高中数学第一章计数原理1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质教案2_3

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1.3.2
一、三维目标 1.知识与技能

“杨辉三角”与二项式系数的性质

(1)能认识杨辉三角,并能利用它解决实际问题. (2)记住二项式系数的性质,并能解决相关问题. 2.过程与方法 通过观察、分析杨辉三角数表的特点,掌握二项式系数的性质. 3.情感、态度与价值观 通过“杨辉三角”的学习,了解中华民族的历史,增强爱国主义意识. 二、重点、难点 重点:二项式系数的性质. 难点:杨辉三角的结构. 教学时从先简单(a+b) ,(a+b) ,(a+b) 的展开式中系数出发,进一步过渡到杨辉三角的结构,让学 生由浅入深地认识杨辉三角,从而化解难点. 引导学生建立“杨辉三角”与二项式系数的性质之间关系的直觉,通过例题与练习让学生应用性质解 决问题,更深地理解性质,以强化重点、化解难点. 三、教学建议 本节课是将二项式系数性质的讨论与“杨辉三角”结合起来,主要是因为“杨辉三角”蕴含了丰富的 内容,由它可以直观看出二项式系数的性质,教学时应采用启发探究式教学,让学生在观察中归纳总结二 项式系数的性质,在教学时可以引导学生从函数的角度研究二项式系数的性质,可以画出它的图象,利用 几何直观,数形结合地进行思考,这对学生发现规律、形成证明思路有很大好处. 四、教学流程 创设问题情境,提出问题.? 引导学生回答所提问题,认识杨辉三角、理解二项式系数性质 .? 通过 例 1 及互动探究,进一步认识杨辉三角的结构特点.? 通过例 2 及变式训练,使学生掌握展开式系数和的 求法.? 通过例 3 及变式训练,使学生掌握二项式系数的综合应用.? 归纳整理,进行课堂小结,整体认 识所学知识.? 完成当堂双基达标,巩固所学知识,并进行反馈、矫正. 1.使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之 间的直觉,并探索其中的规律. 2.掌握二项式系数的性质及其应用.
1 2 3

课标解读

1

3.掌握“赋值法”并会灵活运用.

“杨辉三角”与二项式系数的性质 【问题导思】 (1)观察“杨辉三角”发现规律

①第一行中各数之和为多少? 第二、三、四、五行呢?由此你能得出怎样的结论? ②观察第 3 行中 2 与第 2 行各数之间什么关系? 第 4 行中 3 与第 2 行各数之间什么关系? 第 5 行中的 4、6 与第 4 行各数之间有什么关系? 由此你能得出怎样的结论? 【提示】 (1)①2 2 2 2 2 ,第 n 行各数之和为 2
0, 1, 2, 3, 4

n-1

.

②2=1+1,3=2+1,4=1+3,6=3+3, 相邻两行中, 除 1 外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和, 设 Cn+1表示任一不为 1 的数,则它“肩上”两数分别为 Cn ,Cn,所以 Cn+1=Cn +Cn. 1.杨辉三角的特点 (1)在同一行中,每行两端都是 1,与这两个 1 等距离的项的系数相等. (2)在相邻的两行中,除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和,即 Cn+1=Cn +Cn. 2.二项式系数的性质 (1)对称性:在(a+b) 的展开式中,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即 Cn=Cn,Cn= Cn ,…,Cn=Cn . (2)增减性与最大值 :当 k<
n-1 r n-r n
0

r

r-1

r

r

r-1

r

r

r-1

r

n

1

n+1
2

时,二项式系数是逐渐增大的.由对称性知它的后半部分是逐渐减小

的,且在中间取得最大值.当 n 是偶数时,中间一项的二项式系数 C n 取得最大值;当 n 是奇数时,中间两 2 项的二项式系数 C

n

n-1
2
n

,C

n+ 1
2
n

相等,且同时取得最大值.

2

3.二项式系数的和 (1)Cn+Cn+Cn+…+Cn=2 .
0 1 2

n

n

(2)Cn+Cn+Cn+…=Cn+Cn+Cn+…=2

0

2

4

1

3

5

n-1

. 与杨辉三角有关的问题

例 1

图 1-3-1 如图 1 - 3 - 1 所示,在“杨辉三角”中,从 1 开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列:

1,2,3,3,6,4 ,10,5,…,记其前 n 项和为 Sn,求 S16 的值. 【思路探究】 求和即可. 【自主解答】 由题意及杨辉三角的特点可得: 观察数列的特点、它在杨辉三角中的位置,或者联系二项式系数的性质,直接对数列

S16=(1+2)+(3+3)+(6+4)+(10+5)+…+(36+9)
=(C2+C2)+(C3+C3)+(C4+C4)+…+(C9+C9) =(C2+C3+C4+…+C9)+(2+3+ …+9) =C10+ =164. 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路: (1)观察:对题目进行多角度观察,找出每一行的数与数之间,行与行之间的数的规律. (2)表达:将发现的规律用数学式子表达. (3)结论:由数学表达式得出结论. 本例条件不变,若改为求 S21,则结果如何? 【解】 S21=(1+2)+(3+3)+(6+4)+…+(55+11)+66 =(C2+C2)+(C3+C3)+(C4+C4)+…+(C11+C11)+C12 =(C2+C3+C4+……C12)+(2+3+…+11) =C13+ =286+65
3
3 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1

+ 2

+ 2

=351. 设(1-2x)
2 012

=a0+a1x+a2x +…+a2 012·x

2

2 012

(x∈R).

(1)求 a0+a1+a2+…+a2 012 的值. (2)求 a1+a3+a5+…+a2 011 的值. (3)求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2 012|的值. 【思路探究】 先观察所要求的式子与展开式各项的特点,用赋值法求解. 【自主解答】 (1)令 x=1,得

a0+a1+a2+…+a2 012=(-1)2 012=1.①
(2)令 x=-1,得 a0-a1+a2-…+a2 012=3 ①-②得 2(a1+a3+…+a2 011)=1-3
2 012 2 012

.②

, .
r r r

1-3 ∴a1+a3+a5+…+a2 011= 2
r r

2 012

(3)∵Tr+1=C2012(-2x) =(-1) ·C2 012·(2x) , ∴a2k-1<0(k∈N ),a2k>0(k∈N). ∴|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+…+|a2 012| =a0-a1+a2-a3+…+a2 012=3
2 012 *

.

1.本题根据问题恒等式的特点采用“特殊值”法即“赋值法”,这是一种重要的方法,适用于恒等式. 2.“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法,根据题目要求,灵活赋给字母不同值.一般 地,要使展开式中项的关系变为系数的关系,令 x=0 可得常数项,令 x=1 可得所有项系数之和,令 x=- 1 可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差. 已知(1-2x) =a0+a1x+a2x +…+a7x ,求 (1)a1+a2+…+a7; (2)a1+a3+a5+a7,a0+a2+a4+a6. 【解】 (1)∵(1-2x) =a0+a1x+a2x +…+a7x , 令 x=1,得
7 2 7 7 2 7

a0+a1+a2+…+a7=-1,①
令 x=0,得 a0=1, ∴a1+a2+…+a7=-2. (2)令 x=-1,得

a0-a1+a2-a3+…+a6-a7=37=2187,②
由①、②得

a1+a3+a5+a7=-1 094, a0+a2+a4+a6=1 093.

4

3 2 2 n 例 3 已知 f(x)=( x +3x ) 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大 992. (1)求展开式中二项式系数最大的项; (2)求展开式中系数最大的项. 【思路探究】 求二项式系数最大的项,利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大

的项;求展开式中系数最大的项,必须将 x,y 的系数均考虑进去,包括“+”、“-”号. 【自主解答】 令 x=1,则二项式各项系数的和为 f(1)=(1+3) = 4 ,又展开式中各项的二项式系数 之和为 2 .由题意知,4 -2 =992. ∴(2 ) -2 -992=0, ∴(2 +31)(2 -32)=0, ∴2 =-31(舍去),或 2 =32,∴n=5. (1)由于 n=5 为奇数,所以展 开式中二项式系数最大的项为中间两项,它们分别是
n n n n n 2 n n n n n n

假设 Tr+1 项系数最大,
?C53 ≥C5 ·3 , ? 则有? r r r+1 r+1 ? ?C53 ≥C5 ·3 ,
r r r-1 r-1

? ? ∴? ? ?

5! ×3≥ -r !r! 5! ≥ -r !r!

5! -r ! r- 5! -r ! r+

, ! ×3, !

3 1 ≥ ? ?r 6-r, ∴? 1 3 ≥ ? ?5-r r+1. 7 9 ∴ ≤r≤ ,∵r∈N,∴r=4. 2 2

1.求二项式系数最大的项,根据二项式系数的性质,当 n 为奇数时,中间两项的二项式系数最大;当

n 为偶数时,中间一项的二项式系数最大.
2.求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的,需根据各项系数的正、负变化情况,一般 采用列不等式组,解不等式的方法求得.
5

求(1+2x) 的展开式中的二项式系数最大项与系数最大项. 【解】 在二项式系数 C7,C7,C7,…,C7中,最大的是 C7与 C7,故二项式系数最大项是第 4 项与第 5 项,即 T4=C7(2x) =280x 与 T5=C7(2x) =560x . 设第 r+1 项的系数最大,则由?
? ?C72 ≥C7 2 , ? r r r+1 r+1 ?C72 ≥C7 2 ?
r r r-1 r-1
3 3 3 4 4 4 0 1 2 7 3 4

7

?Tr+1≥Tr, ? ?Tr+1≥Tr+2 ?

?

? ?3r≤16, ?? ?3r≥13, ?

由于 r 是整数,故 r=5,所以系数最大的是第 6 项,即 T6=C7(2x)

5

5

=672x . 忽视二项式系数和致误 例 4 已知(2x-1) 二项展开式中,奇次项系数的和比偶次项系数的和小 3 ,则 Cn+Cn+Cn+…+Cn的 值为( A.2
8

5

n

8

1

2

3

n

) B.2 -1
n
8

C.2

7

D.2 -1
2

7

【错解】 设(2x-1) =a0+a1x+a2x +…+anx , 令 A=a1+a3+a5+…,B=a0+a2+a4+…, 由题意知 B-A=3 . 令 x=-1 得 a0-a1+a2-a3+…+an(-1) =(-3) , ∴(a0+a2+…)-(a1+a3+…)=(-3) ∴B-A=(-3) =3 ,∴n=8. 由二项式系数性质可得,an+an+…+Cn=2 =2 【答案】 A 【错因分析】 误将 Cn+Cn+…+Cn看作是二项展开式各项二项式系数和,忽略了 Cn. 【防范措施】 (1)解答本题应认真审题,搞清已知条件以及所要求的结论,避免失误. (2)解决此类问题时,要对二项式系数的性质熟练把握,尤其是赋值法,要根据题目的要求,灵活赋给 字母所取的不同值. 【正解】 设(2x-1) =a0+a1x+a2x +…+anx ,且奇次项的系数和为 A,偶次项的系数和为 B. 则 A=a1+a3+a5 +…,B=a0+a2+a4+a6+…. 由已知可知:B-A=3 .令 x=-1, 得:a0-a1+a2-a3+…+ an(-1) =(-3) , 即:(a0+a2+a4+a6+…)- (a1+a3+a5+a7+…)=(-3) , 即:B-A=(-3) .∴(-3) =3 =(-3) ,∴n=8. 由二项式系数性质可得: Cn+Cn+Cn+…+Cn=2 -Cn=2 -1. 【答案】 B 二项式系数的有关性质的形成过程体现了观察——归纳——猜想——证明的数学方法,并且在归纳证
6
1 2 3 8 1 2 1 2 8

n

n

n

n

n

8

n

n

8

n

0

n

2

n

n

n

n

n

n

8

8

n

n

0

8

明的过程中应用了函数、方程等数学思想,大致对应如下: 对称性应 用了组合数的性质增减性与最大值应用了组合数公式、 分类讨论思想等系数和应用了赋值法、方程思想 1.(a+b) 的各二项式系数的最 大值为( A.21 【解析】 【答案】 B 2.在(a-b) 的二项展开式中,二项式系数与第 6 项二项式系数相同的项是( A.第 15 项 C.第 17 项 B.第 16 项 D.第 18 项
20 7

) D.7
0

B.35

C.34

)

【解析】 由二项式系数的性质知与第 6 项系数相等的项应为倒数第 6 项,即第 16 项. 【答案】 B 3.(1+2x) 的展开式中,二项式系数最大的项所在的项数是第________项. 【解析】 (1+2x) 的展开式中共有 2n+1 项,中间一项的系数最大,即第 n+1 项. 【答案】 n+1 4.已知(1-2x+3x ) =a0+a1x+a2x +…+a13x +a14x ,试求: (1)a0+a1+a2+…+a14; (2)a1+a3+a5+…+a13. 【解】 (1)在已知等式中令 x=1,则得:
2 7 2 13 14 2n 2n

a0+a1+a2+…+a13+a14=27=128.①
(2)在已知等式中令 x=-1,则得:

a0-a1+a2-a3+…-a13+a14=67.②
①-②得: 2(a1+a3+a5+…+a13)=2 -6 =-279 808. 因此,a1+a3+a5+…+a13=-139 904.
7 7

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