高中数学第一章计数原理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质习题新人教A版选修2_320181015488

第一章 1.3 1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质 A 级 基础巩固 一、选择题 1.若(3 x- 1 )n 的展开式中各项系数之和为 256,则展开式的常数项是( C ) x A.第 3 项 B.第 4 项 C.第 5 项 D.第 6 项 [解析] 令 x=1,得出(3 x- 1 )n 的展开式中各项系数和为(3-1)n=256,解得 n=8; x ∴(3 x- 1 )8 的展开式通项公式为: x Tr+1=Cr8·(3 x)8-r·(- 1x)r=(-1)r·38-r·Cr8·x4-r, 令 4-r=0,解得 r=4. ∴展开式的常数项是 Tr+1=T5,即第 5 项.故选 C. 2.若 9n+C1n+1·9n-1+…+Cnn- +11·9+Cnn+1是 11 的倍数,则自然数 n 为( A ) A.奇数 B.偶数 C.3 的倍数 D.被 3 除余 1 的数 [解析] 9n+C1n+1·9n-1+…+Cnn-+11·9+Cnn+1 =19(9n+1+C1n+19n+…+Cnn- +1192+Cnn+19+Cnn++11)-19 =19(9+1)n+1-19=19(10n+1-1)是 11 的倍数, ∴n+1 为偶数,∴n 为奇数. 3.(2018·黄浦区二模)二项式( x+ 1 )40 的展开式中,其中是有理项的项数共有 3x (B) A.4 项 B.7 项 C.5 项 D.6 项 [解析] 二项式( x+ 1 )40 的展开式的通项为 3x Tr+1=Cr40·( x)40-r·( 31x)r=Cr40·x1206-5r. ∵0≤r≤40,且 r∈N, ∴当 r=0、6、12、18、24、30、36 时,1206-5r∈Z. ∴二项式( x+ 1 )40 的展开式中,其中是有理项的项数共有 7 项. 3x 故选 B. 4.若 a 为正实数,且(ax-1x)2016 的展开式中各项系数的和为 1,则该展开式第 2016 项 为( D ) 1 A.x2016 1 B.-x2016 4032 C. x2014 4032 D.- x2014 [解析]由条件知,(a-1)2016=1,∴a-1=±1, ∵a 为正实数,∴a=2. ∴展开式的第 2016 项为: T2016=C22001156·(2x)·(-1x)2015 =-2C12016·x-2014=-4032x-2014,故选 D. 5.若二项式(2x+ax)7 1 的展开式中x3的系数是 84,则实数 a=( C ) A.2 B.5 4 C.1 D. 2 4 [解析] 二项式(2x+ax)7 的通项公式为 Tr+1=Cr7(2x)7-r(ax)r=Cr727-rarx7-2r,令 7-2r=- 3,得 r=5.故展开式中x13的系数是 C5722a5=84,解得 a=1. 6.(2016·南安高二检测)233 除以 9 的余数是( A ) A.8 B.4 C.2 D.1 [解析] 233=(23)11=(9-1)11=911-C111910+C21199+…+C11019-1=9(910-C11199+…+C1101- 1)+8, ∴233 除以 9 的余数是 8.故选 A. 二、填空题 7.若???x2+x13???n 展开式的各项系数之和为 32,则 n=__5__,其展开式中的常数项为 __10__(用数字作答). [解析] 令 x=1,得 2n=32,得 n=5,则 Tr+1=Cr5·(x2)5-r·???x13???r=Cr5·x10-5r,令 10 -5r=0,r=2.故常数项为 T3=10. 8.已知(x-ax)8 展开式中常数项为 1120,其中实数 a 是常数,则展开式中各项系数的 和是__1 或 38__. [解析] Tr+1=Cr8x8-r(-ax)r =(-a)r·Cr8·x8-2r,令 8-2r=0 得 r=4, 由条件知,a4C48=1120,∴a=±2, 令 x=1 得展开式各项系数的和为 1 或 38. 9.在二项式( x+3x)n 的展开式中,各项系数之和为 A,各项二项式系数之和为 B,且 A +B=72,则 n=__3__. [解析] 由题意可知,B=2n,A=4n,由 A+B=72,得 4n+2n=72,∴2n=8,∴n=3. 三、解答题 10.设(1-2x)2017=a0+a1x+a2x2+…+a2017x2017(x∈R). (1)求 a0+a1+a2+…+a2017 的值; (2)求 a1+a3+a5+…+a2017 的值; (3)求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2017|的值. [解析] (1)令 x=1,得: a0+a1+a2+…+a2017=(-1)2017=-1① (2)令 x=-1,得:a0-a1+a2-…-a2017=32017② ①-②得: 2(a1+a3+…+a2015+a2017)=-1-32017, ∴a1+a3+a5+…+a2017=-1+232017. (3)∵Tr+1=Cr2017·12017-r·(-2x)r =(-1)r·Cr2017·(2x)r, ∴a2k-1<0(k∈N*),a2k>0(k∈N*). ∴|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+…+|a2017| =a0-a1+a2-a3+…+a2016-a2017 =32017. B 级 素养提升 一、选择题 1.若 n 为正奇数,则 7n+C1n·7n-1+C2n·7n-2+…+Cnn-1·7 被 9 除所得的余数是( C ) A.0 B.2 C.7 D.8 [解析] 原 式 = (7 + 1)n - C n n = 8n - 1 = (9 - 1)n - 1 = 9n - C 1 n ·9n - 1

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