凤凰县高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

精选高中模拟试卷

凤凰县高级中学 2018-2019 学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 一、选择题
1. 某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积是( A. 2 B.4 C. )

姓名__________

分数__________

4 3

D.

8 3

【命题意图】 本题考查三视图的还原以及特殊几何体的体积度量, 重点考查空间想象能力及对基本体积公式的 运用,难度中等. 2. 已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) (0 ? ? ? 小距离为

?
2

) 与 y 轴的交点为 (0,1) ,且图像上两对称轴之间的最

? ,则使 f ( x ? t ) ? f (? x ? t ) ? 0 成立的 t 的最小值为( )1111] 2 ? ? ? A. B. C. 6 3 2 2 2 3. “ a ? b ? 3 ”是“圆 x ? y ? 2x ? 6 y ? 5a ? 0 关于直线 y ? x ? 2b 成轴对称图形”的(
A.充分不必要条件 C.充分必要条件 查,属于中等难度. 4. 若直线 l : y ? kx ? 1 与曲线 C : f ( x) ? x ? 1 ? A.-1 B. B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

D. )

2? 3

【命题意图】本题考查圆的一般方程、圆的几何性质、常用逻辑等知识,有一定的综合性,突出化归能力的考

1 没有公共点,则实数 k 的最大值为( ex



1 2

C.1

D. 3

【命题意图】考查直线与函数图象的位置关系、函数存在定理,意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算 求解能力.

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5. 已知向量 =(1, A.1 B.

), =( C.

,x)共线,则实数 x 的值为( tan35° D.tan35°

) )

6. 袋中装有红、 黄、 蓝三种颜色的球各 2 个, 无放回的从中任取 3 个球, 则恰有两个球同色的概率为 ( A. B. C. D. 的值等于 126,则判断框中的①可以是 (

7. 阅读如图所示的程序框图, 运行相应的程序, 若输出的



A.i>4?

B.i>5?

C.i>6?

D.i>7?

8. 某单位安排甲、乙、丙三人在某月 1 日至 12 日值班,每人 4 天. 甲说:我在 1 日和 3 日都有值班; 乙说:我在 8 日和 9 日都有值班; 丙说:我们三人各自值班的日期之和相等.据此可判断丙必定值班的日期是( A.2 日和 5 日 B.5 日和 6 日 C.6 日和 11 日 D.2 日和 11 日 , ),则 a 的取值范围是( D.0<a<1 的最小 ) )

9. 若函数 f(x)=﹣a(x﹣x3)的递减区间为( A.a>0 B.﹣1<a<0 C.a>1

10.函数 y=a1﹣x(a>0,a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny﹣1=0(mn>0)上,则 值为( A.3 ) B.4 C.5 D.6 )

11.已知正△ ABC 的边长为 a,那么△ ABC 的平面直观图△ A′B′C′的面积为( A. B. C. D.

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12.若多项式 x2+x10=a0+a1(x+1)+…+a8(x+1)8+a9(x+1)9+a10(x+1)10,则 a8=( A.45 B.9 C.﹣45 D.﹣9



二、填空题
13.集合 A={x|﹣1<x<3},B={x|x<1},则 A∩B= .

14. 如图, 为测量山高 MN, 选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点. 从 A 点测得 M 点的仰角∠MAN=60°, C 点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从 C 点测得∠MCA=60°.已知山高 BC=100m,则山高 MN= m.

15.将一张坐标纸折叠一次,使点 ? 0, 2 ? 与点 ? 4, 0 ? 重合,且点 ? 7,3? 与点 ? m, n ? 重合,则 m ? n 的 值是 . . 16.已知球与棱长均为 3 的三棱锥各条棱都相切,则该球的表面积为 17.已知函数 f(x)=sinx﹣cosx,则
2

=



2 18.如果实数 x , y 满足等式 ? x ? 2 ? ? y ? 3 ,那么

y 的最大值是 x



三、解答题
19.已知函数 f ( x) ? e x ? x ? a , g ( x ) ? (1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)若存在 x ? ?0, 2? ,使得 f ( x) ? g ( x) 成立,求的取值范围; (3)设 x1 , x2 是函数 f ( x ) 的两个不同零点,求证: e 1
x ? x2

1 ? x ? a2 , a ? R . ex

? 1.

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3 20.【南师附中 2017 届高三模拟二】已知函数 f ? x ? ? x ?

(1)试讨论 f ? x ?? x ? 0? 的单调性;

3 ?1 ? a ? x 2 ? 3ax ? 1, a ? 0 . 2

(2)证明:对于正数 a ,存在正数 p ,使得当 x ? 0, p 时,有 ?1 ? f ? x ? ? 1 ; (3)设(1)中的 p 的最大值为 g ? a ? ,求 g ? a ? 得最大值.

?

?

21.设{an}是公比小于 4 的等比数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和.已知 a1=1,且 a1+3,3a2,a3+4 构成等差数 列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=lna3n+1,n=12…求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

22.如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC, AB 的中点. (I)求证:平面 BCE⊥平面 A1ABB1; (II)求证:EF∥平面 B1BCC1; (III)求四棱锥 B﹣A1ACC1 的体积.

,E,F 分别是 A1C1,

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23.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n2﹣19n+1,记 Tn=|a1|+|a2|+…+|an|. (1)求 Sn 的最小值及相应 n 的值; (2)求 Tn.

24.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为等腰梯形,AD∥BC,PA=AB=BC=CD=2,PD=2 PD,Q 为 PD 的中点. (Ⅰ)证明:CQ∥平面 PAB; (Ⅱ)若平面 PAD⊥底面 ABCD,求直线 PD 与平面 AQC 所成角的正弦值.

,PA⊥

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凤凰县高级中学 2018-2019 学年高二上学期第二次月考试卷数学(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】B

2. 【答案】A 【解析】

考 点:三角函数的图象性质. 3. 【答案】 A









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4. 【答案】C

1 ,则直线 l : y ? kx ? 1 与曲线 C : y ? f ? x ? 没有公共点, ex 1 ? 1 ? 等价于方程 g ? x ? ? 0 在 R 上没有实数解.假设 k ? 1 ,此时 g ? 0 ? ? 1 ? 0 , g ? ? ? ?1 ? 1 ? 0 .又函 ? k ?1 ? e k ?1 数 g ? x ? 的图象连续不断,由零点存在定理,可知 g ? x ? ? 0 在 R 上至少有一解,与“方程 g ? x ? ? 0 在 R 上没
【解析】令 g ? x ? ? f ? x ? ? ? kx ? 1? ? ?1 ? k ? x ? 有实数解”矛盾,故 k ? 1 .又 k ? 1 时, g ? x ? ? 为 1 ,故选 C. 5. 【答案】B 【解析】解:∵向量 =(1, ∴x= 故选:B. 【点评】本题考查了向量的共线的条件和三角函数的化简,属于基础题. 6. 【答案】B
3 【解析】解:从红、黄、蓝三种颜色的球各 2 个,无放回的从中任取 3 个球,共有 C6 =20 种, 1 1 其中恰有两个球同色 C3 C4 =12 种,

1 ? 0 ,知方程 g ? x ? ? 0 在 R 上没有实数解,所以 k 的最大值 ex

), =( =

,x)共线, = ,

=

故恰有两个球同色的概率为 P= 故选:B.

= ,

【点评】本题考查了排列组合和古典概率的问题,关键是求出基本事件和满足条件的基本事件的种数,属于基 础题. 7. 【答案】 C 【解析】解:模拟执行程序框图,可得

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S=0,i=1 S=2,i=2 不满足条件,S=2+4=6,i=3 不满足条件,S=6+8=14,i=4 不满足条件,S=14+16=30,i=5 不满足条件,S=30+32=62,i=6 不满足条件,S=62+64=126,i=7 由题意,此时应该满足条件,退出循环,输出 S 的值为 126, 故判断框中的①可以是 i>6? 故选:C. 【点评】本小题主要考查循环结构、数列等基础知识.根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这 一模块最重要的题型,属于基本知识的考查. 8. 【答案】C 【解析】解:由题意,1 至 12 的和为 78, 因为三人各自值班的日期之和相等, 所以三人各自值班的日期之和为 26, 根据甲说:我在 1 日和 3 日都有值班;乙说:我在 8 日和 9 日都有值班,可得甲在 1、3、10、12 日值班,乙 在 8、9、2、7 或 8、9、4、5, 据此可判断丙必定值班的日期是 6 日和 11 日, 故选:C. 【点评】本题考查分析法,考查学生分析解决问题的能力,比较基础. 9. 【答案】A 【解析】解:∵函数 f(x)=﹣a(x﹣x )的递减区间为( ∴f′(x)≤0,x∈( , )恒成立 , )恒成立
3





2 即:﹣a(1﹣3x )≤0,,x∈( 2 ∵1﹣3x ≥0 成立

∴a>0 故选 A 【点评】本题主要考查函数单调性的应用,一般来讲已知单调性,则往往转化为恒成立问题去解决.

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10.【答案】B 【解析】解:函数 y=a ∴m+n=1. 则 =(m+n) =2+ =4,当且仅当 m=n= 时取等号.
1﹣x

(a>0,a≠1)的图象恒过定点 A(1,1),

∵点 A 在直线 mx+ny﹣1=0(mn>0)上,

故选:B. 【点评】本题考查了“乘 1 法”与基本不等式的性质、指数函数的性质,属于基础题. 11.【答案】D 【解析】解:∵正△ABC 的边长为 a,∴正△ABC 的高为 ,

画到平面直观图△A′B′C′后,“高”变成原来的一半,且与底面夹角 45 度, ∴△A′B′C′的高为 ∴△A′B′C′的面积 S= 故选 D. 【点评】 本题考查平面图形的直观图的性质和应用, 解题时要认真审题, 仔细解答, 注意合理地进行等价转化. = , = .

12.【答案】A
10 10 8 【解析】解:a8 是 x =[﹣1+(x+1)] 的展开式中第九项(x+1) 的系数,

∴a8=

=45,

故选:A. 【点评】本题主要考查二项展开式的通项公式,二项展开式系数的性质以及多项恒等式系数相等的性质,属于 基础题.

二、填空题
13.【答案】 {x|﹣1<x<1} .

【解析】解:∵A={x|﹣1<x<3},B={x|x<1}, ∴A∩B={x|﹣1<x<1}, 故答案为:{x|﹣1<x<1}

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【点评】本题主要考查集合的基本运算,比较基础. 14.【答案】 150

【解析】解:在 RT△ABC 中,∠CAB=45°,BC=100m,所以 AC=100 在△AMC 中,∠MAC=75°,∠MCA=60°,从而∠AMC=45°, 由正弦定理得, 在 RT△MNA 中,AM=100 得 MN=100 × =150m. ,因此 AM=100 m,∠MAN=60°,由 m.

m.

故答案为:150. 15.【答案】 【解析】

34 5

考 点:点关于直线对称;直线的点斜式方程. 16.【答案】 3π .

【解析】解:将棱长均为 3 的三棱锥放入棱长为 ∵球与三棱锥各条棱都相切,

的正方体,如图

∴该球是正方体的内切球,切正方体的各个面切于中心, 而这个切点恰好是三棱锥各条棱与球的切点 由此可得该球的直径为 ,半径 r=

2 ∴该球的表面积为 S=4πr =3π

故答案为:3π

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【点评】本题给出棱长为 3 的正四面体,求它的棱切球的表面积,着重考查了正多面体的性质、多面体内切球 和球的表面积公式等知识,属于基础题. 17.【答案】 . sin(x﹣ , ),

【解析】解:∵函数 f(x)=sinx﹣cosx= 则 = sin(﹣ . )=﹣

=﹣

故答案为:﹣

【点评】本题主要考查两角差的正弦公式,属于基础题. 18.【答案】 3 【解析】

考点:直线与圆的位置关系的应用. 1 【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用,其中解答中涉及到点到直线的距离公式、直线与圆

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相切的判定与应用, 着重考查了学生分析问题和解答问题的能力, 以及推理与运算能力和转化与化归的思想方 法,本题的解答中把

y 的最值转化为直线与圆相切是解答的关键,属于中档试题. x

三、解答题
19.【答案】(1) f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ??) ,单调递减区间为 ( ??, 0) ;(2) a ? 1 或 a ? 0 ;(3) 证明见解析. 【解析】

试 题解析: (1) f '( x) ? e ?1.
x

令 f '( x) ? 0 ,得 x ? 0 ,则 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ??) ;111.Com] 令 f '( x) ? 0 ,得 x ? 0 ,则 f ( x ) 的单调递减区间为 ( ??, 0) . (2)记 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,则 F ( x) ? e ?
x

1 ? 2x ? a ? a2 , x e

F '( x) ? e x ?
∵e ?
x

1 ?2. ex

1 1 ? 2 ? 2 e x ? x ? 2 ? 0 ,∴ F '( x) ? 0 , x e e ∴函数 F ( x) 为 (??, ??) 上的增函数,
∴当 x ? ?0, 2? 时, F ( x) 的最小值为 F (0) ? a ? a .
2

∵存在 x ? ?0, 2? ,使得 f ( x) ? g ( x) 成立,

2 ∴ F ( x) 的最小值小于 0,即 a ? a ? 0 ,解得 a ? 1 或 a ? 0 .1

(3)由(1)知, x ? 0 是函数 f ( x ) 的极小值点,也是最小值点,即最小值为 f (0) ? a ? 1 , 则只有 a ? ?1 时,函数 f ( x ) 由两个零点,不妨设 x1 ? x2 , 易知 x1 ? 0 , x2 ? 0 , ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x2 ) ? f (? x2 ) ? (e 2 ? x2 ? a) ? (e
x ? x2

? x2 ? a) ? ex2 ? e? x2 ? 2x2 ,

令 h( x) ? e ? e
x

?x

? 2 x ( x ? 0 ),

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考点:导数与函数的单调性;转化与化归思想. (3) g ? a ? 的最大值为 3
3 【解析】【试题分析】(1)先对函数 f ? x ? ? x ?

20.【答案】(1)证明过程如解析;(2)对于正数 a ,存在正数 p ,使得当 x ? 0, p 时,有 ?1 ? f ? x ? ? 1 ;

?

?

3 ?1 ? a ? x 2 ? 3ax ? 1, a ? 0 进行求导,再对导函数的值的 2

符号进行分析,进而做出判断;(2)先求出函数值

f ? 0? ? 1, f ? a ? ? ? a 3 ? a 2 ? 1 ?

分析讨论,推断出存在 p ? ? 0, a ? 使得 f ? p ? ? 1 ? 0 ,从而证得当 x ? 0, p 时,有 ?1 ? f ? x ? ? 1 成立;(3) 借助(2)的结论 :f ? x ? 在 0, ??? 上有最小值为 f ? a ? ,然后分 0 a ? 1 ,a 1 两种情形探求 g ? a ? 的解析表 达式和最大值。
2 证明:(1)由于 f ? ? x ? ? 3x ? 3?1 ? a ? x ? 3a ? 3? x ? 1?? x ? a ? ,且 a ? 0 ,

1 2

3 2

1 2 ?1 ? a ?? a ? 2 ? ? 1 ,进而分 f ? a ? ? ?1 和 f ? a ? ? ?1 两种情形进行 2

?

?

?

故 f ? x ? 在 0, a 上单调递减,在 a, ??? 上单调递增.

?

?

?

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(3)由(2)知 f ? x ? 在 0, ??? 上的最小值为 f ? a ? . 当 0 ? a ? 1 时, f ? a ? ? ?1 ,则 g ? a ? 是方程 f ? p ? ? 1满足 p ? a 的实根,
2 即 2 p ? 3?1 ? a ? p ? 6a ? 0 满足 p ? a 的实根,

?

所以 g ? a ? ?

3 ? a ? 1? ? 9a 2 ? 30a ? 9

又 g ? a ? 在 ? 0,1 上单调递增,故 g ? a ?max ? g ?1? ? 3 . 当 a ? 1 时, f ? a ? ? ?1 ,由于 f ? 0 ? ? 1, f ?1? ? 故? ?0, p ??? 0,1? ? .此时, g ? a ? ? 1 . 综上所述, g ? a ? 的最大值为 3 . 21.【答案】 【解析】解:(1)设等比数列{an}的公比为 q<4,∵a1+3,3a2,a3+4 构成等差数列. ∴2×3a2=a1+3+a3+4,∴6q=1+7+q ,解得 q=2.
n 1 (2)由(1)可得:an=2 ﹣ . 2

?

4



9 ?1 ? a ? ? 1 ? ?1 , 2

bn=lna3n+1=ln23n=3nln2. ∴数列{bn}的前 n 项和 Tn=3ln2×(1+2+…+n) = ln2.

22.【答案】 【解析】(I)证明:在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,BB1⊥底面 ABC,

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所以,BB1⊥BC. 又因为 AB⊥BC 且 AB∩BB1=B, 所以,BC⊥平面 A1ABB1. 因为 BC?平面 BCE, 所以,平面 BCE⊥平面 A1ABB1. (II)证明:取 BC 的中点 D,连接 C1D,FD. 因为 E,F 分别是 A1C1,AB 的中点, 所以,FD∥AC 且 .

因为 AC∥A1C1 且 AC=A1C1, 所以,FD∥EC1 且 FD=EC1. 所以,四边形 FDC1E 是平行四边形. 所以,EF∥C1D. 又因为 C1D?平面 B1BCC1,EF?平面 B1BCC1, 所以,EF∥平面 B1BCC1. (III)解:因为 所以, . . ,AB⊥BC

过点 B 作 BG⊥AC 于点 G,则

因为,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AA1⊥底面 ABC,AA1?平面 A1ACC1 所以,平面 A1ACC1⊥底面 ABC. 所以,BG⊥平面 A1ACC1. 所以,四棱锥 B﹣A1ACC1 的体积 .

【点评】本题考查了线面平行,面面垂直的判定,线面垂直的性质,棱锥的体积计算,属于中档题.

23.【答案】

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2 【解析】解:(1)Sn=2n ﹣19n+1=2





∴n=5 时,Sn 取得最小值=﹣44.
2 (2)由 Sn=2n ﹣19n+1,

∴n=1 时,a1=2﹣19+1=﹣16. n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=2n2﹣19n+1﹣[2(n﹣1)2﹣19(n﹣1)+1]=4n﹣21. 由 an≤0,解得 n≤5.n≥6 时,an>0.
2 ∴n≤5 时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=﹣(a1+a2+…+an)=﹣Sn=﹣2n +19n﹣1.

n≥6 时,Tn=﹣(a1+a2+…+a5)+a6+…+an =﹣2S5+Sn =2n2﹣19n+89. ∴Tn= .

【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前 n 项和公式、不等式的解法、绝对值数列求和问题,考查了分 类讨论方法推理能力与计算能力,属于中档题. 24.【答案】 【解析】(Ⅰ)证明:取 PA 的中点 N,连接 QN,BN. ∵Q,N 是 PD,PA 的中点, ∴QN∥AD,且 QN= AD. ∵PA=2,PD=2 ∴AD=4, ∴BC= AD.又 BC∥AD, ∴QN∥BC,且 QN=BC, ∴四边形 BCQN 为平行四边形, ∴BN∥CQ.又 BN?平面 PAB,且 CQ?平面 PAB, ∴CQ∥平面 PAB. (Ⅱ)解:取 AD 的中点 M,连接 BM;取 BM 的中点 O,连接 BO、PO. 由(Ⅰ)知 PA=AM=PM=2, ∴△APM 为等边三角形, ∴PO⊥AM.同理:BO⊥AM. ∵平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,PO?平面 PAD, ∴PO⊥平面 ABCD.
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,PA⊥PD,

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以 O 为坐标原点,分别以 OB,OD,OP 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系, 则 D(0,3,0),A(0,﹣1,0),P(0,0, ∴ =( ,3,0), =(0,3,﹣ ), ),C( =(0, , ,2,0),Q(0, , ). ).

设平面 AQC 的法向量为 =(x,y,z), ∴ ∴cos< ,令 y=﹣ , >= 得 =(3,﹣ =﹣ . . ,5).

∴直线 PD 与平面 AQC 所成角正弦值为

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