辽宁省大连24中高二数学理科下学期期末考试试卷

中高二数学理科下学期期末考试试卷 数学理科下学期期末考试 辽宁省大连 24 中高二数学理科下学期期末考试试卷
第 I 卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求。 1.复数

(1 + i ) 4 +2 等于 1 i
B.-2i
n →∞

( C.1-I D.2i (



A.2-2i

2.若 a, b ∈ R, 则 lim ( ) 存在的一个充分不必要条件是
n

a b



A.b>a B.b<a C.b<a<0 D.0<b<a 3.抽屈中有 10 只外观一样的手表,其中有 3 只是坏的,现从抽屈中随机地抽取 4 只,那么

1 等于 6





A.恰有 1 只是坏的概率 B.恰有 2 只是坏的概率 C.恰有 4 只是好的概率 D.至多 2 只是坏的概率 4.将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端点异色,如果只有 4 种颜色可供使用,则不同的染色的方法数为 ( ) A.24 B.60 C.48 D.72 5.设 f ( x) =

2 x p, x ≤ 0, 若l im f ( x) 存在,则常数 p 的值为 x x →0 e , x > 0





A.-1 B.0 C.1 D.e 6.环卫工人准备在路的一侧依次载种 7 棵树,现只有梧桐树和柳树可供选择,则相邻两棵 树不同为柳树的栽种方法有 ( ) A.21 B.34 C.33 D.14 7.已知(5x -3) 的展开式中各项系数的和比 ( x y
n

1 2n ) 的展开式中各项系数的和多 y
( )

1023, 则 n 的值为 A.9
m

B.10

C.11

D.12

8.设函数 f ( x ) = x + tx的导数f ′( x) = 2 x + 1, 则数列

1 (n ∈ N *) 的前 n 项和为 f ( n)
( )

A.

n 1 n

B.

n +1 n

C.

n n +1

D.

n+2 n +1

9.设ξ是离散型随机变量, P (ξ = x1 ) =

2 1 , P (ξ = x 2 ) = , 且x1 < x 2 , 又已知 3 3
( C.3 D. )

4 2 , Dξ = , 则x1 + x 2 的值为 3 9 5 7 B. A. 3 3 Eξ =

11 3

10.已知关于 x 的方程 x 2( a 3) x + 9 b = 0 ,其中 a,b 都可以从集合{1,2,3,4,
2 2

5,6}中任意选取,则已知方程两根异号的概率为 A.

( D.



1 6

B.

1 2

C.

1 12

1 3

11.设 n 是奇数, x ∈ R, a, b分别表示( x + i ) 2 n +1 的展开式中系数大于 0 与小于 0 的项的个 数,那么 A.a=b+2 ( B.a=b+1 C.a=b D.a=b-1 ) )

12.设函数 f ( x), g ( x)在[ a, b]上均可导, 且f ′( x) < g ′( x), 则当a < x < b 时,有 ( A. f ( x ) > g ( x ) C. f ( x ) + g ( a ) < g ( x ) + f ( a ) B. f ( x ) < g ( x ) D. f ( x ) + g (b) < g ( x ) + f (b)

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。把答案填空写在题中的横张上。 13.儿童救助协会由 10 位女性委员与 5 为男性委员组成,协会将选取 6 位委员组团出国考 察,如以性别作分层,并在各层依比例选取,则此考察团共有 种组成方式。 14.某中学有六位同学参加英语口语演讲比赛的决赛,决出了第一至第六的名次。评委告诉 甲、乙两位同学: “你们两位都没有拿到冠军,但乙不是最差的。 ”则六位同学的排名顺 序有 种不同情况(要求用数字作答) 。

15.若 f ( x ) =

1 1+ x 1 3 1+ x

在x = 0 处连续,则 f(0)=

16.某射手射击 1 次,击中目标的概率是 0.8,他连续射击 4 次,有各次射击是否击中目标 相互之间没有影响。有下列结论: (1)第二次击中目标的概率是 0.8; 3 (2)恰好击中目标三次的概率是 0.8 ×0.2; 4 (3)至少击中目标一次的概率是 1-0.2 ; 其中正确的结论的序号是 (写出所有正确结论的序号) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本题满分 12 分) 为应对艾滋病对人类的威胁,现在甲、乙、丙三个研究所独立研制艾滋病疫苗,他 们能够成功研制出疫苗的概率分别是

1 1 1 , , ,求: 2 3 4 99 ,至少需 100

(1)恰有一个研究所研制成功的概率; (2)若想在到研制成功(即至少有一个研究所研制成功)的概率不低于

要多少个乙这样的研究所?(参考数据:lg2=0.3010, lg3=0.4771)

18. (本题满分 12 分) 在 (2 x +

1 n ) 的展开式中,第三项的二项式系数比第二项的二项式系数大 27,求 x2

展开式中的常数项及系数最大的项。

19. (本题满分 12 分) 袋子中共有 12 个球,其中有 5 个黑球,4 个白球,3 个红球,从中任取 2 个球(假 设取到每个球的可能性都相同) 。已知每取到一个黑球得 0 分,每取到一个白球得 1 分, 每取到一个红球得 2 分。用ξ表示任取 2 个球的得分的差的绝对值。 (1)求椭机变量ξ的分布列及ξ的数学期望 Eξ; (2)记“不等式 ξx ξx +
2

1 > 0 的解集是实数集 R”为事件 A,求事件 A 发生的概率 2

P(A) 。 20. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) =

ax ( a ≠ 0) x +a
2
2

(1)当 a=1 时,求 f(x)的极值; (2)若存在 x 0 ∈ (0,1), 使f ′( x 0 ) [ f ( x 0 )] = 0 成立,求实数 a 的取值范围。

21. (本题满分 12 分) 已知正数数列 {a n }的前n项和S n =

1 1 (a n + ), 2 an

(1)求 a1 , a 2 , a 3 ; (2)猜想 an 的表达式,并用数学归纳法证明你的结论; .....

22. (本题满分 14 分) 设函数 f ( x) = (1 + x) 2 ln(1 + x) 2 (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若当 x ∈ [ 1, e 1] 时,不等式 f(x)<m 恒成立,求实数 m 的取值范围; (3)若关于 x 的方程 f(x)=x +x+a 在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根,求实数 a 的
2

1 e

取值范围。

[参考答案] 参考答案]

http://www.DearEDU.com 一、选择题:每小题 5 分,共计 60 分。 B C C D A B B C C B C 二、填空题:每小题 4 分,共计 16 分。 13.2100 14.384 15.

C

3 2

16.①③

三、解答题: 17.解: (1)记“恰有一个研究所研制成功”为事件 A,则

1 2 3 1 1 3 1 2 1 11 × × + × × + × × = 2 3 4 2 3 4 2 3 4 24 11 故恰有一个研究所研制成功的概率为 24 P ( A) =
(2)设至少需要 n 个乙这样的研究所,则有

…………6 分

2 99 2 n 1 2 1 1 ( )n ≥ ,( ) ≤ , n lg( ) ≤ lg( ) = 2 3 100 3 100 3 100

∵n ≥

2 ≈ 11.35 lg 3 lg 2

∵ n ∈ Z ,∴ n 的最小值=12
故至少需要乙这样的研究所 12 个。 18.解:由已知得: C n C n = 27 ,化简得: n 3n 54 = 0
2 1
2

…………12 分

解得:n=9,n=-6(舍) (1) Tr +1 = C 9 ( 2 x )
r
9r

…………4 分

x 2 r = C 9r 2 9 r x 93r
3 6

令 9 3r = 0, 则r = 3,∴ T4 = C 9 2 = 5376 故展开式的常数项为 5376; (2)若设第 r+1 项的系数最大,则有: …………8 分

C 2
r 9

9r 9r

≥C ≥C

r 1 9 r +1 9

2

9 r +1

C 2
r 9

2 9 r 1

解得:

7 10 ≤r≤ , 3 3

∴ r ∈ Z ,∴ r = 3,∴ T4 = 5376 为系数最大项(12 分)
19.解: (1)由已知可得ξ的取值为:0,1,2,

2 C 52 + C 4 + C 32 19 P(ξ = 0) = = , 2 66 C12 1 1 1 1 C 5 C 4 + C 4 C 3 32 P(ξ = 1) = = , 2 66 C12

P(ξ = 2) =

1 1 C 5 C 3 15 = , 2 66 C12

(4分)

∴ξ的概率分布列为: ξ P 0 1 2

16 5 33 22 19 16 5 31 ∴ξ的数学期望为 Eξ=0× +1× +2× = 66 33 22 33
(2)显然ξ=0 时不等式成立; 若ξ≠0,则有:

19 66

ξ > 0 0 <ξ < 2 1 2 = ξ 4ξ × 2 < 0 ∴ 0 ≤ ξ < 2,∴ P( A) = P(ξ = 0) + P (ξ = 1) =
20. (1)当 a = 1时, f ( x) = 解:

19 32 51 + = (12分) 66 66 66

x 2 x2 , f ′( x) = 2 , 令f ′( x) = 0, 得x = ± 2 (3 分) x2 + 2 ( x + 2) 2
- 2 0 极小 (- 2 , 2 ) + 0 极大

x

( - ∞ , -

2

( 2 +∞) -

2)
f′(x) f(x)


故函数的极大值、极小值分别为

2 2 和 。 分) (6 4 4

2 2 2 2a ax0 a 2 x 0 2a ax0 2 (2) f ′( x0 ) = 2 , f ′( x0 ) [ f ( x 0 )] = =0 2 ( x0 + 2) 2 ( x0 + 2) 2

2 2 2 2a ax 0 a 2 x0 = 0,∵ a ≠ 0,∴ (1 + a ) x0 = 2 2 2 当1 + a = 0时, 方程(1 + a ) x0 = 2无解;当1 + a ≠ 0时, x0 = 2 ∵ x0 ∈ (0,1),∴ x0 ∈ (0,1), 即0<

2 .(9分) 1+ a

2 < 1, 解得a > 1. 1+ a
(12 分)

因此,实数 a 的取值范围是(1,+∞). 21.解: (1) a1 = 1; a 2 = (2)猜想 a n =

2 1; a3 = 3 2

n n 1

证明:①当 n = 1时,由a1 = 1 = 1 成立 ②假设 n = k ( k ∈ N *)时结论成立, 即a k = 当 n = k + 1时, a k +1 = S k +1 S k =

k k 1,

1 1 1 1 (a k +1 + ) (a k + ) 2 a k +1 2 ak

=

1 1 1 1 (a k +1 + ) ( k k 1 + ) 2 a k +1 2 k k 1 1 1 1 = (a k +1 + ) ( k k 1 + k + k 1) 2 a k +1 2 1 1 (a k +1 + ) k 2 a k +1


( 7分 )

∴ a k +1 =


(9分)


2 a k +1 + 2 k a k +1 1 = 0, 又由a k > 0, 解得a k +1 =

2 k + 4k + 4 = k +1 k 2

这说明当 n=k+1 时结论成立。 由①②可知, a n =
2

n n 1 对任意正整数 n 都成立。 (12 分)
2

22.解:因为 f ( x ) = (1 + x ) ln(1 + x ) 所以f ′( x ) = 2(1 + x ) (1)令 f ′( x) = 2(1 + x)

2 1+ x

2 1 x 2 + 2x = 2[(1 + x) ]>0 >0 1+ x 1+ x 1+ x
(3 分)

2 < x < 1 或 x>0,所以 f(x)的单调增区间为(-2,-1)和(0,+∞) ; 2 1 x 2 + 2x = 2[(1 + x) ]<0 <0 1+ x 1+ x 1+ x

令 f ′( x ) = 2(1 + x )

1 < x < 0或x < 2, 所以f ( x) 的单调减区间(-1,0)和(-∞,-2) (6 。
分)

(2)令 f ′( x) = 0 (1 + x) = 1 x = 0或x = 2 (舍) ,由(1)知,f(x)连续,
2

1 1 ∵ f ( 1) = 2 + 2, f (0) = 1, f (e 1) = e 2 2, e e 1 所以, 当x ∈ [ 1, e 1]时, f ( x)的最大值为e 2 2. e
因此可得:f(x)<m 恒成立时,m>e -2 2 (3)原题可转化为:方程 a=(1+x)-ln(1+x) 在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根。
2

2 , 令g ′( x) = 0, 解得 : x = 1, 1+ x 当x ∈ (0,1)时, g ′( x) < 0,∴ g ( x)在(0,1)单调递减, 令g ( x) = (1 + x) ln(1 + x) 2 , 则g ′( x) = 1 当x ∈ (1,2)时, g ′( x) > 0,∴ g ( x)在(1,2)单调递增. (12分)

∵ g ( x)在x = 0和x = 2点处连续,
又 ∵ g (0) = 1, g (1) = 2 ln 4, g (2) = 3 ln 9,
且 2-ln4<3-ln9<1,∴ g (x ) 的最大值是 1, g (x ) 的最小值是 2-ln4。 所以在区间[0,2]上原方程恰有两个相异的实根时实数 a 的取值范围是: (14 分) 2-ln4<a≤3-ln9


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