2008江苏高考数学科考试说明

2008 江苏高考数学科考试说明
命题指导思想
2008 年普通高等学校招生全国统一考试数学科(江苏卷)命题将遵循教育部考试中心颁 发的《2008 年普通高等学校招生全国统一考试(数学科)大纲》精神,依据教育部《普通 高中数学课程标准(实验) 》和江苏省《普通高中课程标准教学要求》 ,既考查中学数学的基 础知识和方法,又考查考生进入高等学校继续学习所必须的基本能力。 1.突出数学基础知识、基本技能、基本思想方法的考查 .突出数学基础知识、基本技能、 对数学基础知识和基本技能的考查,贴近教学实际,既注意全面,又突出重点,注重知 识内在联系的考查,注重对中学数学中所蕴涵的数学思想方法的考查。 2.重视数学基本能力和综合能力的考查 . 数学基本能力主要包括空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理这几方面 的能力。 (1)空间想象能力是对空间图形的观察、分析、抽象的能力。考查要求是:能够根据 题设条件想象并作出正确的平面直观图形, 能够根据平面直观图形想象出空间图形; 能够正 确地分析出图形中基本元素及其相互关系,并能够对空间图形进行分解和组合。 (2)抽象概括能力的考查要求是:能够通过对实例的探究发现研究对象的本质;能够 从给定的信息材料中概括出一些结论,并用于解决问题或作出新的判断。 (3) 推理论证能力的考查要求是: 能够根据已知的事实和已经获得的正确的数学命题, 运用归纳、类比和演绎进行推理,论证某一数学命题的真假性。 (4)运算求解能力是思维能力和运算技能的结合,主要包括数的计算、估算和近似计 算,式子的组合变形与分解变形,几何图形中各几何量的计算求解,以及能够针对问题探究 运算方向、选择运算公式、确定运算程序等。 (5)数据处理能力是指会收集、整理、分析数据,能够从大量数据中提取对研究问题 有用的信息并作出判断。考查要求是:能够运用基本的统计方法对数据进行整理、分析,以 解决给定的实际问题。 数学综合能力的考查, 主要体现为分析问题与解决问题能力的考查, 要求能够综合地运 用有关的知识与方法,解决较为困难的或综合性的问题。 3.注重数学的应用意识和创新意识的考查 数学的应用意识的考查,要求能够运用所学的数学知识、思想和方法,构造数学模型, 将一些简单的实际问题转化为数学问题,并加以解决。 创新意识的考查,要求能够综合,灵活运用所学的数学知识和思想方法,创造性地解决 问题。

二、考试内容及要求
数学试卷由必做题与附加题两部分组成。 选修测试历史的考生仅需对试题中的必做题部 分作答; 选修测试物理的考生需对试题中必做题和附加题这两部分作答。 必做题部分考查的 内容是高中必修内容和选修系列 1 的内容;附加题部分考查的内容是选修系列 2(不含选修 系列 1)中的内容以及选修系列 4 中专题 4-1《几何证明选讲》 、4-2《矩阵与变换》 、4-4《坐 标系与参数方程》 、4-5《不等式选讲》这 4 个专题的内容(考生只需选考其中两个专题) 。 对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次(在下表中分别用 A、B、C 表 示) 。 了解:要求对所列知识的含义有最基本的认识,并能解决相关的简单问题。 理解:要求对所列知识有较深刻的认识,并能解决有一定综合性的问题。

1

掌握:要求系统地掌握知识的内在联系,并能解决综合性较强的或较为困难的问题。 具体考查要求如下: 1.必做题部分 内 集合及其表示 1.集合 子集 交集、并集、补集 函数的有关概念 函数的基本性质 指数与对数 2. 函数概念与基本 初等函数Ⅰ 指数函数的图象和性质 对数函数的图象和性质 幂函数 函数与方程 函数模型及其应用 三角函数的有关概念 同角三角函数的基本关系式 正弦、余弦的诱导公式 3. 基本初等函数Ⅱ (三角函数) 三角 、 恒等变换 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数 y = A sin(ωx + ? ) 的图象和性质 两角和(差)的正弦、余弦和正切 二倍角的正弦、余弦和正切 几个三角恒等式 4.解三角形 正弦定理、余弦定理及其应用 平面向量的有关概念 平面向量的线性运算 5.平面向量 平面向量的坐标表示 平面向量的的数量积 平面向量的平行与垂直 平面向量的应用 数列的有关概念 6.数列 等差数列 等比数列 基本不等式 7.不等式 一元二次不等式 线性规划 复数的有关概念 8.复数 复数的四则运算 复数的几何意义 9.导数及其应用 导数的概念 导数的几何意义
2



要 A √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ B

求 C

√ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √

导数的运算 利用导数研究函数的单调性和极大(小)值 导数在实际问题中的应用 算法的有关概念 10.算法初步 流程图 基本算法语句 命题的四种形式 11.常用逻辑用语 必要条件、充分条件、充分必要条件 简单的逻辑联结词 全称量词与存在量词 合情推理与演绎推理 12.推理与证明 分析法和综合法 反证法 抽样方法 总体分布的估计 总体特征数的估计 变量的相关性 13.概率、统计 随机事件与概率 古典概型 几何概型 互斥事件及其发生的概率 统计案例 柱、锥、台、球及其简单组成体 14.空间几何体 三视图与直视图 柱、锥、台、球的表面积和体积 15.点、线、面之 间的位置关系 平面及其基本性质 直线与平面平行、垂直的判定与性质 两平面平行、垂直的判定与性质 直线的斜率和倾斜角 直线方程 直线的平行关系与垂直关系 16.平面解析几何 初步 两条直线的交点 两点间的距离、点到直线的距离 圆的标准方程和一般方程 直线与圆、圆与圆的位置关系 空间直角坐标系 17.圆锥曲线与方 程 椭圆的标准方程和几何性质(中心在坐标原点) 双曲线的标准方程和几何性质 (中心在坐标原点) √ 抛物线的标准方程和几何性质 (顶点在坐标原点) √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √

√ √ √









√ √ √ √ √ √ √ √ √ √

3

2.附加题部分 内 1.圆锥曲线 与方程 曲线与方程 抛物线的标准方程和几何性质 (顶点在坐标原点) 空间向量的有关概念 空间向量共线、共面的充分必要条件 2.空间向 量与立体几 何 空间向量的线性运算 空间向量的坐标表示 空间向量的数量积 空间向量的共线与垂直 直线的方向向量与平面的法向量 空间向量的应用 3.导数及其 应用 选 修 系 列 2 : 不 含 选 修 系 列 1 中 的 内 容 4.推理与证 明 5.计数原理 简单的复合函数的导数 定积分 数学归纳法的原理 数学归纳法的简单应用 分类加法计数原理、 分步乘法计数原理 排列与组合 二项式定理 离散型随机变量及其分布列 超几何分布 6.概率统计 条件概率及相互独立事件 √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 容 要 A √ √ B 求 C

n 次独立重复试验的模型及二项分布
离散型随机变量的均值和方差 相似三角形的判定和性质定理 直角三角形的射影定理 7.几何证明 选讲 圆的切线的判定和性质定理 圆周角定理,弦切角定理 相交弦不定期理、割线定理、切割线定理 圆内接四边形的判定与性质定理 矩阵的有关概念 二阶矩阵与平面向量 8.矩阵与变 换 常见的平面变换 矩阵的复合与矩阵的乘法 二阶逆矩阵 二阶矩阵的特征值和特征向量 二阶矩阵的简单应用 坐标系的有关概念 9.坐标系与 参数方程 简单图形的极坐标方程 极坐标方程与直角坐标方程的互化 直线、圆和椭圆的参数方程
4

参数方程与普通方程的互化 参数方程的简单应用 不等式的基本性质 含有绝对值的不等式的求解 10.不等式选 讲 不等式的证明(比较法、综合法、分析法) 几个著名不等式 利用不等式求最大(小)值 数学归纳法与不等式 √

√ √ √ √ √ √ √

三、考试形式及试卷结构
(一)考试形式 闭卷、笔试,试题分必做题和附加题两部分。必做题部分满分为 160 分,考试时间 120 分钟;附加题部分满分为 40 分,考试时间 30 分钟。 (二)考试题型 1.必做题 必做题部分由填空题和解答题两种题型组成。其中填空题 14 小题,约占 . 70 分;解答题 6 小题,约占 90 分。 2.附加题 附加题部分由解答题组成,共 4 小题。其中,必做题 2 小题,考查选修系 . 列 2(不含选修系列 1)中的内容;选做题共 4 小题,依次考查选修系列 4 中 4-1、4-2、4-4、 4-5 这 4 个专题的内容,考生只须从中选 2 个小题作答。 填空题只要求直接写出结果,不必写出计算和推理过程;解答题应写出文字说明、证明 过程或演算步骤。 (三)试题难易比例 必做题部分由容易题、中等题和难题组成。容易题、中等题和难题在试卷中的比例大致 为 4:4:2。 附加题部分由容易题、中等题和难题组成。容易题、中等题和难题在试卷中的比例大致 为 5:4:1。

四、典型题示例 A.必做题部分 .
(一)填空题 1.函数 y = 2 sin ?

?x π? + ?( x ∈ R ) 的最小正周期是________________。 ?3 4?

【解析】本题主要考查三角函数的周期。本题属容易题。 【答案】 6π 。 2.已知 A(0,6), B ( a,?2) 两点间距离是 10。则实数 a = __________ 。 【解析】本题主要考查两点间距离公式。本题属容易题。 【答案】6 或-6。

5

3.函数 y = 12 + x ? x 的定义域是__________________。
2

【解析】本题主要考查函数的定义域和解一元二次不等式。本题属容易题。 【答案】 {x | ?3 ≤ x ≤ 4, x ∈ R} 4.已知全集 U = Z , A = {?1,0,1,2}, B = {x | x = x } ,则 A ∩ CU B 等于__________。
2

【解析】本题主要考查集合的交、补等基础知识,本题属容易题。 【答案】 {?1,2} 5.若复数 (1 + bi)( 2 + i) 是纯虚数(i 是虚线单位, b 是实数) ,则 b 等于______。 【解析】本题主要考查复数的基本概念及其代数形式的运算。本题属容易题。 【答案】2。 6 . 在 三 角 形 ABC 中 , 已 知 tan A, tan B 是 方 程 x ? 3 x + 2 = 0 的 两 个 根 , 则
2

tan C = ______________(用数字作答) 。
【解析】本题主要考查三角公式以及一元二次方程等基础知识,本题属中等题。 【答案】3 7.已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n = n ? 9n ,第 k 项满足 5 < a k < 8 ,则 k = __________ 。
2

【解析】 本题主要考查数列的前 n 项的和与其通项的关系, 以及解简单的不等式等基础知识。 本题属中等题。 【答案】8。 8.已知向量 a = 1, n) = ? 1, n) ( ,b ( 。若 2a ? b 与 b 垂直,则 | a | 等于______________。 【解析】本题主要考查以坐标表示的平面向量的加、减、数乘及数量积的运算等基础知识。 本题属中等题。 【答案】2。 9.函数 f ( x ) = x ln x ( x > 0) 的单调递增区间是________________________。 【解析】 本题主要考查初等函数的求导、 导数的四则运算以及利用导数研究函数的单调性等 基础知识。本题属中等题。 【答案】 ? ,+∞ ? 。

?1 ?e

? ?

6

10.如果执行右面的程序框图,那么输出的 S 等于______。 【解析】 本题主要考查流程图的顺序结构、 选择结构和循环结构等基础知识, 本题属中等题。 【答案】2550。 11.在一个袋子中装有分别标注数字 1,2,3,4,5 的五个小球,这些小球除标注的数字外 完全相同。现从中随机取出 2 个小球,则取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率是 _______________。 【解析】本题主要考查古典概率计算以及概率的加法公式等基础知识。本题属中等题。 【答案】

3 。 10

12.在平面直角坐标系 xOy 中,已知 ?ABC 的顶点 A(?4,0) 和 C ( 4,0) ,顶点 B 在椭圆

x2 y2 sin A + sin C + = 1 上,则 = __________ 。 25 9 sin B
【解析】本题主要考查椭圆的定义、正弦定理等基础知识。本题属中等题。 【答案】

5 。 4

(二)解答题 13.设锐角三角形 ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a, b, c, a = 2b sin A 。 (1)求 B 的大小; (2)若 a = 3 3 , c = 5 ,求 b 。 【解析】本题主要考查解三角形以及正、余弦定理的简单运用等基础知识。本题属容易题。 【参考答案】 (1)由 a = 2b sin A ,E 根据正弦定理得 sin A = 2 sin B sin A ,所以 sin B = 为锐角三角形得 B =

π
6

1 ,由 ?ABC 2


2 2 2

(2)根据余弦定理,得 b = a + c ? 2ac cos B = 27 + 25 ? 45 = 7 ,所以 b =

7。

14.如图(1) ,在直四棱柱 ABCD ? A1 B1 C1 D1 中,已知 DC = DD1 = 2 AD = 2 AB ,

AD ⊥ DC , AB // DC ,
7

(1)求证: D1C ⊥ AC1 ; ( 2 ) 试 在 棱 DC 上 确 定 一 点 E , 使 D1 E // 平 面 A1 BD , 并 说 明 理 由 。

【解析】本题主要考查立体几何中的主干知识,如线而平行、线面垂直等,考查空间想 象能力、推理论证能力,本题属中等题。 【参考答案】 (1)证明:如图(2)连结 C1 D 。

∵在直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, DC = DD1 , ∴四边形 DCC1 D1 是正方形,∴ DC1 ⊥ D1C 。 又∵ AD ⊥ DC , AD ⊥ DD1 , DC ∩ DD1 = D ,

∵ AD ⊥ 平面 DCC1 D1 。

∵ D1C ? 平面 DCC1 D1 ,∴ AD ⊥ D1C 。 ∵ AD, DC1 ? 平面 ADC1 ,且 AD ∩ DC1 = D , ∵ D1C ⊥ 平面 ADC1 ,
又∵ AC1 ? 平面 ADC1 ,∴ D1 C ⊥ AC1 。

8

(2)如图(3) ,连结 AD1 , AE 。设 AD1 ∩ A1 D = M ,

BD ∩ AE = N ,连结 MN 。
∵平面 AD1 E ∩ 平面 A1 BD = MN , 要使 D1 E // 平面 A1 BD ,只须使 MN // D1 E , 又∵ M 是 AD1 的中点,∴ N 是 AE 的中点。 又易知 ?ABN ≌ ?EDN , ∴ AB = DE ,即 E 是 DC 的中点。 、 综上所述,当 E 是 DC 的中点时,可使 D1 E // 平面 A1 BD 。 15.已知 {a n } 是等差数列,{bn } 是公比为 q 的等比数列,a1 = b1 ,a 2 = b2 ≠ a1 ,记 S n 为数列 {bn } 的前 n 项和。 (1)若 bk = a m ( m, k 是大于 2 的正整数) ,求证: S k ?1 = ( m ? 1) a1 ; (2)若 b3 = ai ( i 是某个正整数) ,求证: q 是整数,且数列 {bn } 中的每一项都是数列

{an } 中的项;
(3)是否存在这样的正数 q ,使等比数列 {bn } 中有三项成等差数列?若存在,写出一 个 q 的值,并加以说明;若不存在,请说明理由。 【解析】本题主要考查等差、等比数列的有关知识,考查学生的探索与推理能力。本题属难 题。 【参考答案】 (1)设等差数列的公差为 d ,则由题设得

a1 + d = a1q, d = a1 (q ? 1) ,且 q ≠ 1 。
用 bk = a m 得 b1q k ?1 = a1 + ( m ? 1) d ,所以 b1 ( q k ?1 ? 1) = ( m ? 1) d ,

S k ?1 =

b1 (q k ?1 ? 1) (m ? 1)d (m ? 1)a1 (q ? 1) = = = (m ? 1)a1 。 q ?1 q ?1 q ?1

9

故等式成立。 (2) (ⅰ)证明 q 为整数:
2 2 由 b3 = a1 得 b1q = a1 + (i ? 1) d ,邓 a1 q = a1 + (i ? 1) a1 ( q ? 1) ,多项得

a1 (q + 1)(q ? 1) = a1 (i ? 1)(q ? 1) 。
因 a1 = b1 ≠ 0, q ≠ 1 ,得 q = i ? 2 ,故 q 为整数。 (ⅱ)证明数列 {bn } 中的每一项都是数列 {a n } 中的项; 设 bk 是数列 {bn } 中的任一项,只要讨论 n > 3 的情形。 令 b1q n ?1 ? a1 + ( k ? 1) d ,即 a1 q n ?1 ? a1 = ( k ? 1) q1 ( q ? 1) ,得

k =1+

q n?1 ? 1 ? 2 + q + q 2 + ? + q n ?2 。 q ?1

因为 q = i ? 2 ,当 i = 1 时, q = ?1, q + q 2 + ? + q n ? 2 为-1,或 0。 则 k 为 1,或 2;而 i ≠ 2 ,否则 q = 0 ,矛盾。 当 n ≥ 3 时, q 为正整数,所以 k 为正整数,从而 bn = ak 。 故数列 {bn } 中的每一项都是数列 {a n } 中的项。 (3)取 q =

5 ?1 , b2 = b1q, b4 = b1q 2 。 2
2

? ? 5 ? 1 ?2 ? ? ? = b1 ( 5 ? 1) = 2b2 。 b1 + b4 = b1 (1 + q ) = b1 ?1 + ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ?
所以 b1 , b2 , b4 成等差数列。

B.附加题部分 .
1.设 b 和 c 分别是从 1,2,3,4 这四个数中随机选取的数,用随机变量 X 表示方程

x 2 + bx + c = 0 的实根的个数(重根按一个计) 。
(1)求方程 x + bx + c = 0 有实根的概率;
2

(2)求随机变量 X 的分布列和数学期望; (3)若 b, c 中至少有一个为 0,求方程 x + bx + c = 0 有实根的概率。
2

10

【解析】本题主要考查概率的基本知识,如概率分布、数学期望、条件概率等。考查了分类 讨论、枚举法等思想方法,本题属中等题。 【参考答案】 为事件 A , (1) 由题意知: 设所有基本事件的集合为Ω, “方程 x + bx + c = 0 没有实根” 记
2

“方程 x + bx + c = 0 有且只有一个实根” 为事件 B, “方程 x + bx + c = 0 有两个相异实根”
2 2

为事件 C ,则

? = (b, c) | b, c = 1,2,3,4 | ,

A = {(b, c) | b 2 ? 4c < 0, b, c = 1,2,3,4} , B = {(b, c)b 2 ? 4c = 0, b, c = 1,2,3,4} , C = {(b, c)b 2 ? 4c > 0, b, c = 1,2,3,4} 。
所以Ω中的基本事件总数为 16 个, A 中的基本事件总数为 9 个, B 中的基本事件总数 为 2 个, C 中的基本事件总数为 5 个。 又因为 B, C 是互斥事件,故所求概率。

P = P ( B ) + P (C ) =

2 5 7 + = 16 16 16

(2)由题意, X 的可能值为 0,1,2,则

P ( X = 0) =

9 2 5 , P ( X ? 1) = , P ( X ? 2) = 。 16 16 16
x

故 X 的分布列为 0 1 2

9 2 5 16 16 16 9 2 5 3 X 的数学期望 E ( X ) = 0 × + 1× + 2 × = 。 16 16 16 4 P
(3)记“ b, c 中至少有一个是 3”为事件 D , “方程 x + bx + c = 0 有实根”为事件 E ,
2

则易知 P ( D ) =

7 3 P ( DE ) 3 , P ( DE ) = ,从而 P ( ED) = = 。 16 16 P( D) 7

2.如图(1) ,正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面边长为 a ,侧棱长为 2a, M 是 A1 B1 的 中点。 (1)求证: MC1 是平面 ABB1 A1 的一个法向量; (2)求 AC1 与侧面 ABB1 A1 所成的角。

11

【解析】 本题主要考查向量的坐标表示, 向量运算及其几何意义等基础知识, 本题属中等题。 【参考答案】 (1) 如图(2) ,以点 A 为坐标原点,平面 ABC 为 xOy 平面, AB 方向为 x 轴正方向,

建立空间直角坐标系,则

? ?a ? ? a 3a A(0,0,0), B (a,0,0), B1 (a,0, 2a ), M ? ,0, 2a ?, C1 ? , , 2a ? ,于是 ? ?2 ? ?2 2 ? ? ? ? 3 ? AB = (a ,0,0), BB1 = (0,0, 2a ), MC1 = ? 0, ? 2 a ,0 ? 。 ? ?
易得 MC1 ? AB = 0, MC1 ? BB1 = 0 , 所以 MC1 ⊥ AB, MC1 ⊥ BB1 。 从而 MC1 ⊥ 平面 ABB1A1 故 MC1 是平面 ABB1 A1 的一个法向量。 (2) AC1 = ? ,

?a ?2 ?

? 3a , 2a ? , ? 2 ?

因为 MC1 ? AC1 =| MC1 | ? | AC1 | cos MC1 , AC1) ( , 所以由 MC1 ? AC1 = ? 0,

? ? ?

? ?a 3 ? 3 3 3 a ,0 ? ? ? , a, 2a ? = a 2 , | MC1 |= a, ? ?2 2 ? 4 2 2 ? ? ?

| AC1 |= 3a ,得
cos MC1 , AC1) ( = 1 ,即 ( MC1 , AC1 ) = 60° 2

又因为 MC1 ⊥ 平面 ABB1 A1 ,
12

所以 AC1 与侧面 ABB1 A1 所成的角为 30°。 3.选修 4-1:几何证明选讲 如图(1) ,已知 AP 是⊙ O 的切线, P 为切点, AC 是⊙ O 的割线,与⊙ O 交于 B, C 两点, 圆心 O 在 ∠PAC 的内部,与 M 是 BC 的中点。 (1)证明: A, P, O, M 四点共圆;

(2)求 ∠OAM ? ∠APM 的大小. 【解析】本题主要考查圆的基本知识,如切线性质、 四点共圆、 垂径定理等,本题属容易题。 【参考答案】 (1)如图(2) ,连结 OP, OM 。 因为 AP 与⊙ O 相切于点 P ,所以 OP ⊥ AP 。 因为 M 是⊙ O 的弦 BC 的中点,所以 OM ⊥ BC 。 于是 ∠OPA + ∠OMA = 180° ,由圆由 O 在 ∠PAC 的内部,可知四边形 APOM 的对角互 补,所以 A, P, O, M 四点共圆。 (2)由(1)的结论可知, ∠OAM = ∠OPM 。 又 OP ⊥ AP ,由圆心 O 在 ∠PAC 的内部,可知 ∠OPM + ∠APM = 90° 。 所以 ∠OAM + ∠APM = 90° 。 4.选修 4-2:矩阵与变换 在直角坐标系中, 已知 ?ABC 的顶点坐标为 A(0,0), B (1,1), C (0,2) , ?ABC 在矩阵 MN 作 求 用下变换所得到的图形的面积,这里矩阵 M = ?

?01? ?0 ? 1? ?, N = ?10 ? 。 ?10 ? ? ?

【解析】 本题主要考查矩阵的运算、 矩阵与变换之间的关系等基础知识, 本题属容易题。 【参考答案】 方法一:由题设得 MN = ?

?01? ?0 ? 1? ?10 ? ?? ?=? ? ?10 ? ?10 ? ?0 ? 1?

由?

?10 ? ?0? ?0? ?10 ? ?1? ?1 ? ?10 ? ?0 ? ?0 ? ? ? ? = ? ?, ? ? ? ? = ? ?, ? ?? ? = ? ? 。 ?0 ? 1? ?0? ?0? ?0 ? 1? ?1? ?? 1? ?0 ? 1? ?2? ?? 2?

可 知 A, B, C 三 点 在 矩 阵 MN 作 用 下 变 换 所 得 到 的 点 分 别 是 A′(0,0), B ′(1,?1) ,

C ′(0,?2) ,计算得 ?A′B′C ′ 的面积为 1。

13

所以 ?ABC 在矩阵 MN 作用下变换所得到的图形 ?A′B ′C ′ 的面积为 1. 方法二:在矩阵 N = ?

?0 ? 1? ? 作用下,一个图形变换为其绕原点逆时针旋转 90°得到的 ?10 ?

图形;在矩阵 M = ?

?0 ? 1? ? 作用下,一个图形变换为与之关于直线 y = x 对称的图形。 ?10 ?

因此, ?ABC 在矩阵 MN 作用下变换所得到的图形,与 ?ABC 全等,从而其面积等于 ?ABC 的面积,即为 1。 5.选修 4-4:坐标系与参数方程 已知⊙ O1 和⊙ O2 的极坐标方程分别为 ρ = 4 cosθ , ρ = ?4 sin θ 。 (1)把⊙ O1 和⊙ O2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求经过⊙ O1 ,⊙ O2 交点的直线的直角坐标方程; 【解析】 本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化, 以及解简单的二元二次方程组等 基础知识。本题属容易题。 【参考答案】 以极点为原点,极轴为 x 轴上半轴,建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的长度单位。 (1) x = ρ cosθ , y = ρ sin θ ,由 ρ = 4 cosθ 得 ρ 2 = 4 ρ cosθ , 所以 x 2 + y 2 = 4 x 。 即⊙ O1 的直角坐标系方程为 x 2 + y 2 ? 4 x = 0 。 同理⊙ O2 的直角坐标系方程为 x 2 + y 2 + 4 y = 0 。 (2)由 ?

? x 2 + y 2 ? 4 x = 0,
2 2 ? x + y + 4 x = 0.

解得 ?

? x1 = 0, ? x2 = 2, ? ? y1 = 0 / ? y 2 = ?2.

即⊙ O1 ,⊙ O2 交于点(0,0)和(2,-2) 。过交点的直线的直角坐标方程为 y = ? x 。 6.选修 4-5:不等式选讲 设实数 x > ?1, n ∈ N + ,证明: (1 + x ) n ≥ 1 + nx 。 【解析】本题主要考查不等式的证明以及数学归纳法等基础知识,本题属容易题。 【参考答案】 (1)当 n = 1 时,感到不等式显然成立。 (2)假设当 n = k 时,有 (1 + x) k ≥ 1 + kx 。

14

因为 x > ?1 ,所以 1 + x > 0 。 因此,有

(1 + x) k +1 = (1 + x) k ? (1 + x)
≥ (1 + kx) ? (1 + x) = 1 + (k + 1) x ? kx 2 ≥ 1 + (k + 1) x , 、
即当 n = k + 1 时题中不等式成立。 综合(1)(2)可知,对于任何 n ∈ N ,不等式 (1 + x ) n ≥ 1 + nx 成立。 、
+

15


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