , x ? (1, ??) 时, f ?( x) ? 0 ,
所以 f ( x) 在 x ? 1 处取得极小值 1 ……………………6 分 (Ⅱ) k ( x) ? f ( x) ? h( x) ? x ? 2 ln x ? a 所以 k ?( x) ? 1 ?

( x ? 0)

2 ,令 k ?( x) ? 0, 得 x ? 2 x

所以 k ( x) 在 (0,2) 递减,在 (2,??) 递增 ……………………9 分

?k (1) ? 0 ? ? ?k (2) ? 0 ……………………11 分 ?k (3) ? 0 ?
所以 2 ? 2 ln 2 ? a ? 3 ? 2 ln 3 ……………………13 分 21. (本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ)由题意知,在 ?OPF2 中, PF2 ? OF2 由 tan?OPF 2 ? 2 ? 2 得: cos ?POF 设 r 为圆 P 的半径, c 为椭圆的半焦距 因为 OP ? OF2 ? 2, 所以 c ? r ? c ?
2 2

6 3

6 ?2 3

又 tan ?OPF 2 ?

c ? 2 ,解得: c ? 2 , r ? 1,则点 P 的坐标为 (? 2,1) ………………2 分 r

因为点 P 在椭圆 C :
2 2 2

x2 y2 (? 2 ) 2 1 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) 上 , 所以有 ? 2 ?1 a2 b a2 b2 x2 y 2 ? ? 1 .……………………4 分 4 2

又 a ? b ? c ? 2 ,解得: a 2 ? 4, b2 ? 2 所求椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ?1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知椭圆 C 的方程为 4 2
由题意知直线 l 的斜率存在,故设其斜率为 k , 则其方程为 y ? k ( x ? 1), N (0, k ) 设 Q( x1 , y1 ) ,由于 NQ ? 2QM ,所以有 ( x1 , y1 ? k ) ? 2(?1 ? x1 ,? y1 )

2 k ? x1 ? ? , y1 ? ……………………7 分 3 3

2 k (? ) 2 ( ) 2 3 ? 3 ?1 又 Q 是椭圆 C 上的一点,则 4 2 解得 k ? ?4
所以直线 l 的方程为 4 x ? y ? 4 ? 0 或 4 x ? y ? 4 ? 0 ……………………9 分

(Ⅲ)由题意知: D :

x2 ? y2 ? 1 4

由 S (?2,0) , 设 T ( x1 , y1 ) 根据题意可知直线 l1 的斜率存在,可设直线斜率为 k ,则直线 l1 的方程为 y ? k ( x ? 2) 把它代入椭圆 D 的方程,消去 y ,整理得: (1 ? 4k 2 ) x2 ? 16k 2 x ? (16k 2 ? 4) ? 0 由韦达定理得 ? 2 ? x1 ? ?

4k 16k 2 2 ? 8k 2 , 则 , y1 ? k ( x1 ? 2) ? x ? 1 2 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2k 8k 2 ) , 1 ? 4k 2 1 ? 4 k 2

所以线段 ST 的中点坐标为 (?

(1)当 k ? 0 时, 则有 T (2,0) ,线段 ST 垂直平分线为 y 轴 于是 GS ? (?2, ?t ), GT ? (2, ?t ) 由 GS ? GT ? ?4 ? t 2 ? 4 ,解得: t ? ?2 2 ……………………11 分 (2) 当 k ? 0 时, 则线段 ST 垂直平分线的方程为 y ? 因为点 G (0, t ) 是线段 ST 垂直平分线的一点 令 x ? 0 ,得: t ? ?

2k 1 8k 2 ? ? (x ? ) 2 1 ? 4k k 1 ? 4k 2

6k 1 ? 4k 2

于是 GS ? (?2, ?t ), GT ? ( x1 , y1 ? t ) 由 GS ? GT ? ?2 x1 ? t ( y1 ? t ) ? 代入 t ? ?

14 4(16k 4 ? 15k 2 ? 1) ? 4 ,解得: k ? ? 2 2 (1 ? 4k ) 7

2 14 6k ,解得: t ? ? 2 1 ? 4k 5
2 14 .……………………14 分 5

综上, 满足条件的实数 t 的值为 t ? ?2 2 或 t ? ?


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