江苏省泰州市姜堰区2015届高三下学期期初联考数学试题


2014-2015 学年下学期高三期初调研测试 数学试题(数学Ⅰ) (考试时间:120 分钟 总分 160 分)

注意事项:所有试题的答案均填写在答题纸上,答案写在试卷上的无效. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答题卡相应 位置上. 1.设集合

A ? ?2,3? , B ? ?1, 2?,

则A

B ? __________.

2.某学校共有师生 2 400 人,现用分层抽样的方法,从所有师生中抽取一个容量为 160 的样本,已 知从学生中抽取的人数为 150,那么该学校的教师人数是______________ 4 ? 2i 1 3.计算复数 ? 2i =___________( i 为虚数单位) . 4. 连续抛掷一个骰子(一种各面上分别标有 1,2,3,4,5,6 个点的正方体玩具)两次,则出现向上点数 之和大于 9 的概率是_____________. 5.若 a ? 3 ,则

a?

4 a ? 3 的最小值____________

开始

6.已知直线 l ? 平面 ? ,直线 m ? 平面 ? ,给出下列命题: ① 若 ? / / ? ,则 l ? m ; ③ 若 l / / m ,则 ? ? ? ; ② 若 ? ? ? ,则 l / / m ; ④ 若 l ? m ,则 ? / / ? .


a?3 a ? 3a ? 1
a ? 100 ?
是 输出 a

其中正确命题的序号是___________

x, y 满 足 约 束 条 件 7.已知

?x ? y ?1 ? 0 ? ? x ? y ?1 ? 0 ? x?0 ?

,则 z ? x ? 2y 的最大值为

结束

___________ 8.程序框图如图(右)所示,其输出结果是___________
2 9.已知条件 p: x ? a ,条件 q: x ? x ? 2 ? 0 ,若 p 是 q 的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围是

___________ 10.若正四棱锥的底面边长为 2 3cm ,体积为 4cm ,则它的侧面积为___________ cm .
3
2

x2 y2 ? ?1 2 3 11 .已知抛物线 y ? 8x 的焦点恰好是双曲线 a 的右焦点,则双曲线的渐近线方程为
2

________________
·1 ·

12.已知函数
y?

y?

? 1 ? 1 1 1 y? ? ? ? ,0? 0, 0 ? ? x 的图像的对称中心为 x x ? 1 的图像的对称中心为 ? 2 ? ,函数 ,函数

1 1 1 1 1 1 ? ? y? ? ? ? x x ? 1 x ? 2 的图像的对称中心为 ? ?1, 0 ? ,……,由此推测函数 x x ?1 x ? 2

?

1 x?n 的

图像的对称中心为________________ 13.在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c.已知 a=2,3bsinC-5csinBcosA=0,则△ ABC 面积的最大值是_______________ 14 . 已 知 O 是 锐 角 ?ABC 的 外 接 圆 圆 心 ,

?A ?

?

cos B cos C ? AB ? ? AC ? 2m ? AO 4 , sin C sin B ,则

m ? __________________
二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 15.(本题满分 14 分) 如图,斜三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧面 AA1C1C 是菱形, AC1 与 A1C 交于点 O ,E 是 AB 的中点.

A1

(I)求证: OE // 平面 BCC1 B1 ; (II)若 AC1 ? A1 B ,求证: AC1 ? BC .

B1 O

C1

A E B

C

·2 ·

16.(本小题满分 14 分)

?? ? f ? x ? ? sin ? ? x ? ? ?? ? 0, x ? R ? 4? ? 已知函数 的最小正周期为 ? .
?? ? f? ? (I)求 ? 6 ? .
(II) 在图中给定的平面直角坐标系中,画出函数

? ? ?? ? , ? ? y ? f ? x? 2 2 ? 上的图象,并根据图 ? 在区间 ? ? ?? ? , ? ? 2 2 ? 上的单调递减区间. ? 象写出其在

17. (本小题满分 14 分) 光在某处的照度与光的强度成正比, 与光源距离的平方成反比, 假设比例系数都为 1。 强度分别为 a,b 的两个光源 A,B 间的距离为 d,在连结两光源的线段 AB(不含端点)上有一点 P,设 PA= x ,P 点 处的“总照度”等于各照度之和。 (I)若 a=8,b=1,d=3,求点 P 的“总照度” I ( x) 的函数表达式; (II)在 (1)问中,点 P 在何处总照度最小?

·3 ·

18.(本小题满分 16 分)

?:
已知椭圆

x2 ? y2 ? 1 4 的左顶点为 R ,点 A(2,1), B(?2,1) , O 为坐标原点.
2 2

(I)若 P 是椭圆 ? 上任意一点, OP ? mOA ? nOB ,求 m ? n 的值; (II)设 Q 是椭圆 ? 上任意一点, (Ⅲ)设

S ? 6,0 ?

,求 QS ? QR 的取值范围;

M (x1, y 1), N( x 2 ,y2 ) 是椭圆 ? 上的两个动点,满足 kOM ? kON ? kOA ? kOB ,试探究 ?OMN 的

面积是否为定值,说明理由.

19.(本小题满分 16 分) 设数列

?an? 的首项 a1 为常数,且 an?1 ? 3n ? 2an (n ?N*) .

? 3n ? 3 a ? ? n ? a1 ? 5? 5 ,证明: ? (I)若 是等比数列;
(II)若
a1 ? 3 2 , ?an ? 中是否存在连续三项成等差数列?若存在,写出这三项,若不存在说明理由.

(Ⅲ)若

?an? 是递增数列,求 a1 的取值范围.

·4 ·

20.(本小题满分 16 分)

f ( x) ?
已知函数

x2 ln x .
1

4 (I)求函数 f ( x) 在区间 [e , e] 上的最值;

g ( x) ? f ( x) ?
(II)若

1 4m 2 ? 4 m x 0?m? 2 时,设函数 g ( x) 的 3 个极值点 ln x (其中 m 为常数),且当

为 a,b,c,且 a<b<c,证明:0<2a<b<1<c,并讨论函数 g ( x) 的单调区间(用 a,b,c 表示单调区间)

·5 ·

高三数学试题(数学Ⅱ理科附加) (考试时间:30 分钟 总分 40 分)

注意事项:所有试题的答案均填写在答题纸上,答案写在试卷上的无效. 21. 【选做题】请考生在 A,B,C,D 四小题中任选两题作答,如果多做,则按所做的前两题记分。 ) A.(本小题 10 分,几何证明选讲) 如图,直线 AB 经过⊙ O 上的点 C ,并且 OA ? OB, CA ? CB, ⊙ O 交直线 OB 于 E , D ,连接

EC , CD .
(Ⅰ)求证:直线 AB 是⊙ O 的切线;

tan ?CED ?
(Ⅱ)若

1 , 2 ⊙ O 的半径为 3 ,求 OA 的长.

B.(本小题 10 分,矩阵与变换)

?1 M ?? ?c 已知矩阵
(Ⅰ)求矩阵 M ;

b? ?2? e1 ? ? ? ? 2? 有特征值 ?1 ? 4 及对应的一个特征向量 ?3 ? .

(Ⅱ)写出矩阵 M 的逆矩阵.

·6 ·

C.(本小题 10 分,坐标系与参数方程选讲) 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与 x 轴的正半轴重合.若直线 l 的极坐标方程为

? ? sin(? ? ) ? 3 2
4

x2 y 2 ? ?1 .已知点 P 在椭圆 C : 16 9 上,求点 P 到直线 l 的距离的最大值.

D.(本小题 10 分,不等式选讲) 1 1 1 1 1 1 设 a、b、c 均为正实数,求证: 2a + 2b + 2c ≥ b ? c + c ? a + a ? b .

22.(本小题 10 分)

A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 两点, 如图,已知直线 l 与抛物线 y ? x 相交于
2

与 x 轴相交于点 M ,若

y1 y2 ? ?1 .

y A

(Ⅰ)求证: M 点的坐标为(1,0) ; (Ⅱ)求△ AOB 的面积的最小值.
O B M

x

·7 ·

23. (本小题 10 分) 已知

?an ?为等差数列,且 an ? 0 ,公 差 d ? 0 .

0 C2 C1 C 2 2d 2 ? 2? 2 ? a a2 a3 a1a2 a3 (Ⅰ)证明: 1 0 1 2 1 1 d C2 C2 C2 2d 2 ? ? ? ? ? a a 2 a1 a 2 ; a1 a2 a3 a1a2 a3 ; (Ⅱ)根据下面几个等式: 1 0 0 C3 C1 C 2 C 3 C4 C1 C 2 C 3 C 4 6d 3 24d 4 ? 3? 3 ? 3 ? ? 4? 4 ? 4? 4 ? ; a1 a2 a3 a4 a1a2 a3a4 ; a1 a2 a3 a4 a5 a1a2 a3a4 a5 ……

试归纳出更一般的结论,并用数学归纳法证明.

·8 ·

2014~2015 学年度第二学期期初调研测试 高三数学试题参考答案及评分细则:

1、

?1, 2,3?

2、150 人

3、2i

1 4、 6

5、7

6、①③

7、2

8、283 9、a ? 1

10、 8 3

11、 y ? ? 3x

n (? , 0) 12、 2

13、2

2 14、 2

15.证明: (Ⅰ) 连结 BC1 . ∵侧面 AA1C1C 是菱形, AC1 与 A1C 交于点 O ∵E 是 AB 的中点 ∴ OE // BC1 ; ∴ O 为 AC1 的中点

A1 B1 O

C1

??????3 分 ∴ OE // 平面 BCC1 B1

∵ OE ? 平面 BCC1 B1 , BC1 ? 平面 BCC1 B1 ??????7 分 (Ⅱ)∵侧面 AA1C1C 是菱形 ∵ AC1 ? A1 B , ∴ AC1 ? 平面 A1 BC ∵ BC ? 平面 A1 BC ∴ AC1 ? BC . ∴ AC1 ? A1C

A E B

C

A1 C

A ? 1 B

A 1C ? 平面 A 1 BC , A 1 B ? 平面 A 1 BC 1 A ,
??????12 分 ??????14 分

? ? ,?? ? 2,? f ( x) ? sin(2 x ? ) 4 …………2 分 16.(Ⅰ)由题意: ?

2?

?

? f ( ) ? sin( ? ) ? 6 3 4
?
(Ⅱ)因为

?

?

?
?

6? 2 4 …………4 分
?

?
2

?x?
?

5? ? 3? ? 2x ? ? , 2 所以 4 4 4 …………6 分 ,
? 3? 8 ? ?

x
2x ?

?

? ?
8 2

?
4

2 5? ? 4

? 8
0

??

? 2

3? 8

? 2 3? 4

·9 ·

y

2 2

0

?1

0

1

2 2

…………8 分 图像如图所示:

…………12 分

? ? ?? ? ? 3? ? ? , ? [ ? , ? ],[ , ] ? y ? f ? x? 8 8 2 。 由图像可知 在区间 ? 2 2 ? 上的单调递减区间为 2
…………14 分

I ( x) ?
17、 (Ⅰ)

8 1 ? 2 x (3 ? x) 2 …………4 分

0 ? x ? 3 ……………………6 分

I '( x) ? ?
(Ⅱ)

16 2 18( x ? 2)( x 2 ? 6 x ? 12) ? ? x3 (3 ? x)3 x3 (3 ? x)3 ……………………8 分

令 I’(x)=0,解得:x=2……………………10 分 列表: x I’(x) I(x)

(0, 2)


2 0 极小值

(2,3)
+ 增

……………………12 分 因此,当 x=2 时,总照度最小。……………………14 分 18、解: (Ⅰ)

OP ? mOA ? nOB ? ? 2m ? 2n, m ? n ?

,得

P ? 2m ? 2n, m ? n?

…………2 分

·10·

?m ? n?

2

? ?m ? n? ? 1
2

m2 ? n2 ?
,即

1 2 ………………4 分

(Ⅱ)设

Q ? x, y ?

,则
2

QS ? QR ? ? 6 ? x, ? y ?? ?2 ? x, ? y ?

x2 ? ? x ? 6 ?? x ? 2 ? ? y ? ? x ? 6 ?? x ? 2 ? ? 1 ? 4
? 3 2 x ? 4 x ? 11 4 ………………6 分
当 x ? ?2 时, QS ? QR 最大值为 0 ;



当 x ? 2 时, QS ? QR 最小值为 ?16 ; 即 QS ? QR 的取值范围为

??16,0? ………………10 分

y1 y2 1 ?? xx 4, (Ⅲ) (解法一)由条件得, 1 2
平方得 即

x12 x22 ? 16 y12 y22 ? (4 ? x12 )(4 ? x22 ) ,

x12 ? x22 ? 4 ………………12 分
1 x1 y2 ? x2 y1 2

S?OMN ?

x22 x12 2 x12 x22 1 1 2 2 2 2 2 2 x (1 ? ) ? x (1 ? )? ? x1 y2 ? x2 y1 ? 2 x1 x2 y1 y2 1 2 2 4 4 4 2 =
? 1 x12 ? x2 2 ? 1 2

故 ?OMN 的面积为定值 1 ………………16 分 (解法二)①当直线 MN 的斜率不存在时,易得 ?OMN 的面积为 1 ………………12 分 ②当直线 MN 的斜率存在时,设直线 MN 的方程为 y ? kx ? t

? x2 ? ? y2 ? 1 ? ?1 ? 4k 2 ? x 2 ? 8ktx ? 4 ? t 2 ? 1? ? 0 ?4 ? y ? kx ? t ?
·11·

4 ? t 2 ? 1? ?8kt M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,可得 x1 ? x2 ? 1 ? 4k 2 , x1 x2 ? 1 ? 4k 2 , 由
y1 y2 ? ? kx1 ? t ?? kx2 ? t ? ? k 2 x1 x2 ? kt ? x1 ? x2 ? x ? t 2 ? t 2 ? 4k 2 1 ? 4k 2 ………………14 分

kOM ? kON ?
又 因为

y1 y2 1 ?? x1 x2 4 ,可得 2t 2 ? 4k 2 ? 1


MN ? 1 ? k 2 ? x1 ? x2

点 O 到直线 MN 的距离

d?

t 1? k 2
? t 2 ? 16 ?1 ? 4k 2 ? t 2 ? ?1

t t 1 S?OMN ? ? MN ? d ? ? x1 ? x2 ? ? 2 2 2

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2

?1 ? 4k 2 ?

2

综上: ?OMN 的面积为定值 1………………16 分

1 n ?1 ? 3? 5 ? ?2 ? 3n ? 1 n a ? ? n ? an ? ? 3? 5? 5 19、证明: (Ⅰ)因为 ,所以数列 ? 是等比数列;??4 分 an ?1 ?
? 3n ? 3 9 ?an ? ? a1 ? ? 5? ? 5 10 (Ⅱ) 是公比为-2,首项为 的等比数列.

an ?
通项公式为 若

3n ? 3? 3n 9 ? ? a1 ? ? (?2)n?1 ? ? (?2)n?1 5 ? 5? 5 10 , ???????6 分

?an? 中存在连续三项成等差数列,则必有 2an?1 ? an ? an? 2 ,

3 n ?1 9 3n 9 3n?2 9 n n ?1 2[ ? (?2) ] ? ? (?2) ? ? (?2) n ?1 5 10 5 10 5 10 即
解得 n ? 4 ,即

a4 , a5 , a6 成等差数列. ???????????????8 分

3n?1 ? 3? 3n ? 3? ? ? a1 ? ? (?2)n ? ? ? a1 ? ? (?2)n?1 a ? an 5? 5 ? 5? ? (Ⅲ)如果 n?1 成立,即 5 对任意自然数均成立.

·12·

4 n 3 ? 3 ? ?(a1 ? )( ?2) n 5 化简得 15 a1 ? 3 4 3 n ? ( ) 5 15 2 ,

………………10 分

当 n 为偶数时

p ( n) ?
因为

3 4 3 n ? ( ) 5 15 2 是递减数列,所以 p(n) max ? p(2) ? 0 ,即 a1 ? 0 ;?12 分 a1 ? 3 4 3 n 3 4 3 ? ( ) q ( n) ? ? ( ) n 5 15 2 ,因为 5 15 2 是递增数列,

当 n 为奇数时,

所以 q(n) min ? q(1) ? 1 ,即 a1 ? 1;???????????????14 分 故 a 1 的取值范围为 (0,1) . ???????????????????16 分

f '( x) ?
20、 (Ⅰ)

x(2 ln x ? 1) . ln 2 x ?????????????????2 分

令 f '( x) ? 0, 解得 x ?

e ,列表:
1

x
f '( x)

[e 4 , e )
?


e
0
极小值

( e , e]

?


f ( x)
1

??????……………………………………?????4 分
4 所以函数 f ( x) 在 [e , e ] 上单调递减,在 [ e , e] 上单调递增。

f ( e ) ? 2e, f (e 4 ) ? 4 e , f (e) ? e2 ? 4 e , 所 以 函 数 f ( x) 的 最 大 值 为 e 2 , 最 小 值 为
2e 。???…………………………??????8 分

1

x 2 ? 4mx ? 4m2 g ( x) , g '( x) ? ln x (Ⅱ)由题意:
h( x) ? 2 ln x ?


( x ? 2m)(2ln x ? ln 2 x

2m ? 1) x

2m ?1 x
·13·

h '( x ) ?

2 x ? 2m x 2 ,可以得到函数 h( x) 在 (0, m) 上单调递减,在 (m, ??) 上单调递增。

????………………………………………???10 分 因为函数 g ( x) 的 3 个极值点, 又

h( x)min ? h(m) ? 2ln m ?1 ? 0, h(2m) ? 2ln 2m ? 0, h(1) ? 2m ?1 ? 0.

从而函数 g ( x) 的三个极值点中,有一个为 2 m ,有一个小于 m ,有一个大于 1, 因为 3 个极值点为 a,b,c,且 a<b<c,所以 a ? m ? 2m ? b ? 1 ? c ,所以 2a ? 2m ? b, 故 0<2a<b<1<c。???………………………………????14 分 函数 g ( x) 在 (0, a ) 上单调递减,在 ( a, b) 上单调递增,在 (b,1) 上单调递减,在 (1, c) 上单调递减,在

(c, ??) 上单调递增。???…………………????16 分

附加题:
21.A. (Ⅰ)证明:如图,连接 OC ,因为OA ? OB, CA ? CB,? OC ? AB

因为OC 是圆的半径, ? AB 是圆的切线.
?

………………???3 分
?

(Ⅱ) ED 是直径,? ?ECD ? 90 ,? ?E ? ?EDC ? 90
?

又 ?BCD ? ?OCD ? 90 , ?OCD ? ?ODC ,? ?BCD ? ?E , 又?CBD ? ?EBC ,

? ?BCD ∽ ?BEC ,
tan ?CED ?

?

BC BD ? ? BC 2 ? BD ? BE BE BC ,

………………?5 分

CD 1 ? EC 2 ,

BD CD 1 ? ? ?BCD ∽ ?BEC , BC EC 2
2

………………???7 分
2

设 BD ? x, 则BC ? 2 x, 因为 BC ? BD ? BE ? (2 x) ? x( x ? 6) ? BD ? 2

……… 9 分

? OA ? OB ? BD ? OD ? 2 ? 3 ? 5 .

10 分
·14·

?1 ?c (B) 解: (Ⅰ)由题知, ? ?b ? 2 ?1 ?? M ?? ?c ? 3 ? ?3
? 1 ?? 2 ?1 M ?? ?3 ?4 ? (Ⅱ)

b ? ? 2 ? ? 2 ? ?2 ? 3b ? 8 ? ? 4 ? ? ?? 2? ? ? 3 ? = ?3 ? ?2c ? 6 ? 12 ……………………………4 分

2? 2? ? …………………………………………………………………6 分
1? 2? ? 1? ? ? 4?

……………………………………………………………10 分

21(C).解:直线 l 的极坐标方程为

? ? sin(? ? ) ? 3 2
4

2 2 ? sin ? ? ? cos ? ? 3 2 2 ,则 2

? ? sin ? ? ? cos? ? 6 ? y ? x ? 6 ? x ? y ? 6 ? 0 ……………………………………4 分
设 p(4cos ? ,3sin ? ) ,其中 ? ? [0, 2? )

点 P 到直线 l 的距离

d?

| 4cos ? ? 3sin ? ? 6 | | 5cos(? ? ? ) ? 6 | 4 ? cos ? ? 2 2 5 ,其中

所以当 cos(? ? ? ) ? 1 时, d 的最大值为 D. ∵a、b、c 均为正 实数.

11 2 2 …………………………………………10 分

1 1 1 1 1 ∴ 2 ( 2a + 2b )≥ 2 ab ≥ a ? b ,当 a=b 时等号成立;……………… 4 分
1 1 1 1 1 2 ( 2b + 2c )≥ 2 bc ≥ b ? c ,当 b=c 时等号成立; 1 1 1 1 1 2 ca 2 ( 2c + 2a )≥ ≥ c ? a .………………6 分
1 1 1 1 1 1 三个不等式相加即得 2a + 2b + 2c ≥ b ? c + c ? a + a ? b ,………………9 分 当且仅当 a=b=c 时等号成立………………10 分 22、解: (Ⅰ) 设 M 点的坐标为(x0, 0), 直线 l 方程为 x = my + x0 , 代入 y2 = x 得 y2-my-x0 = 0 ① y1、y2 是此方程的两根, ∴x0 =-y1y2 =1,即 M 点的坐标为(1, 0). …………5 分 (Ⅱ)法一:由方程① 得 y1+y2 = m ,y1y2 =-1 ,且 | OM | = x0 =1,
·15·

1 1 1 ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 m2 ? 4 于是 S△ AOB = 2 | OM | |y1-y2| = 2 =2 ≥1,
∴ 当 m = 0 时,△ AOB 的面积取最小值 1. 法二: …………10 分

y1 ? y2 2 当直线AB斜率不存在时易得A(1,1) ? S?AOB ? 1 S?AOB ? 当直线AB斜率存在时,设其为k 则lAB:y =k(x-1),与y 2 =x联立: ? y =k(x-1) 可得ky 2 ? y ? k ? 0 ? 2 ? y =x
?k ? 0 1 则? 可得y1 ? y2 ? ,y1 y2 ? ?1 2 k ? ? ? 1 ? 4k ? 0 1 2 2 ? (y1 ? y2) ? ( ) ?4?4 k ? y1 ? y2 ? ( 2 y1 ? y2 <-2舍去) y1 ? y2 ? 1即此时S ?AOB ? 1 2 综上所述,S ?AOB的最小值为1. ?

…………….8 分

…………10 分

23.(Ⅰ)略??????????????????????????3 分
0 n ?1 Cn C1 C2 (?1) n?1 Cn (n ? 1)!d n?1 ?1 ?1 ? n?1 ? n?1 ? ? ? ? a a2 a3 an a1a2 ?an ?????5 分 (Ⅱ)结论: 1

证:①当 n ? 2,3,4 时,等式成立,
1 ?1 Ck0?1 Ck C2 (?1) k ?1 Ckk? (k ? 1)!d k ?1 1 ? ?1 ? k ?1 ? ? ? ? a a2 a3 ak a1a2 ?ak 成立, ②假设当 n ? k 时, 1

C ? Ck ?1 ? Ck ?1 ,所以 那么当 n ? k ? 1 时,因为 k
1 Ck0 Ck C2 (?1) k ? 2 Ckk ? ? k ??? a1 a2 a3 ak ?1 1 1 ?1 k ?2 ?1 Ck0?1 Ck ? Ck0?1 Ck2?1 ? Ck (?1) k ?1 (Ckk? (?1) k ? 2 Ckk? ?1 1 ? C k ?1 ) 1 ? ?1 ? ??? ? a1 a2 a3 ak ak ?1

i ?1

i ?1

i ?2

?

·16·

1 ?1 1 ?1 Ck0?1 Ck Ck2?1 (?1) k ?1 Ckk? Ck0?1 Ck Ck2?1 (?1) k ?1 Ckk? ?1 1 ?1 1 ?( ? ? ??? )? ( ? ? ??? ) a2 a3 a4 ak ?1 a1 a2 a3 ak

?

(k ? 1)!d k ?1 (k ? 1)!d k ?1 (k ? 1)!d k ?1 k!d k ? ? (ak ?1 ? a1 ) ? a1a 2 ? a k a2 a3 ak ?1 a1a2 ak ?1 a1 a 2 ? a k a k ?1 ,

所以,当 n ? k ? 1 时,结论也成立。
0 1 2 n ?1 Cn Cn Cn (?1) n?1 Cn (n ? 1)!d n?1 ?1 ?1 ?1 ?1 ? ? ??? ? a a2 a3 an a1a2 ?an 对 n ? 2 都成立 ????10 分 综合①②知, 1

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·17·


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