浙江省2014届理科数学复习试题选编21:等差数列(教师版)

浙江省 2014 届理科数学复习试题选编 21:等差数列
一、选择题 1 . (浙江省“六市六校”联盟 2013 届高三下学期第一次联考数学(理)试题)已知等差数列 ?a n ? 的前 n 项和

为 S n 且满足 S17 ? 0, S18 ? 0 ,则

S1 S 2 S , ,? , 17 中最大的项为 a1 a 2 a17





A.

S6 a6

B.

S7 a7

C.

S8 a8

D.

S9 a9

【答案】D 2 . (浙江省黄岩中学 2013 年高三 5 月适应性考试数学(理)试卷 )已知函数 f (x) 是定义在 R 上的单调增函

数且为奇函数,数列 ?an ? 是等差数列, a1007 ? 0 ,则 f (a1 ) ? f (a2 ) ? f (a3 ) ? ? ? f (a2012 ) ? f (a2013 ) 的值 A.恒为正数 【答案】A ( B.恒为负数 C.恒为 0 D.可正可负 )

3 . 浙 江 省 杭 州 四 中 2013 届 高 三 第 九 次 教 学 质 检 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 在 等 差 数 列 {an} 中 , 若 (

1 a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? a12 = 90,则 a10 ? a14 的值为 3
A. 12 : 【答案】A B.14 C.16 D.18





4 . 浙 江 省 金 丽 衢 十 二 校 2013 届 高 三 第 二 次 联 合 考 试 理 科 数 学 试 卷 ) 数 列 ?a n ? 满 足 (

a1 ? 1 ,


an?1 ? an ? n ? 1 ( n ? N * ),则
A.

1 1 1 ? ??? 等于 a1 a 2 a 2013
C.



2012 2013

B.

4024 2013

2013 1007

D.

1006 1007

【答案】C 5 . (浙江省宁波市金兰合作组织 2013 届高三上学期期中联考数学(理)试题)已知等差数列 ?an ? 的前 n 项

和为 S n , a5 ? 5 , S5 ? 15 ,则数列 ?

? 1 ? ? 的前 100 项和为 ? an an ?1 ?
C.





A.

100 101

B.

99 101

99 100

D.

101 100

【答案】A 6 . (浙江省杭州二中 2013 届高三年级第五次月考理科数学试卷)在等差数列 {a n } 中, S n 表示其前 n 项和,若

Sn ?

n m , S m ? (m ? n) ,则 S m ?n ? 4 的符号是 m n
B.负 C.非负
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( D.非正



A.正

【答案】A 解析:∵ Sn=na1+

n?

n-1? n m? d= (1),Sm=ma1+ 2 m

m-1? m d= (2), 2 n

2 1 ∴ 由(1)(2)得 d= ,a1= . mn mn 故 Sm+n-4=(m+n)a1+ ? m+n? ? m+n-1? ? d-4= 2 m-n? mn
2

>0.(m≠n)

7 . (浙江省新梦想新教育新阵地联谊学校 2013 届高三回头考联考数学(理)试题 ) 已知 ? an 为等差数

?

列, a4 ? a7 ? 2 , a5 a6 ? ?3 ,则 a1a10 ? A. ?99
【答案】B 8

( C. ?3 D. 2



B. ?323

. 2013 年 杭 州 市 第 一 次 高 考 科 目 教 学 质 量 检 测 理 科 数 学 试 题 ) 设 等 差 数 列 ?a n ? 满 (

足:

sin 2 a3 ? cos 2 a3 ? cos 2 a3 cos 2 a6 ? sin 2 a3 sin 2 a6 ? 1 ,公差 d ? (?1, 0). 若当且仅当 n ? 9 时,数 sin(a4 ? a5 )
( )

列 ?a n ? 的前 n 项和 S n 取得最大值,则首项 a1 的取值范围是 A. ?

? 7? 4? ? , ? 3 ? ? 6

B. ?

? 4? 3? ? , ? 2 ? ? 3

C.

? 7? 4? ? ? 6 , 3 ? ? ?

D.

? 4? 3? ? ? 3 , 2 ? ? ?

【答案】B 解:先化简:

= = =

(sin 2 a3 ? sin 2 a3 sin 2 a6 ) ? (cos 2 a3 ? cos 2 a3 cos 2 a6 ) ?1 sin( a4 ? a5 )

(sin a3 cos a6 ) 2 ? (cos a3 sin a6 ) 2 ?1 sin( a4 ? a5 ) sin( a3 ? a6 ) sin( a3 ? a6 ) ?1 sin( a4 ? a5 )

? sin( a3 ? a6 ) ? 1? ? ?? d ? ? a3 ? a6 ? ?3d ? 6
又当且仅当 n ? 9 时,数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n 取得最大值,即:

?a9 ? a1 ? 8d ? 0 4? 3? a9 ? 0, a10 ? 0 ? ? ? ? a1 ? 3 2 ?a10 ? a1 ? 9d ? 0
9 .( 浙 江 省 六 校 联 盟 2013 届 高 三 回 头 联 考 理 科 数 学 试 题 ) 已 知

{an }为等差数列, 4 a
A.-99
【答案】B

+7 a

= 52 , 则a a a = 1= 13 0 , 6 a
C.-3 D.2





B.-323

10. (浙江省温州十校联合体 2013 届高三期中考试数学(理)试题)巳知函数 f ( x) ? cos x( x ? (0, 2? )) 有两
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个不同的零点 x1、x2 ,方程 f ( x) ? m 有两个不同的实根 x3、x4 .若把这四个数按从小到大排列构成等 差数列,则实数 m 的值为 A. ? ( )

1 2

B.

1 2

C.

3 2

D. ?

3 2

【答案】D

11. (浙江省五校联盟 2013 届高三下学期第二次联考数学(理)试题)设数列

{an }

为等差数列,其前 n 项和为 成立,则 k 的值为 ( )

Sn

,已知

a1 ? a4 ? a7 ? 99, a2 ? a5 ? a8 ? 93
B.21

,若对任意 n? N * 都有

Sn ? Sk

A.22
【答案】C

C.20

D.19

12. (浙江省温州市十校联合体 2013 届高三上学期期末联考理科数学试卷)数列 ?a n ? 的首项为 3, ?bn ?为等差

数列且 bn ? a n ?1 ? a n n ? N ? .若则 b3 ? ?2, b10 ? 12 ,则 a 8 ? ( A.0
【答案】B

?

?

)





B.3

C.8

D.11

13. (2013 年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科数学试题) 设等差数列 ?a n ? 的前 n 项和是 Sn ,若

?am ? a1 ? ?am ?1 ( m?N ,且 m ? 2 ),则必定有
*





A. Sm ? 0 ,且 S m ?1 ? 0 C. Sm ? 0 ,且 S m ?1 ? 0

B. Sm ? 0 ,且 S m ?1 ? 0 D. Sm ? 0 ,且 S m ?1 ? 0

【答案】C 解:由题意,得: ? am ? a1 ? ? am ?1 ? ?

?a1 +am ? 0 . ?a1 ? am ?1 ? 0

显然,易得 Sm ?

a1 ? am a ? am?1 ? m ? 0 , Sm?1 ? 1 ? (m ? 1) ? 0 2 2

14. (浙江省杭州市 2013 届高三上学期期中七校联考数学(理)试题)已知正 项等差数列 {an }的前 n 项和为

S n ,且 S15 = 45 , M 是 a5 , a11 的等比中项,则 M 的最大值为
A. 3
【答案】A

( D. 36



B. 6

C. 9

15. (浙江省绍兴市 2013 届高三教学质量调测数学(理)试题(word 版) )设等差数列 ? a n ? 前 n 项和为 S

n

,

4 若 a ?S ?? , a 4 ? 3 ,则公差为 2 3
A. ? 1
【答案】C
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( C. 2 D. 3



B. 1

二、填空题 16. (浙江省杭州市 2013 届高三上学期期中七校联考数学(理)试题)已知等差数列 ?an ? , ?bn ? 的前 n 项和分

别为 Sn , Tn ,若

an 3n ? 1 S ,则 8 ? __. ? bn 2n ? 1 T8

【答案】

5 4

17. (浙江省海宁市 2013 届高三 2 月期初测试数学(理)试题) 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且

a7 ? ?2, S9 ? 18 ,则 S11 ? ____.
【答案】0 18. (浙江省温岭中学 2013 届高三高考提优冲刺考试(五)数学(理)试题)已知{an}为等差数列,Sn 为{an}

的前 n 项和,n∈N*,若 a2=18,S18=54,则 S10 值为_________________. 【答案】110 提示 由 a2=18,S18=54,可得 a1=20,d= -2.
19 . 浙 江 省 温 州 市 2013 届 高 三 第 三 次 适 应 性 测 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ( word 版 ) ) 在 等 差 数 列 ?a n ? (

中, a ? 2, a n ?1 ? a n ? 2(n ? N * ), 则 ?a n ? 的前 5 项和 S 5 ? ______.
【答案】30 20. (浙江省温州中学 2013 届高三第三次模拟考试数学 (理) 试题) 在等差数列 {an } 中,当且仅当 n ? 6 时, S n

取得最大值,则使 Sn ? 0 的 n 的最大值是________.
【答案】

11 或 12

21. (浙江省温岭中学 2013 届高三高考提优冲刺考试 (三) (理) 数学 试题 ) 等差数列 {an } 满足: a1 ? 1, a3 ? 2 ,

则 S 9 ? ______.
【答案】27 22. (浙江省考试院 2013 届高三上学期测试数学(理)试题)设公差不为零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.

若 a2 +a3 =a4 +a5 ,则 S6=________. 【答案】0
23. (浙江省重点中学 2013 届高三上学期期中联谊数学(理)试题) 等差数列 {a n } 中, S n 是前 n 项和,

2

2

2

2

a1 ? ?2010 ,
【答案】4026

S 2007 S 2005 ? ? 2 ,则 S 2013 的值为__________; 2007 2005
? a4 ? a6 ? 9 ,

24. (浙江省宁波一中 2013 届高三 12 月月考数学 (理) 试题) 公差为 1 的等差数列 {an } 满足 a2

则 a5 ? a7 ? a9 的值等于_________.
【答案】18
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25 . 浙 江 省 宁 波 市 2013 届 高 三 第 一 学 期 期 末 考 试 理 科 数 学 试 卷 ) 设等 差数 列 {an } 的 前 n 项和 为 (

Sn , 首项a1 ? 1, 且对任意正整数 n 都有
【答案】 n
2

a2 n 4n ? 1 ? ,则 S n =____. an 2n ? 1

26. (浙江省金华十校 2013 届高三 4 月模拟考试数学(理)试题)已知数列 {an } 是公差为 1 的等差数列,Sn

是其前 n 项和,若 S8 是数列 {S n } 中的唯一最小项,则数列 {an } 的首项 a1 的取值范围是_______.
【答案】 (?8, ?7) 27. (浙江省建人高复 2013 届高三第五次月考数学(理)试题) 已知等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,且

a1 ? a 5 ? 3a 3 , a 10 ? 14 ,则 S 12 ? ______.
【答案】84 三、解答题 28 .( 浙 江 省 宁 波 一 中 2013 届 高 三 12 月 月 考 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 数 列

{a n } 满 足

a1 ? 3, an ?1 ? 3an ? 3n ( n ? N *) ,数列 {bn } 满足 bn ? 3? n an .
(1)求证:数列 {bn } 是等差数列; (2)设 S n ?

S a a1 a2 a3 1 1 ? n ? 的所有正整数 n 的值. ? ? ? ? ? n ,求满足不等式 128 S2 n 4 3 4 5 n? 2

【答案】(1)证明:由 bn ? 3 an 得 an ? 3 bn ,则 an ?1 ? 3
n

?n

n ?1

bn ?1 .

代入 an ?1 ? 3an ? 3n 中,得 3n ?1 bn ?1 ? 3n ?1 bn ? 3n , 即得 bn ?1 ? bn ?

1 .所以数列 ?bn ? 是等差数列 3 1 等差数列, 3

(2)解:因为数列 ?bn ? 是首项为 b1 ? 3?1 a1 ? 1 ,公差为

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则 bn ? 1 ? 从而有

1 n?2 ,则 an ? 3n bn ? (n ? 2) ? 3n ?1 (n ? 1) ? 3 3

an ? 3n ?1 , n?2

an a1 a2 a3 1 ? 3n 3n ? 1 2 n ?1 故 Sn ? . ? ? ?? ? ? 1? 3 ? 3 ?? ? 3 ? ? 3 4 5 n?2 1? 3 2


Sn 3n ? 1 1 S 1 1 1 1 1 ,由 ? 2n ? n ? n ? . ? n ? ,得 S2 n 3 ? 1 3 ? 1 128 3 ? 1 4 128 S 2 n 4

即 3 ? 3n ? 127 ,得 1 ? n ? 4 . 故满足不等式

S 1 1 ? n ? 的所有正整数 n 的值为 2,3,4 128 S 2 n 4
1 1 , an ?1 ? (n ? N *) 2 2 ? an

29.浙江省杭州二中2013届高三6月适应性考试数学 ( (理) 试题) 数列 {an } 满足 a1 ?

(Ⅰ)求证: {

1 } 为等差数列,并求出 {an } 的通项公式; an ? 1
m 1 成立,求整数 m 的最 ? 1 ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Bn ,对任意 n ? 2 都有 B3n ? Bn ? 20 an

(Ⅱ)设 bn ? 大值.
【 答 案



解 :(1)

an ?1 ?

1 2 ? an

1 ? an ? 1

1 1 ?1 2 ? an

?

2 ? an 1 ? ?1 ? an ? 1 an ? 1



1 ? ?1 an ?1 ? 1 an ? 1 ? 1 1 =-2+(n-1)×(-1)=-(n+1) } 为首次为-2,公差为-1 的等差数列∴ an ? 1 an ? 1
n ?1 1 1 1 1 ? 1 ? 令 Cn ? B3n ? Bn ? ? +? + n n n ? 1 n+2 3n
∴ an ?

1

∴{

n n ?1

(2) bn ?

∴ Cn ?1 ? Cn ? =

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? +? + ? ?? ? = ? ? + ? n ? 1 3n+2 3n+3 3n+1 n ? 2 n +3 3(n+1) n ? 1 3n

1 2 1 2 2 ∴Cn+1-Cn>0 ∴{Cn}为单调递增数列 ? ? ? ?0 3n +2 3n+3 3n+1 3n+3 3n+3 1 1 1 1 19 m 19 ∴ ( B3n ? Bn ) min ? B6 ? B2 ? ? ? ? ? ∴ ∴m<19 又 m ? N ? ∴m 的最大值为 18 ? 3 4 5 6 20 20 20

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30. (2013 年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科数学试题)已知数列 ?a n ? 满足 a1 ? 1, an ?1 ? 1 ?

1 , 4an

其中 n? N . (Ⅰ)设 bn ?

*

2 2an ? 1

,求证:数列 ?bn ? 是等差数列,并求出 ?a n ? 的通项公式 an ;

(Ⅱ)设 cn ?

4an 1 * ,数列 ?cn cn ? 2 ? 的前 n 项和为 Tn ,是否存在正整数 m ,使得 Tn ? 对于 n? N 恒 cm cm ?1 n ?1

成立,若存在,求出 m 的最小值,若不存在,请说明理由. 【答案】解:(I)证明

bn ?1 ? bn ?

2 2a n ?1 ? 1

?

2 2a n ? 1

?

2 ? 1 2?1 ? ? 4a n ? ? ? ?1 ? ?

?

2 2a n ? 1

?

4a n 2 ? ? 2, 2a n ? 1 2a n ? 1

所以数列 ?bn ? 是等差数列, a1 ? 1, b1 ? 2 ,因此

bn ? 2 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ,
由 bn ?

2 2a n ? 1

得 an ?

n ?1 . 2n

(II) c n ?

4 ] ? 2 ?1 ? 2? ? , cn cn?2 ? ?, n?n ? 2? n ?n n? 2? ? ? 1 1 1 ? ? ? ? ? 3, 2 n ?1 n ? 2 ?

所以 Tn ? 2?1 ?

依题意要使 Tn ?

1 m(m ? 1) * 对于 n ? N 恒成立,只需 ? 3, c m c m ?1 4

解得 m ? 3 或 m ? ?4 ,所以 m 的最小值为 3 .
31. (浙江省嘉兴市第一中学 2013 届高三一模数学(理)试题)已知等差数列{an}的公差不为零,且 a3 =5, a1 ,

a2.a5 成等比数列 ( I ) 求数列{an}的通项公式: (II)若数列{bn}满足b1+ 2 b 2+ 4 b 3 + +2n bn=an且数列{bn}的前n项和Tn 试比较Tn与
-1

3n ? 1 的大小 n ?1

【答案】解:(Ⅰ)在等差数列中,设公差为

d ( d ? 0) ,
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?a 1 a 5 ? a 2 2 ?a 1 (a 1 ? 4d ) ? (a 1 ? d ) 2 ? ? ? ? ? a 1 ? 2d ? 5 ? a3 ? 5 由题 ? ,? ? ,

?a 1 ? 1 ? d?2 解得: ?
? a n ? a 1 ? ( n ? 1)d ? 1 ? ( n ? 1)2 ? 2n ? 1
n ?1 (Ⅱ) b1 ? 2b2 ? 4b3 ? ? ? 2 bn ? a n



32. (浙江省温州八校 2013 届高三 9 月期初联考数学(理)试题)等差数列 ?an ? 的首项为 a1 , 公差 d

? ?1 ,

前 n 项和为 S n (Ⅰ)若 S 5 ? ?5 ,求 a1 的值; (Ⅱ)若 S n ? an 对任意正整数 n 均成立,求 a1 的取值范围.
【答案】(Ⅰ)由条件得, S 5 ? 5a1 ?

5? 4 d ? ?5, 2

解得 a1 ? 1

1 2 1 n ? (a1 ? )n ? a1 ? 1 ? n 2 2 1 3 1 整理,变量分离得: (n ? 1)a1 ? n 2 ? n ? 1 ? (n ? 1)(n ? 2) 2 2 2 当 n ? 1 时,上式成立
(Ⅱ)由 S n ? an ,代人得 ?
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当 n ? 1 时, a1 ?

1 ( n ? 2) 2

1 n ? 2 时, (n ? 2) 取到最小值 0 , 2

?a1 ? 0

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