江苏省苏北三市(连云港、徐州、宿迁)2017届高三年级第三次模拟考试数学试题(精编含解析)

宿迁市高三年级第三次模拟考试

数学Ⅰ

? ? 参考公式:样本数据

x1, x2 ,?, xn

s2 的方差

?

1 n

n
( xi
i ?1

?

x )2

,其中

x

?

1 n

n
xi
i ?1

V .棱锥的体积

?

1 Sh 3,

其中 S 是棱锥的底面积, h 是高.

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置

上.

1.已知集合

A

?

??1,1,

2? ,

B

?

?0,1,2,7? ,则集合

A

?

B

中元素的个数为____.

【答案】 5

【解析】

由于

A

?

B

?

??1,

0,1,

2,

7? ,所以集合

A

?

B

中元素的个数为

5.

【点睛】根据集合的交、并、补定义: A ? B ? ?x | x ? A且x ? B?, A ? B ? ?x | x ? A或x ? B?,

?U A ? ?x ?U | x ? A? ,求出 A ? B ,可得集合 A ? B 中元素的个数.

2.设

a ,b ? R

1? i ,1?i

?

a

?

bi

(i

为虚数单位),则 b

的值为____.

【答案】1

【解析】

由于1? i ? (1? i)(a ? bi) ? a ? b ? (b ? a)i ,有 a ? b ? 1,b ? a ? 1,得 b ? 1, a ? 0 .

3.在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线

x2 4

?

y2 3

?1
的离心率是____.

7 【答案】 2
【解析】

a2 ? 4, a ? 2, b2 ? 3, c2 ? a2 ? b2 ? 7, c ? 7, e ? c ? 7 a2

4.现有三张识字卡片,分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字.将这三张卡片随机排序,则能组成“中国梦” 的概率是____.

1 【答案】 6

【解析】

把这三张卡片排序有“中”“国”“梦”,“中”“梦”“国”,“国”“中”“梦”;“国”“梦”“中”“梦”“中”

1 “国”;“梦”“国”“中”;共计 6 种,能组成“中国梦” 的只有 1 种,概率为 6 .

【点睛】本题为古典概型,三个字排列可采用列举法,把所有情况按顺序一、一列举出来,写出基本事

P( A) ? m

件种数,再找出符合要求的基本事件种数,再利用概率公式

n ,求出概率值.

5.下图是一个算法流程图,则输出的 k 的值是 . 【答案】5。 【解析】 根据流程图所示的顺序,程序的运行过程中变量值变化如下表:

是否继续循环

k

循环前

0

k2 ? 5k ? 4
0

第一圈



第二圈



第三圈



第四圈



第五圈



第六圈



1

0

2

-2

3

-2

4

0

5

4

输出 5

∴最终输出结果 k=5 【考点】程序框图。

6.已知一组数据 3 , 6 , 9 , 8 , 4 ,则该组数据的方差是____.

26 【答案】 5

【解析】

x ? 1 (3 ? 6 ? 9 ? 8 ? 4) ? 6, S 2 ? 1 [(3 ? 6)2 ? (6 ? 6)2 ? (9 ? 6)2 ? (8 ? 62 ) ? (4 ? 6)2 ] ? 26

5

5

5

? y ? x ?1

7.已知实数

x,

y

满足

? ? ?? x

x ?

? y

3 ?

2

,则

y x

的取值范围是_________.

[? 1 , 2] ? 1 ? y ? 2 【答案】 3 3 (或 3 x 3 )

【解析】

y 本题为线性规划,画出一元二次不等式组所表示的可行域,目标函数为斜率型目标函数, x 表示可行域内

任一点 (x, y) 与坐标原点 (0,0) 连线的斜率,得出最优解为

(3, 2),

(3,

?1)

,则

y x

[?
的取值范围是

1 3

,

2 ]
3

【点睛】线性规划问题为高考热点问题,线性规划考查方法有两种,一为直接考查,目标函数有截距型、 斜率型、距离型(两点间距离和点到直线距离)等,二为线性规划的逆向思维型,给出最优解或最优解的 个数反求参数的范围或参数的值.

8.若函数

f

(x)

?

2 sin(2 x

? ?)(0

?

?

?

π 2 ) 的图象过点 (0,

3) ,则函数 f (x) 在[0,? ]上的单调减区间是

____.

( π , 7π ) [ π , 7π ] 【答案】 12 12 (或 12 12 )

【解析】

? ? 函数

f

?x? ? 2sin ?2x ? ? ?(0 ? ?

?

π )
2 的图象过点

0,

3 ,则 2sin? ?

3 , sin? ?

3 2



?0 ? ? ? ? ,?? ? ? ? f (x) ? 2sin(2x ? ? )

2

3,

3.

?0 ?

x ? π ,?0 ? 2x

?

2?

? ,3

? 2x ? ? 3

?

7? 3

,有于

y

?

?

sin

x

[


2

, 3? 2

]
为减函数,所以

? ? 2x ? ? ? 3?

? ? x ? 7?

2

3 2 ,解得 12

12 .

【点睛】根据函数图象过已知点,求出 f ?0? ,借助? 的范围求出? 的值.求三角函数在某一区间上的
最值及单调区间时,务必要注意“范围优先原则”,根据 x 的范围研究? x ? ? 的范围,有时还要关注 A 的符号,因此当自变量有范围限制时,解题更要小心失误.

9.在公比为

q

且各项均为正数的等比数列

?an

? 中,

Sn



?an

? 的前

n

项和 .若 a1

?

1 q2

,且 S5

?

S2

? 2 ,则

q 的值为_____.

5 ?1 【答案】 2
【解析】

? S5

?

S2

?

2

,

1 q2

?

1 q

?1? q

? q2

?

1 q2

?

1 q

?2

?q2
,

?

q ?1?

0,? q

?

?1 ? 2

5
,

? q ? 0,?q ? 5 ?1 2.

10.如图,在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,已知 AB ? AA1 ? 3 ,点 P 在棱 CC1 上,则三棱锥 P ? ABA1 的
体积为____.

93 【答案】 4
【解析】

S?ABC ?
由已知

3 ? AB2 ? 4

3 ? 32 ? 9 3

4

4

, AA1 ? 3

由于 CC1 / / 平面 A1ABB1

VP? ABA1
,所以

? VC ? ABA1

? VA1? ABC

?

1 3

S

?ABC

?

AA1

?

1?9 3 34

?3 ?

93 4

【点睛】求三棱锥的体积要注意利用体积转化,以方便计算.体积转化方法有平行转化法、比例转化法、

对称转化法.用上述方法交换顶点的位置,此外还经常利用底面的关系交换底面,利用图形特点灵活转

化,达到看图清楚,计算简单的目的.

11.如图,已知正方形 ABCD 的边长为 6, BC 平行于 x 轴,顶点 A, B 和 C 分别在函数 y1 ? 3loga x , y2 ? 2 loga x 和 y3 ? loga x(a ? 1) 的图像上,则实数 a 的值为__________.

6
【答案】

3

【解析】

由于顶点 A , B 和 C 分别在函数 y1 ? 3loga x , y2 ? 2loga x 和 y3 ? loga x ( a ? 1 )的图象上,设

A(x,3loga x), B(x, 2 loga x),C(x?, loga x?), ,由于 BC 平行于 x 轴,则 2 loga x ? loga x? ,有 x? ? x2

BC ? x? ? x ? x2 ? x ? 2 ,解得 x ? 2 ,又 AB ?

3loga x ? 2 loga x ? loga x ? 2 ,则

a2 ? x ? 2, a ? 2 . 【点睛】由于正方形三个顶点在对数函数图像上,且 BC 平行于 x 轴,则 AB ? x 轴,因此可以巧设 出 A、B、 C 三点的坐标,利用 B、C 两点纵坐标相等,横坐标之差的绝对值为边长 2,以及 A、B 两

点横坐标相等,纵坐标之差的绝对值为边长 2,解答出本题.

12.若对于任意的 x ?(-,?)1 (?,5)?,? 都有 x2 ? 2(a ? 2)x ? a ? 0, 则实数 a 的取值范围是______.

【答案】 (1,5] (或1 ? a ? 5 )

【解析】

利用一元二次方程根的分布去解决,设 f (x) ? x2 ? 2(a ? 2)x ? a ,

当 ? ? 4(a ? 2)2 ? 4a ? 0 时,即1 ? a ? 4 时, f (x) ? 0 对 x ? R 恒成立;

当 a ? 1时, f (?1) ? 0 ,不合题意;

当 a ? 4 时, f (2) ? 0 符合题意;

??0

a 1或a 4

1? a?2?5 {
f (1) ? 0

2?a?7 {
a?5

当 ? ? ? 时, f (5) ? 0 ,即 a ? 5 ,即: 4 ? a ≤ 5

综上所述:实数 a 的取值范围是 (1, 5] .

【点睛】有关一元二次方程的根的分布问题,要结合一元二次方程和二次函数的图象去作,要求函数

值在某区间为正,需要分别对判别式大于零、等于零和小于零进行分类研究,注意控制判别式、对称

轴及特殊点的函数值的大小,列不等式组解题.

13.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C : (x ? 2)2 ? ( y ? m)2 ? 3 .若圆 C 存在以 G 为中点的弦 AB ,且 AB ? 2GO ,则实数 m 的取值范围是____.

【答案】[? 2, 2] (或 ? 2 ? m ? 2 )
【解析】
由于圆 C 存在以 G 为中点的弦 AB ,且 AB ? 2GO ,所以 OA ? OB ,如图,过点 O 作圆 C 的两条切线,切 点分别为 B、D ,圆上要存在满足题意的点 A ,只需 ?BOD ? 900 ,即 ?COB ? 450 ,连接 CB ,

?CB ? OB ,由于 C(?2, m) , CO ? m2 ? 4

CB sin ?COB ? ?

3 ? sin 450 ? 2 ?

CO m2 ? 4

2 ,解得 ? 2 ? m ? 2 .

CB ? 3


【点睛】已知圆的圆心在直线 x ? ?2 上,半径为 3 ,若圆 C 存在以 G 为中点的弦 AB ,且 AB ? 2GO ,说明 OA ? OB ,就是说圆上存在两点 A、B ,使得 OA ? OB .过点 O 作圆 C 的两条切线, 切点分别为 B、D ,圆上要存在满足题意的点 A ,只需 ?BOD ? 900 ,即 ?COB ? 450 ,则只需 sin ?COB ? sin 450 ,列出不等式解出 m 的范围.

14.已知

V

ABC

三个内角

A



B



C

的对应边分别为

a



b



c

,且

C

?

π 3



c

?

2

.当

???? AC

?

???? AB

取得最大

b 值时, a 的值为____.

【答案】 2 ? 3 【解析】



?ABC

的外接圆半径为

R

,则

2R

?

c sinC

?4 3 3

.

???? AC

?

???? AB

?

bccosA

?

2bcosA

?

2

?

4

3 sinBcosA ? 8

3 sinBcosA

? B ? 2? ? A

3

3

,

3,

???? ???? AC ? AB

?

83 3

cosAsin

? ??

2? 3

?

A

? ??

?

8

3 3

? cosA ???

3 2

cosA

?

1 2

sinA

? ???

?

4cos2

A

?

4

3 3

sinAcosA

?

2 ?1 ?

cos2 A??

23 3

sin 2 A

?

23 3

sin 2 A

?

2cos2 A

?

2

?

43 3

? ???

1 2

sin 2 A

?

3 2

cos2

A

? ???

?

43 3

sin

? ??

2A?

? 3

? ??

?

2

.

?0 ? A ? 2? , 0 ? 2A ? 4? ? ? 2A ? ? ? 5?

2A? ? ? ?

A? ?

???? ????

3

3 ,3

3 3 ,则当

3 2 ,即: 12 时, AC ? AB 取

得最大值 为

43 3

?

2 ,此时 ?ABC

中,

B

?

7? 12

,

b a

?

sin 7? 12
sin ?

?

12

2 ? 3 ?1?

? ? 4 ?
2 3 ?1

4

2? 3 .

a ?
sin

?

b sin 7?

,

12

12

【点睛】已知三角形的一边及其所对的角,可以求出三角形外接圆的半径,利于应用正弦定理“边化

角”“角化边”,也利于应用余弦定理. 具备这样的条件时要灵活选择解题路线,本题采用先“边化角”后
减元的策略,化为关于角 A 的三角函数式,根据角 A 的范围研究三角函数的最值,从角的角度去求最值,

由于答案更加准确,所以成为一种通法,被更多的人采用.

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或计算步骤.

15.如图,在

?ABC

中,已知点

D

在边

AB

上,

AD

?

3DB

cos


A

?

4 5

cos ?ACB


?

5 13



BC

? 13 .

(1)求 cos B 的值; (2)求 CD 的长.

【答案】(1)(2) 【解析】
试题分析:根据平方关系由 cos A 求出 sin A ,利用 cos ?ACB 求出 sin ?ACB ,根据三角形内角和关系利 用和角公式求出 cos B ,利用正弦定理求出 AB ,根据 AD ? 3DB ,计算 BD ,最后利用余弦定理求出 CD .

试题解析:(1)在 ?ABC

中,

cosA

?

4 5



A ? ?0,

π? ,

sinA ?
所以

1? cos2 A ?

1

?

? ??

4 5

?2 ??

?

3 5



sin?ACB ? 12

同理可得,

13 .

所以 cosB ? cos ??π ? ?A ? ?ACB??? ? ?cos ?A ? ?ACB?

? sinAsin?ACB ? cosAcos?ACB

? 3 ? 12 ? 4 ? 5 ? 16 5 13 5 13 65 .

AB

?

BC sinA

sin?ACB

?

13 3

?

12 13

?

20

(2)在 ?ABC 中,由正弦定理得,

5



BD ? 1 AB ? 5

又 AD ? 3DB ,所以

4



在 ?BCD 中,由余弦定理得, CD ? BD2 ? BC2 ? 2BD ? BCcosB

? 52 ?132 ? 2? 5?13? 16 ? 9 2

65



【点睛】凑角求值是高考常见题型,凑角求知要“先备料”后代入求值,第二步利用正弦定理和余弦定理

解三角形问题,要灵活使用正、余弦定理,有时还要用到面积公式,注意边角互化.

16.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,点 E 在棱 PC 上(异于点 P , C ),平面 ABE 与棱 PD 交于点 F .

(1)求证: AB∥EF ; (2)若平面 PAD ? 平面 ABCD ,求证: AF ? EF .
【答案】(1)(2) 【解析】
试题分析:利用线面平行的判定定理由 AB / /CD ,说明 AB / / 平面 PDC ,再由线面平行的性质定理,说
明线线平行;由面面垂直的性质定理,平面内一条直线垂直交线,说明线面垂直,利用线面垂直的判定定 理说明线面垂直.
(1)因为 ABCD 是矩形,所以 AB ? CD . 又因为 AB ? 平面 PDC , CD ? 平面 PDC , 所以 AB ? 平面 PDC . 又因为 AB ? 平面 ABEF ,平面 ABEF ? 平面 PDC ? EF , 所以 AB ? EF .
(2)因为 ABCD 是矩形,所以 AB ? AD . 又因为平面 PAD ? 平面 ABCD ,平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD , AB ? 平面 ABCD ,所以 AB ? 平面 PAD . 又 AF ? 平面 PAD ,所以 AB ? AF . 又由(1)知 AB ? EF ,所以 AF ? EF .
【点睛】证明垂直问题时,从线线垂直入手,进而达到线面垂直,最终证明面面垂直,而面面垂直的 性质 定理显得更加重要,使用面面垂直的性质定理时,一定要抓住交线,面面垂直性质定理的使用非常重要, 要引起重视.

17.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C :

x2 4

?

y2 3

?1
的左、右顶点分别为

A , B ,过右焦点

F 的直线 l 与椭圆 C 交于 P , Q 两点(点 P 在 x 轴上方). (1)若 QF ? 2FP ,求直线 l 的方程; (2)设直线 AP , BQ 的斜率分别为 k1 , k2 .是否存在常数 ? ,使得 k1 ? ?k2 ?若存在,求出 ? 的值;若不
存在,请说明理由.

【答案】(1)(2)

【解析】

试题分析:设直线 l 的方程,联立方程组,利用向量关系找出两交点的纵坐标关系,解方程求出直线方程; 利用第一步的根与系数关系,借助已知的斜率关系求出 ? 的值.

试题解析:(1)因为 a2 ? 4 , b2 ? 3 ,所以 c ? a2 ? b2 ? 1,所以 F 的坐标为

?1, 0? ,



P

?x1

,

y1

? ,

Q

?x2

,

y2

? ,直线

l

的方程为

x

? my ?1 ,

? ? 4 ? 3m2 y2 ? 6my ? 9 ? 0

代入椭圆方程,得



y1


?

?3m ? 6 1? m2 4 ? 3m2

y2


?

?3m ? 6 1? m2 4 ? 3m2



若 QF

?3m ? 6 1? m2 ? 2PF ,则 4 ? 3m2

?

2

?

?3m ? 6 1? 4 ? 3m2

m2

?0


m?2 5

解得

5 ,故直线 l 的方程为

5x ? 2y ?

5 ?0.

(2)由(1)知,

y1

?

y2

?

?6m 4 ? 3m2



y1 y2

?

?9 4 ? 3m2



my1 y2
所以

?

?9m 4 ? 3m2

?

3 2

?

y1

?

y2 ?


k1 所以 k2

?

y1 ? x1 ? 2

x2 ? 2 y2

?

y1 ?my2 ?1? y2 ?my1 ? 3?

?

3 2

?y1

?

y2

??

y1

?1

3 2

?

y1

?

y2

??

3

y2

3


故存在常数

?

?

1 3

,使得

k1

?

1 3

k2



【点睛】求直线方程首先要设出方程,根据题目所提供的坐标关系,求出直线方程中的待定系数,得出直

线方程;第二步存在性问题解题思路是首先假设 ? 存在,利用所求的 y1 ? y2 , y1 y2 ,结合已知条件

k1 ? ?k2 ,得出坐标关系,再把 y1 ? y2 , y1 y2 代入求出 ? 符合题意,则 ? 存在,否则不存在.

18.某景区修建一栋复古建筑,其窗户设计如图所示.圆 O 的圆心与矩形 ABCD 对角线的交点重合,且圆 与矩形上下两边相切( E 为上切点),与左右两边相交( F , G 为其中两个交点),图中阴影部分为不透光
AB ? 1 区域,其余部分为透光区域.已知圆的半径为 1m,且 AD 2 .设 ?EOF ? ? ,透光区域的面积为 S .

(1)求 S 关于? 的函数关系式,并求出定义域; (2)根据设计要求,透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好.当该比值最大时,求边 AB 的长度.

【答案】(1)

S

?

sin2?

?

2?



x?

? ??

π 6

,

π 2

? ??

;(2)1

【解析】

试题分析: 根据题意表示出所需的线段长度,再分别求三角形和扇形面积,从而表示出总面积,再根据题

意要求求出函数的定义域;根据题意表示出“透光比”函数 f (? ) ,借助求导,研究函数单调性求出最大值.

试题解析:(1)过点 O 作 OH ? FG 于点 H ,则 ?OFH ? ?EOF ? ? , 所以 OH ? OFsin? ? sin? , FH ? OFcos? ? cos? .

S
所以

?

4S?OFH

? 4S扇形OEF

?

2sin? cos?

?

4

?

? ??

1 2

?

? ??

?

sin2?

? 2?



因为

AB AD

?

1 2

sin?
,所以

?

1 2

,所以定义域为

?π ?? 6

,

π 2

? ??



(2)矩形窗面的面积为 S矩形 ? AD ? AB ? 2 ? 2sin? ? 4sin? .

2sin? cos? ? 2? ? cos? ? ?

则透光区域与矩形窗面的面积比值为 4sin?

2 2sin? .…10 分



f

?? ??

cos? 2

?

? 2sin?



π 6

??

?

π 2.



f

'?? ? ? ? 1 sin?
2

? sin? ?? cos? 2sin 2?

?

sin?

?? cos? ? sin3? 2sin 2?

?

sin? cos2? ?? cos? 2sin 2?

?

cos?

? ??

1 2

sin2?

??

? ??

2sin 2?



因为

π 6

??

?

π 2

,所以

1 2

sin2?

?

1 2

,所以

1 2

sin2?

??

?

0

,故

f

'??

??

0


所以函数

f

??

? 在

?π ?? 6

,

π 2

? ??

上单调减.

?
所以当

?

π 6

时,

f

??

? 有最大值

π 6

?

3 4 ,此时 AB ? 2sin? ? 1(m).

答:(1)

S

关于?

的函数关系式为

S

?

sin2?

?

2?

? ,定义域为 ??

π 6

,

π 2

? ??



(2)透光区域与矩形窗面的面积比值最大时, AB 的长度为 1m.

【点睛】应用问题在高考试题中很常见,也是学生学习的弱点,建立函数模型是关键,本题根据题目所给

的条件列出面积 S 关于自变量? 的函数关系,注意函数的定义域;求函数最值问题方法很多,求导是一种

通法.

19.已知两个无穷数列

?an

? 和

?bn

? 的前

n

项和分别为

Sn

, Tn



a1

?1,

S2

?

4

,对任意的

n?

N*

,都有

3Sn?1 ? 2Sn ? Sn?2 ? an .

(1)求数列

?an

? 的通项公式;

? ? (2)若 bn 为等差数列,对任意的 n ? N * ,都有 Sn ? Tn .证明: an ? bn ;

? ? ? ? (3)若 bn

为等比数列, b1

? a1 , b2

an ? 2Tn ? a2 ,求满足 bn ? 2Sn

? ak

k ?N*

2Tan ? 3an (bn )2 ? Sn ? 22

?

ak



n

值.

【答案】(1)(2)

【解析】

试题分析:利用题目提供的 Sn 方面的关系,借助 an?1 ? Sn?1 ? Sn 转化为 an 的关系,证明出{an}满足等差

数列定义,利用等差数列通项公式求出 an ,进而得出 Sn ,{bn} 成等差数列,写出 Tn ,根据 Sn ? Tn 恒成
? ? 立,得出 b1 和公差 d 的要求,比较 an、bn 的大小可采用比较法; bn 是以1为首项, 3 为公比的等比数列,

求出 bn 和 Tn ,根据题意求出 n 的值.

试题解析:
? ? (1)由 3Sn?1 ? 2Sn ? Sn?2 ? an ,得 2 Sn?1 ? Sn ? Sn?2 ? Sn?1 ? an ,
即 2an?1 ? an?2 ? an ,所以 an?2 ? an?1 ? an?1 ? an .

由 a1 ? 1, S2 ? 4 ,可知 a2 ? 3 .

所以数列?an?是以1为首项, 2 为公差的等差数列.



?an

? 的通项公式为

an

?

2n

?1.

n?n ?1?

(2)证法一:设数列?bn?的公差为 d

Tn
,则

?

nb1

?

2

d


由(1)知, Sn ? n2 .

因为

Sn

?

Tn

,所以

n2

?

nb1

?

n?n ?1?
d 2

?2
,即

?

d

?n

?

d

?

2b1

?

0

恒成立,

2 ? d ? 0,

d ? 2,

{

{

所以 d ? 2b1 ? 0, 即 2b1 ? d.

又由 S1 ? T1 ,得 b1 ? 1 ,
所以 an ? bn ? 2n ?1? b1 ? ?n ?1?d ? ?2 ? d ?n ? d ?1? b1

? ?2 ? d ?? d ?1? b1 ? 1? b1 ? 0 .

所以 an ? bn ,得证.

? ? 证法二:设 bn 的公差为 d ,假设存在自然数 n0 ? 2 ,使得 an0 ? bn0 ,



a1

?

?n0

?1??

2

?

b1

?

?n0

?1?d

,即

a1

?

b1

?

?n0

?1??d

?

2? ,

因为 a1 ? b1 ,所以 d ? 2 .

Tn
所以

?

Sn

?

nb1

?

n?n ?1?
d 2

?

n2

?

? ??

d 2

?1??? n2

?

? ??

b1

?

d 2

? ??

n



因为

d 2

?1 ?

0
,所以存在

N0

?

N * ,当 n

?

N0

时, Tn

?

Sn

?

0

恒成立.

这与“对任意的 n ? N * ,都有 Sn ? Tn ”矛盾!

所以 an ? bn ,得证.

(3)由(1)知,

Sn

?

n2 .因为?bn?

?b

n

? 为等比数列,且

b1

? 1, b2

?

3,

所以

?bn

? 是以

1为首项,

3

为公比的等比数列.

所以 bn

?

3n?1 , Tn

?

3n ?1 2.

an ? 2Tn 则 bn ? 2Sn

?

2n ?1? 3n?1 ?

3n ? 2n2

1

?

3n ? 2n ? 2 3n?1 ? 2n2

?

3

?

6n2 ? 2n ? 3n?1 ? 2n2

2



an ? 2Tn ? 3 因为 n ? N * ,所以 6n2 ? 2n ? 2 ? 0 ,所以 bn ? 2Sn .

an ? 2Tn ? 1 而 ak ? 2k ?1 ,所以 bn ? 2Sn ,即 3n?1 ? n2 ? n ?1 ? 0 (*).

当 n ? 1 , 2 时,(*)式成立;



n

?

2

时,设

f

?n ? ?

3n?1

?

n2

?

n

?1


? ? ? ? f ?n ?1?? f ?n? ? 3n ? ?n ?1?2 ? n ? 3n?1 ? n2 ? n ?1 ? 2 3n?1 ? n ? 0





0 ? f ?2?? f ?3?? ? ? f ?n?? ?

所以



故满足条件的 n 的值为1和 2 . 【点睛】等差数列和等比数列是高考的重点,要掌握等差数列和等比数列的通项公式与前 n 项和公式,另 外注意利用 an?1 ? Sn?1 ? Sn 这个公式,从 an 到 Sn ,从 Sn 到 an 转化.

20.已知函数

f

(x)

?

m x

?

x

ln

x(m

?

0)



g(x)

?

ln

x

?

2



(1)当 m ? 1时,求函数 f (x) 的单调增区间;

32 (2)设函数 h(x) ? f (x) ? xg(x) ? 2 , x ? 0 .若函数 y ? h(h(x)) 的最小值是 2 ,求 m 的值;
(3)若函数 f (x) , g(x) 的定义域都是[1, e] ,对于函数 f (x) 的图象上的任意一点 A ,在函数 g(x) 的图象上 都存在一点 B ,使得 OA ? OB ,其中 e 是自然对数的底数, O 为坐标原点.求 m 的取值范围.
【答案】(1)(2) 【解析】 试题分析:求函数的单调区间可利用求导完成,求函数的最值可通过求导研究函数的单调性求出极值,并 与区间端点函数值比较得出最值;解决 OA ? OB 问题,先求出 OB 斜率的取值范围,根据垂直关系得出

OA 斜率的取值范围,转化为恒成立问题,借助恒成立思想解题.
试题解析:

(1)当 m

? 1时,

f

?x ? ?

1 x

?

xlnx


f

' ?x ? ?

?

1 x2

? lnx

?1


f '?x? ?0, ???

f '?1?? 0

因为



上单调增,且



所以当 x ? 1 时, f '?x? ? 0 ;当 0 ? x ? 1时, f '?x?? 0 .

f ?x?

?1, ???

所以函数

的单调增区间是



h?x?? m ? 2x ?

(2)

x

2 h'?x??
,则

2?

m x2

?

2x2 ? m x2

h '?x ? ?
,令

0x


?

m 2,

0? x?


m 2

h '?x ? ?
时,

0

,函数 h ?x? 在

? ??? 0,

m? 2 ??? 上单调减;

x?


m 2

时,

h '?x ? ?

0

,函数

?
h ?x?在 ???

m 2

,

??

? ???

上单调增.

所以

??h ?x???min

?

? h ???

m 2

? ???

?

2

2m ?

2


? ? 2 2 m ?1 ? m

m? 4

①当

2 ,即 9 时,

?
? ? ? ? h 2 2m ? 2 ? 2 ?

m

?2 2

m ?1

? ?1? ?

3

2

? ? y ? h?h?x??

函数

的最小值

? ?

2

2

m ?1

?2

?



即17m ? 26

m ? 9 ? 0 ,解得

m ?1或

m? 9 17 (舍),所以 m ? 1;

? ? 0 ? 2 2 m ?1 ? m

1?m? 4

②当

2 ,即 4

9 时,

? ? ? ? ?

y?h
函数

h ?x ?

的最小值 h ???

m 2

? ???

?

2 2 m ?1 ? 3 2

2
,解得

m?5 4 (舍).

综上所述, m 的值为1.

kOA
(3)由题意知,

?

m x2

? lnx kOB


?

lnx ? 2 x



考虑函数

y

?

lnx ? x

2

,因为

y

'

?

3

? lnx x2

?

0

?1, e?
在 上恒成立,

所以函数

y

?

lnx ? x

2

?1, e?
在 上单调增,故

kOB

?

????2,

?

1? e ??



kOA
所以

?

? ??

1 2

, e???

,即

1 2

?

m x2

? lnx

?

e ?1,e? 在 上恒成立,



x2 2

?

x2lnx

?

m

?

x2

?e

? lnx? ?1,e? 在 上恒成立.



p ?x ? ?

x2 2

?

x2lnx
,则

p '?x??

?2xlnx

?

0

?1, e?
在 上恒成立,

所以

p ?x?在?1, e?上单调减,所以 m

?

p ?1??

1 2



q ?x?? x2 ?e ? lnx?





q '?x?? x ?2e ?1? 2lnx?? x ?2e ?1? 2lne?? 0 ?1,e?



在 上恒成立,

所以 q ?x?在?1, e?上单调增,所以 m ? q ?1? ? e .

1 [ , e] 综上所述, m 的取值范围为 2 .

【点睛】求函数的单调区间、极值和最值是高考常见基础题,求函数的单调区间可利用求导完成,求函数

的最值可通过求导研究函数的单调性求出极值,并与区间端点函数值比较得出最值;恒成立为题为高考热

点,已经连续命题许多年,必须重视.

[选做题]本题包括 21、22、23、24 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答.若多 做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
21.[选修 4?1:几何证明选讲]
如图,圆 O 的弦 AB , MN 交于点 C ,且 A 为弧 MN 的中点,点 D 在弧 BM 上.若 ?ACN ? 3?ADB , 求 ?ADB 的度数.

【答案】45°
【解析】
试题分析:同弧或等弧所对的圆周角相等,利用等量代换,借助角与角的关系求出所求的角 .
试题解析:连结 AN , DN . 因为 A 为弧 MN 的中点,所以 ?ANM ? ?ADN . 而 ?NAB ? ?NDB , 所以 ?ANM ? ?NAB ? ?ADN ? ?NDB , 即 ?BCN ? ?ADB . 又因为 ?ACN ? 3?ADB , 所以 ?ACN ? ?BCN ? 3?ADB ? ?ADB ? 180? , 故 ?ADB ? 45? .

【点睛】平面几何选讲部分要注意与圆有关的定理,特别是涉及到角的关系的定理,寻求角的相等,边与 边的关系,大多利用全等三角形或相似三角形解题.

22.[选修 4?2:矩阵与变换]

已知矩阵

A

?

?a ??2

3 d

? ??

,若

A

?1? ??2??

?

?8? ??4??

,求矩阵

A

的特征值.

【答案】矩阵 A 的特征值为 ?1 ? ?1, ?2 ? 4 .

【解析】

试题分析: 根据矩阵运算解出 a, d ,写出矩阵 A 的特征多项式 f (?) ,计算后令 f (?) ? 0 ,求出特征值 ? .

试题解析:因为

A

?1 ??2

???a
2

3 d

? ? ?

?1 ??2

??? a ? 6
2 ? 2d

???84???



a ? 6 ? 8, { 所以 2 ? 2d ? 4,

a ? 2, { 解得 d ? 1.

所以

A

?

?2 ??2

3? 1?? .

f ?? ? ? ? ? 2 ?3 ? ?? ? 2??? ?1?? 6 ? ?2 ? 3? ? 4

所以矩阵 A 的特征多项式为

?2 ? ?1



令 f ?? ? ? 0 ,解得矩阵 A 的特征值为 ?1 ? ?1, ?2 ? 4 .

【点睛】矩阵为选修内容,根据矩阵运算解出 a, d ,写出矩阵 A 的特征多项式 f ?? ? ,计算后令

f

?? ??

0
,求出特征值

?

.

23.[选修 4?4:坐标系与参数方程]

在极坐标系中,已知点

A(2,

π) 2

,点

B

在直线 l

:

?

cos?

?

?

sin ?

?

0(0

??

?

2π)

上.当线段

AB

最短时,

求点 B 的极坐标.

? 【答案】点 B 的极坐标为 ??

2

,

3 4

π

? ??



【解析】

试题分析:利用极坐标与直角坐标互化公式

x

?

?

cos?

,

y

?

?

sin

?

,把

A

? ??

2,

π 2

? ??

化为直角坐标,再把

l

的方程化为直角坐标方程,要使 AB 最短,过点 A 作直线 l 的垂线,垂足为 B ,写出垂线方程,解方程

组求出交点坐标,再化为极坐标.

试题解析:以极点为原点,极轴为

x

轴正半轴,建立平面直角坐标系,则点

A

? ??

2,

π 2

? ??

的直角坐标为

?0,

2? ,

直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 0 . AB 最短时,点 B 为直线 x ? y ? 2 ? 0 与直线 l 的交点,

x ? y ? 2 ? 0, x ? ?1,

{


x? y ?0

{ 得 y ? 1.

所以点 B 的直角坐标为 ??1,1?.

? 所以点 B 的极坐标为 ??

2

,

3 4

π

? ??



【点睛】极坐标为选修内容,掌握极坐标与直角坐标互化公式,掌握点和方程的互化,结合解析几何知识

解题.

24.[选修 4?5:不等式选讲] 已知 a , b , c 为正实数,且 a3 ? b3 ? c3 ? a2b2c2 .求证: a ?b ? c ? 33 3 .
【答案】详见解析 【解析】
试题分析:根据 a3 ? b3 ? c3 ? 3abc 实施等转不等,得出 abc ? 3 ,再根据三个正数的算术平均数不小于几
何平均数,证明出结论.
试题解析:因为 a3 ? b3 ? c3 ? a2b2c2 ? 33 a3b3c3 ,所以 abc ? 3 , 所以 a ? b ? c ? 33 abc ? 33 3 , 当且仅当 a ? b ? c ? 3 3 时,取“ ? ”.
【点睛】不等式选讲为选修内容,注意利用均值不等式、柯西不等式、排序不等式进行证明,另外注意选 用证明方法,如综合法、分析法、反证法,与正整数有关的命题有时还采用数学归纳法.

【必做题】第 25 题、第 26 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答,解答

时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
25.在平面直角坐标系 xOy 中,点 F (1, 0) ,直线 x ? ?1 与动直线 y ? n 的交点为 M ,线段 MF 的中垂线与
动直线 y ? n 的交点为 P .
(1)求动点 P 的轨迹 E 的方程; (2)过动点 M 作曲线 E 的两条切线,切点分别为 A , B ,求证: ?AMB 的大小为定值.

【答案】(1)曲线 E 的方程为 y2 ? 4x .(2)详见解析

【解析】

试题分析:根据题意动点到定点距离等于到定直线距离,符合抛物线定义,写出抛物线方程,第二步设出

直线方程,联立方程组,根据根与系数关系可得 k1k2 ? ?1 ,可知 ?AMB ? 90? 为定值.
试题解析:(1)因为直线 y ? n 与 x ? ?1 垂直,所以 MP 为点 P 到直线 x ? ?1 的距离. 连结 PF ,因为 P 为线段 MF 的中垂线与直线 y ? n 的交点,所以 MP ? PF .

所以点 P 的轨迹是抛物线.

焦点为

F

?1,

0? ,准线为

x

?

?1



所以曲线 E 的 方程为 y2 ? 4x .

M ??1, n?

y ? n ? k ?x ?1?

(2)由题意,过点

的切线斜率存在,设切线方程为



y ? kx ? k ? n,

{
联立

y2 ? 4x,

得 ky2 ? 4 y ? 4k ? 4n ? 0 ,

所以 ?1 ? 16 ? 4k ?4k ? 4n? ? 0 ,即 k 2 ? kn ?1 ? 0 (*),

因为 ?2 ? n2 ? 4 ? 0 ,所以方程(*)存在两个不等实根,设为 k1, k2 ,

因为 k1 ? k2 ? ?1 ,所以 ?AMB ? 90? ,为定值.

【点睛】求动点轨迹方程是常见考题,常用方法有直接法、坐标相关法,定义法、交轨法、参数法等,定

点、定值问题常出现在考题的第二步,一般采用设而不求的解题思想.

U
26.已知集合

?

?1,2,?,n?(n ?

N?,n

?

2) ,对于集合U

的两个非空子集

A



B

,若

A?

B

?

?

,则称

( A, B) 为集合U 的一组“互斥子集”.记集合U 的所有“互斥子集”的组数为 f (n) (视 ( A, B) 与 (B, A) 为同一

组“互斥子集”).

(1)写出 f (2) , f (3) , f (4) 的值;

(2)求 f (n) .

? ? f ?2?? 1 f ?3?? 6

【答案】(1)





f

?4? ?

25

.(2)

f

?n ? ?

1 2

3n ? 2n?1 ?1



【解析】

试题分析:分别对 n ? 2, 3, 4 三种情况研究集合U 的非空子集,并找出交集为空集的子集对数,得出

f

(2),

f

(3),

f

(4)

,任意一个元素只能在集合

A



B

C


?

?U

?A

?

B? 之一中,则这

n

个元素在集合

A



B



C 中,共有 3n 种;

减去 A 为空集的种数和 B

?A, B? ?B, A?

为空集的种数加 1,又



为同一组“互斥子集”,

得出 f (n) .

试题解析:(1)

f

?2?? 1 ,

f

?3? ?

6



f ?4?? 25 .

(2)解法一:设集合 A 中有 k 个元素, k ? 1,2,3,?,n ?1.

则与集合 A 互斥的非空子集有 2n?k ?1 个.

? ? ? ? ? ? ? f
于是

n

?

1 2

n?1
Ckn
k ?1

2n?k ?1 ?

1 2

? ?

n?1
Ckn

2n?

k

? k ?1

?

n?1
Ckn
k ?1

? ??



n?1

n

? ? ? ? Ckn 2n?k ? Ckn 2n?k ? C0n 2n ? Cnn 20 ? 2 ?1 n ? 2n ?1 ? 3n ? 2n ?1

因为 k ?1

k ?0



n?1

n

? ? Ckn ? Ckn ? C0n ? Cnn ? 2n ? 2

k ?1

k ?0



? ? ? ? ? ? 所以

f

?n ? ?

1 2

??

3n ? 2n ?1

?

2n ? 2

??

?

1 2

3n ? 2n?1 ?1



解法二:任意一个元素只能 在

集合

A



B



C

?

?U

?A

?

B? 之一中,

则这 n 个元素在集合 A , B , C 中,共有 3n 种;

其中 A 为空集的种数为 2n , B 为空集的种数为 2n ,

所以 A , B 均为非空子集的种数为 3n ? 2 ? 2n ?1 ,

?A, B? ?B, A?





为同一组“互斥子集”,

? ? f ?n? ? 1 3n ? 2n?1 ?1

所以

2



【点睛】本题为自定义信息题,这是近几年一些省市高考压轴题,首先要读懂新定义的概念的含义,从简

f ?2? U ? ?1, 2?

?1?,?2?,?1, 2?

单的情况入手去研究,如本题先从

入手,

,其非空子集有

三个,满足

A?

B

?

?

?1?,?2?

的有一对

,则

f

?2?? 1 ,继续探讨

f

?3?,

f

?4? ,推广到

f

?n? .


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