【数学】北京市重点中学2014-2015学年高二下学期期中考试(理)

北京市重点中学 2014-2015 学年高二下学期期中考试(理) (考试时间:100 分钟 总分:100 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合要求的.) 1.已知复数 z 满足: zi ? 2 ? i ( i 是虚数单位) ,则 z 的虚部为( A. ? 2i B. 2 i C. 2 D. ? 2 ) 2.图书馆的书架有三层,第一层有 3 本不同的数学书,第二层有 5 本不同的语文书,第三 层有 8 本不同的英语书,现从中任取一本书,共有( )种不同的取法。 A.120 3.已知曲线 y ? A.3 4.由直线 y ? A. 2ln 2 B.16 C.64 D.39 ) x2 1 ? 3ln x ? 1 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为( 2 4 C.1 D. B.2 1 2 ) 1 1 , y ? 2 ,曲线 y ? 及 y 轴所围成的封闭图形的面积是( 2 x 1 5 B. 2 ln 2 ? 1 C. ln 2 D. 2 4 ) 5.以下说法正确的是( A.在用综合法证明的过程中,每一个分步结论都是结论成立的必要条件 B.在用综合法证明的过程中,每一个分步结论都是条件成立的必要条件 C.在用分析法证明的过程中,每一个分步结论都是条件成立的充分条件 D.在用分析法证明的过程中,每一个分步结论都是结论成立的必要条件 6.设函数 f ( x) ? x ln x ,则 f ( x ) 的极小值点为( A. x ? e B. x ? ln 2 C. x ? e 2 ) D. x ? 1 e 1 2 3 7.已知 2 ? 1 ? 2 , 2 ? 1 ? 3 ? 3 ? 4 , 2 ? 1? 3 ? 5 ? 4 ? 5 ? 6 ,. . . ,以此类推,第 5 个等 式为( ) 4 A. 2 ? 1? 3 ? 5 ? 7 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 5 B. 2 ? 1? 3 ? 5 ? 7 ? 9 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 4 C. 2 ? 1? 3 ? 5 ? 7 ? 9 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10 1 D. 25 ? 1? 3 ? 5 ? 7 ? 9 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10 8.在复平面内,复数 3 ? 4i , i ? 2 ? i ? 对应的点分别为 ? , ? ,则线段 ?? 的中点 C 对应 的复数为( A. ?2 ? 2i 9 .已知函数 f ? x ? ? ( ) ) B. 2 ? 2i C. ?1 ? i D. 1 ? i 1 2 x ? cos x, f ? ? x ? 是函数 f ? x ? 的导函数,则 f ? ? x ? 的图象大致是 4 10.设函数 y ? f ? x ? 在区间 ? a, b ? 上的导函数为 f ? ? x ? , f ? ? x ? 在区间 ? a, b ? 上的导函数 为 f ?? ? x ? ,若区间 ? a, b ? 上 f ?? ? x ? ? 0 ,则称函数 f ? x ? 在区间 ? a, b ? 上为“凹函数” ,已知 1 5 1 x ? mx 4 ?2 x 2 在 ?1,3? 上为“凹函数” ,则实数 m 的取值范围是( 20 12 31 31 A. ( ??, ) B. [ ,5] C. (??,3] D. ? ??,5? 9 9 f ? x? ? 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.) 11.函数 f ( x) ? x 3 ? ax ? 2 在 (1, ??) 上是增函数,则实数 a 的取值范围是 ) x2 y2 ? ? 1 表示焦点位于 y 轴上的椭圆 12.设集合 A ? ? 1,2,3,4,5?, a, b ? A ,则方程 a b 有 个. ? ? ?? ?sin x, x ? ?0, 2 ? ? ? ? ,则 2 13.设 f ( x) ? ? ?0 f ( x)dx 为 ? 1, x ? ? ? , 2 ? ? ? ?2 ? ? ? 14.已知复数 z ? x ? yi?x, y ? R, x ? 0?且 z ? 2 ? 3 ,则 。 y 的范围为 x . 15.在平面上,我们用一直线去截正方形的一个角,那么截下的一个直角三角形,按如图所 标边长,由勾股定理有 c ? a ? b .设想正方形换成正方体,把截线换成如图截面,这时 2 2 2 从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 O ? LMN ,如果用 S1 , S 2 , S 3 表示三个侧面面 2 积, S 4 表示截面面积,那么类比得到的结论是 . 16.对定义在区间 D 上的函数 f ( x) 和 g ( x) ,如果对任意 x ? D ,都有 f ( x) ? g ( x) ? 1成 立,那么称函数 f ( x) 在区间 D 上可被 g ( x) 替代, D 称为“替代区间” .给出以下命题: 1 替代; 2 1 1 3 ② f ( x) ? x 可被 g ( x ) ? 1 ? 替代的一个“替代区间”为 [ , ] ; 4x 4 2 2 ① f ( x) ? x 2 ? 1 在区间 (??,??) 上可被 g ( x ) ? x ? ③ f ( x) ? ln x 在区间 [1, e] 可被 g ( x) ? x ? b 替代,则 e ? 2 ? b ? 2 ; ④ f ( x) ? lg(ax2 ? x)(x ? D1 ), g ( x) ? sin x( x ? D2 ) ,则存在实数 a(a ? 0) ,使得 f ( x) 在 区间 D1 ? D2 上被 g ( x) 替代; 其中真命题的有 三、解答题(本大题共 4 小题,共 36 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(本小题共 8 分) 已知函数 f ( x) ? x

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