2019高中数学平面向量的基本概念及线性运算.ppt_图文

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第一节

平面向量的基本概念及线性运算

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1.向量的有关概念 方向 的量叫做向量,向量 大小 又有_______ (1)向量:既有_______ 长度 (或模) . 的大小叫做向量的 ______

长度为0 的向量,其方向是任意的. (2)零向量:__________
1个单位 的向量. (3)单位向量:长度等于__________ 相同或相反 的非零向量.平行向量 (4)平行向量:方向____________ 共线向量 平行 . 又叫_____________ .规定:0与任一向量_______ 相等 且方向_______ 相同 的向量. (5)相等向量:长度_______ 相等 且方向_______ 相反 的向量. (6)相反向量:长度_______
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2.向量的加法和减法
(1)加法法则:服从三角形法则,平行四边形法则. a+(b+c) . b+a ;(a+b)+c=__________ 运算性质:a+b=_______ 加法 互为逆运算;服从三角形法则. (2)减法与_______ 3.实数与向量的积 (1)实数λ与向量a的积是一个向量,记作λa,规定: |λ||a| ;②方向:当_______ λ>0 时,λa与 ①长度: |λa|=________ λ<0 时, λa 与 a 的方向相反;当 λ = 0 a 的方向相同;当 _________ 0 时,λa=_____.
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(2)运算律:设λ、μ∈R,则:①λ(μa)= (λμ)a λa+μa __________ ;② (λ + μ)a = ____________ ;③ λ(a + b) =
λa+λb . ____________ 4.平面向量共线定理 向量b与a(a≠0)共线的充要条件是 有且只有一个实数λ,使得b=λa _________________________________ .

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→ 与向量CD → 是共线向量,则 A,B,C,D 1.向量AB 四点在一条直线上,这种说法正确吗?
→ 与向量CD → 是共线向量, 【提示】 不正确. 若向量AB → 与CD → 所在的直线平行或重合,因此,A,B,C, 则向量AB D 不一定共线.

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2.a∥b是a=λb(λ∈R)的充要条件吗? 【提示】 a∥b, ∴ a∥b 是 a = λb(λ∈R) 的必要不充分条件,不是充要条 当a≠0,b=0时,a∥bD a=λb,但a=λb

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件.

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→ - QP → +MS → +QM →的 1.(人教A版教材习题改编)化简OP 结果为( ) → A.OM → B.SM → C.PS → D.OS

【解析】

→ - QP → + MS → + QM → =( OP → + PQ → )+(QM →+ OP

→ )=OQ → +QS → =OS →. MS
【答案】 D

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2.下列给出的命题正确的是(
A.零向量是唯一没有方向的向量

)

B.平面内的单位向量有且仅有一个 C.a与b是共线向量,b与c是平行向量,则a与c是方向 相同的向量 D.相等的向量必是共线向量

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【解析】

零向量方向任意,而不是没有方向,故 A

错;平面内单位向量有无数个,故B错;若b=0,b与a、c都 平行,但a、c不一定共线,故C错;相等的向量方向相同, 必是共线向量,故D正确. 【答案】 D

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3. (2012· 合肥高三质量检测)如图 4-1-1, 正方形 ABCD → 等于( 中,点 E,F 分别是 DC,BC 的中点,那么EF 1→ 1→ A. AB+ AD 2 2 1→ 1→ B.- AB- AD 2 2 1→ 1→ C.- AB+ AD 2 2 1→ 1→ D. AB- AD 2 2 1→ 1 → → → 【解析】 EF= DB= (AB-AD),故选 D. 2 2
【答案】
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)

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B

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4.已知a与b是两个不共线向量,且向量a+λb与-(b- 3a)共线,则λ的值为( ) 1 1 A.1 B.-1 C. D.- 3 3

【解析】

由题意知a+λb=-k(b-3a)=-kb+3ka,

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【答案】

D

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5.(2012· 四川高考)设 a、b 都是非零向量,下列四个条 a b 件中,使 = 成立的充分条件是( ) |a| |b| A.|a|=|b|且 a∥b B.a=-b C.a∥b D.a=2b a b 【解析】 表示与 a 同向的单位向量, 表示与 b 同 |a| |b| a b 向的单位向量.只要 a 与 b 同向就有 = ,观察选择项易 |a| |b| 知 D 满足题意.
【答案】 D

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给出下列四个命题: ①若 |a|= |b |,则 a=b或 a=-b; → =DC → ,则四边形ABCD为平行四边形; ②若AB ③若 a与 b同向,且|a|> |b |,则 a>b; ④λ ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线. 其中假命题的个数为( ) A.1 B. 2 C.3 D.4

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【思路点拨】
明其不正确.

以概念为判断依据,或通过举反例来说

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【尝试解答】 ①不正确.|a|=|b |但 a、b的方向不确 定,故a, b不一定相等; → = DC → , A、B、C、 D可能在同一直 ②不正确.因为 AB 线上,所以ABCD不一定是四边形. ③不正确.两向量不能比较大小. ④不正确.当λ= μ=0时, a与 b可以为任意向量,满足 λa=μb,但a与b不一定共线.
【答案】 D

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1 . (1) 易忽视零向量这一特殊向量,误认为④是正确 的;(2)充分利用反例进行否定是对向量的有关概念题进行判 定的行之有效的方法. 2.准确理解向量的基本概念是解决这类题目的关 键. (1) 相等向量具有传递性,非零向量平行也具有传递

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性. (2) 共线向量 ( 平行向量 ) 和相等向量均与向量的起点无 关.
3 .“向量”和“有向线段”是两个不同的概念,向量

只有两个要素:大小、方向;而有向线段有三个要素:起 点、方向、长度.
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给出下列四个命题: ①两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同;

②若a=b,b=c,则a=c;
③若a∥b,b∥c,则a∥c; ④a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b. 其中假命题的个数为( A.1 B.2 ) C.3 D.4

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【解析】
点.

①不正确.两个向量起点相同,终点相同,

则两向量相等;但两个向量相等,不一定有相同的起点和终

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②正确.根据向量相等的定义知. ③不正确.若 b = 0 时, b 与 a 、 c 都平行,但 a、 c 不一定

平行.
④不正确.a=b的充要条件是|a|=|b|且a,b同向.

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【答案】

C
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→ = 2 DB →, (1)在△ABC中,若D是AB边上一点,且 AD 1→ → → ,则λ=( CD= CA+λCB ) 3 2 1 1 2 A. B. C.- D.- 3 3 3 3 (2)若 O是△ ABC所在平面内一点,D为BC边中点,且 → +OB → +OC → = 0,那么( 2OA → =OD → A.AO → = 3OD → C.AO
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)
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→ = 2OD → B.AO → =OD → D.2AO

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【思路点拨】 → 、CB → 表示; CA

→ 用 (1)D是AB边上的三等分点,把 CD

→ + OC → =2 OD → ,代入已知条 (2)由D为BC边中点可得 OB 件即可求解.
2→ → 2 → → → → 【尝试解答】 (1)CD=CA + AD = CA + AB = CA + 3 3 1→ 2→ 2 → → (CB-CA)= CA+ CB,所以λ= ,故选A. 3 3 3 → + OC → =2 OD → ,又2 OA →+ (2)因为D为 BC边中点,∴ OB → +OC → = 0,∴ 2OA → + 2OD → = 0,即AO → =OD → ,故选A. OB

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【答案】
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(1)A

(2)A

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→ 1.解答本题(1)的关键是利用向量的加法与减法把 CD → 、CB → 表示出来.解答本题(2)的关键是OB → +OC → =2OD →. 用CA 2.进行向量的线性运算时,要尽可能转化到三角形或 平行四边形中,选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相 连的向量,运用向量加、减法运算及数乘运算来解.

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(1)(2013· 海口模拟)如图 4-1-2 所示, → =a,OB → =b,OC → =c,A、B、C 在 向量OA → =-3CB → ,则( 一条直线上,若AC 1 3 A.c=- a+ b 2 2 C.c=-a+2b ) 3 1 B.c= a- b 2 2 D.c=a+2b

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→ | = | AC → | = | AB → - AC → | = 2 , 则 | AB → + AC → |= (2) 若 | AB ________.

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→ =OA → +AC → =OA → +3BC → =OA → +3(OC → 【解析】 (1)∵OC → )=3OC → +OA → -3OB → ,∴2OC → =-OA → +3OB →, -OB 1 3 → ∴c=OC=- a+ b. 2 2 → |=|AC → |=|AB → -AC → |= |CB → |=2, (2)∵|AB → +AC → |为三角形高 ∴△ABC 是边长为 2 的正三角形, |AB → +AC → |=2 3. 的 2 倍,所以|AB
【答案】 (1)A (2)2 3

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设两个非零向量e1和e2不共线. → =e1-e2,BC → =3e1+2e2,CD → =-8e1-2e2, (1)如果AB 求证:A、C、D三点共线. → =e1+e2,BC → =2e1-3e2,AF → =3e1-ke2,且 (2)如果AB A、C、F三点共线,求k的值.
【思路点拨】 → =λCD →. AC → =λAF →. (2)A、C、F三点共线?存在实数λ,使AC (1)A、C、D三点共线?存在实数λ使

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【尝试解答】

→ = e1- e2,BC → = 3e1+2e2, (1)AB

→ =AB → +BC → = 4e1+ e2, ∴AC → =- 8e1-2e2, 又CD → =-2AC → ,∴AC → 与CD → 共线, 所以CD → 与CD → 有公共点 C, 又∵AC ∴ A、 C、 D三点共线. → = e1+ e2,BC → = 2e1-3e2, (2)∵AB → =AB → +BC → = 3e1- 2e2. ∴AC ∵ A、 C、 F三点共线,

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→ ∥AF → ,从而存在实数λ,使得AC → =λAF →. ∴AC ∴ 3e1-2e2= 3λe1- λke2, 又 e1, e2是不共线的非零向量, 因此k= 2. 所以实数 k的值为2.

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1.向量b与非零向量a共线的充要条件是存在唯一实数 λ,使b= λa.要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的 其他向量,要注意待定系数法和方程思想的运用. 2. (1)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应 注意当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线. → =λOB → + μOC → (μ,λ∈ R),若A、B、 C三点共线, (2)OA 则 λ+ μ= 1.

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(1)(2013· 南 昌 模 拟 ) 已 知 向 量 a , b 不 共 线 , c = ka + b(k∈R),d=a-b.如果c∥d,那么( )

A.k=1且c与d同向
C.k=-1且c与d同向

B.k=1且c与d反向
D.k=-1且c与d反向

(2)(2013·青岛模拟)对于非零向量a、b,“a+b=0”是 “a∥b”的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

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A.充分不必要条件 C.充分必要条件
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【解析】

(1)∵c∥d,∴c=λd,

即ka+b=λ(a-b)=λa-λb,

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∴k=λ=-1,故选D. (2)由a+b=0知道a与b互为相反向量,从而a∥b,充分 性成立.由a∥b知a=λb,λ≠-1时,a+b≠0, ∴必要性不成立.

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【答案】

(1)D

(2)A

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一般地,首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个 向量起点指向最后一个向量终点的向量.

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1.向量共线的充要条件中要注意“a≠0”,否则λ可能不

存在,也可能有无数个.
2 . 证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注 意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公 共点时,才能得出三点共线; 3 . 利用向量平行证明直线平行,必须说明这两条直线

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不重合.

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从近两年高考试题来看,平面向量的概念,线性运算及 向量共线是高考命题的重点,常与平面向量基本定理、平面 向量的数量积交汇命题,多以客观题形式呈现.在求解过程 中,不要忽视零向量的特殊性.

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易错辨析之七 忽视零向量的特殊性致误 (2013· 杭州模拟)下列命题正确的是( ) A.向量 a、b 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ , 使 b=λa → +BC → +CA → =0 B.在△ABC 中,AB C.不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|中两个等号不可能同 时成立 D.向量 a、b 不共线,则向量 a+b 与向量 a-b 必不共 线

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【错解】

错解一

a、b共线,必然是有且只有一个实
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数λ,使b=λa,故选A.

【答案】
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A

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错解二

→ 、BC →、 首尾相连,始终如一.在△ABC 中,AB

→ 围成了一个封闭图形,故AB → +BC → +CA → =0,故选 B. CA
【答案】
错解三

B
当a与b同向时,式子中第一个等号不成立;当

a与b反向时,式子中第二个等号不成立,当两个向量不共线
时,两个等号都不成立,故两个等号不可能同时成立,故选 C.

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【答案】

C

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错因分析:(1)错解一,忽视了a≠0这一条件. (2)错解二,忽视了0与0的区别. (3)错解三,忽视了零向量的特殊性,当a=0或b=0时, 两个等号同时成立.

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防范措施:(1)共线向量定理中,b=λa要求a≠0,否则λ
值可能不存在. (2) 向量的加减及数乘运算的结果,仍然是一个向量, 而不是一个数. (3)应熟练掌握向量不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|等号成

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立的条件.

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【正解】
不为零向量.

∵向量a与b不共线,∴a,b,a+b与a-b均

若a+b与a-b平行,则存在实数λ,使a+b=λ(a-b), 即(λ-1)a=(1+λ)b,

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λ无解,故假设不成立, 即a+b与a-b不平行,故选D.

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【答案】

D

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1.(2012·浙江高考)设a,b是两个非零向量(

)

A.若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥b
B.若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b| C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得b=λa D.若存在实数λ,使得b=λa,则|a+b|=|a|-|b| 【解析】 由|a+b|=|a|-|b|知(a+b)2=(|a|-|b|)2,即a2

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+2a·b+b2=|a|2-2|a||b|+|b|2, ∴a·b=-|a||b|.
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∵a· b=|a||b|cos〈a,b〉,∴cos〈a,b〉=-1,
∴〈a,b〉=π,此时a与b反向共线,因此A错误. 当a⊥b时,a与b不反向也不共线,因此B错误. 若 |a + b| = |a| - |b| ,则存在实数 λ =- 1 ,使 b =- a ,满 足a与 b反向共线,故C正确.若存在实数λ,使得b=λa,则 |a+b|=|a+λa|=|1+λ||a|,|a|-|b|=|a|-|λa|=(1-|λ|)|a|,只 有当-1≤λ≤0时,|a+b|=|a|-|b|才能成立,否则不能成立,

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故D错误.
【答案】 C
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2. (2011· 山东高考)设 A1,A2, A3, A4是平面直角坐标 → → → 系中两两不同的四点,若 A 1A3 = λ A1A2 (λ∈ R), A1A4 = μ 1 1 → A1A2 (μ∈ R),且 + = 2,则称A3, A4调和分割A1, A2.已 λ μ 知平面上的点C, D调和分割点A, B,则下面说法正确的是 ( ) A.C可能是线段AB的中点 B. D可能是线段AB的中点 C.C, D可能同时在线段AB上 D.C, D不可能同时在线段AB的延长线上

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新课标 ·文科数学(安徽专用)
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∵平面上的点 C, D调和分割点 A, B,则由 1 1 → → → → 条件知:AC= λAB(λ∈ R),AD= μAB(μ∈ R),且 + = 2.

【解析】

λ μ

自 主 落 实 · 固 基 础

1 对 A:若 C为线段 AB的中点,则 λ= , 2 1 ∴ = 0,显然不存在 μ, μ ∴ A是错误的,同理 B也是错误的; 对 C:若 C、 D同时在线段 AB上, 则 0< λ< 1, 0< μ< 1, 1 1 ∴ + > 2,不符合条件;

λ μ

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对D:若同时在线段AB延长线上, 1 1 则λ>1,μ>1,与 + =2矛盾,故不可能.

λ μ

∴C、D不可能同时在线段AB的延长线上,D正确.

【答案】

D

自 主 落 实 · 固 基 础
菜 单

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课后作业(二十四)

高 考 体 验 · 明 考 情

自 主 落 实 · 固 基 础
菜 单

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