湖北省荆州中学2015-2016学年高二数学上学期第二次月考试题 文

荆州中学高二年级第二次质量检测数学卷(文科)

一、选择题 1.用辗转相除法求 459 和 357 的最大公约数,需要做除法的次数是( ) A.51 B.2 C.3 D.4

2.某校现有高一学生 210 人,高二学生 270 人,高三学生 300 人,用分层抽样的方法从这三 个年级的学生中随机抽取 n 名学生进行问卷调查,如果已知从高一学生中抽取的人数为 7,那 么从高三学生中抽取的人数应为( A. 10 B. 9 ) C.8 D.7 )

2 2 3. 圆 x ? y ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 与直线 2tx ? y ? 2 ? 2t ? 0 ? t ? R ? 的位置关系为(

A.相离

B.相切

C.相交

D.以上都有可能

4.学校小卖部为了研究气温对饮料销售的影响,经过统计,得到一个卖出饮料数与当天气温 的对比表: 摄氏温度 饮料瓶数 -1 3 3 40 8 52 12 72 17 122

? 为 6,据此模型预测气温为 30℃时销售饮料瓶数为( ) ? ?a ? 中的 b 根据上表可得回归方程 ? y ? bx
A. 141 B. 191 C. 211 D. 241

5. 设有一个正方形网格,每个小正方形的边长为 4,用直径等于 1 的硬币投掷到此网格上, 硬币下落后与网格线没有公共点的概率为( A. ) C.

1 4

B.

3 4

9 16

D.

7 16

6. 直线 ? a ? 2? x ? (1 ? a) y ? 3 ? 0 与 ? a ?1? x ? (2a+3) y+2 ? 0 互相垂直,则 a 为 A. ?1 B.1 C. ?1 D.
? 3 2

7. 已知命题 P: “若 x+y=0,则 x,y 互为相反数” ,命题 P 的否命题为 Q,命题 Q 的逆命题为 R,则 R 是 P 的逆命题的( A. 逆命题 B. 原命题 ) C. 逆否命题 D. 否命题 )

8. 设 ? 是△ABC 的一个内角,且 sin ? ? cos ? ? A.焦点在x轴上的椭圆 C.焦点在x轴上的双曲线

7 2 2 ,则 x sin ? ? y cos? ? 1 表示( 13

B.焦点在y轴上的椭圆 D.焦点在y轴上的双曲线
-1-

9. 若 AB 为过椭圆 ( ) A. 6

x2 y2 ? ? 1 的中心的弦, F1 为椭圆的左焦点,则? F1 AB 面积的最大值为 25 16
B. 12 C. 24 D. 36

10. 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F , 若过 F 且倾斜角为 的直线与双曲 2 4 a b
) D. [ 2, ??)

线的右支有两个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( A. (1, 2) B. [2, ??) C. (1, 2)

1B 1C1D 1 中,E、F 分别是正方形 ADD 1A 1和 11. 正方体 ABCD ? A

ABCD 中心,G 是 CC1 中

点,设 GF , C1E 与 AB 所成角分别是 ?、? ,则 ?+ ? ( A. 120
0

) D. 90
0

B. 60

0

C. 75

0

12. 点 P 是双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 与圆 x 2 ? y 2 ? a 2 ? b 2 在第一象限的交点, F1 、 2 a b


F2 分别为双曲线左右焦点,且 PF 1 ? 3 PF 2 ,则双曲线的离心率为 (
A. 5 B.

5 2

C. 10

D.

10 2

二、填空题 13.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x ? y ? 4 上有且仅有四个点到直线 12x-5y+c=0 的
2 2

距离为 1,则实数 c 的取值范围是

.

14. 长为 3 的线段 AB 的端点 A、B 分别在 x、y 轴上移动,动点 C(x,y)满足 AC ? 2CB , 则动点 C 的轨迹方程是 .

15.已知 p : ?4 ? x ? a ? 4, q : ( x ? 2)(x ? 3) ? 0,且 q 是 p 的充分而不必要条件 ,则 a 的取值 范围为 .

16. .如果函数 y ?| x | ?2 的图像与曲线 C : x2 ? y 2 ? ? 恰好有两个不同的公共点,则实数 ? 的 取值范围为 .

三、解答题

-2-

17.求经过直线 l1 : 3x ? 4 y ? 5 ? 0, l2 : 2x ? 3 y ? 8 ? 0 的交点 M,且满足下列条件的直线方程: (1)与直线 2x+3y+5=0 平行; (2)与直线 2x+3y+5=0 垂直.

18. 设命题 p : ?x ? R, 使x2 ? 2ax ? 2 ? a ? 0 ;命题 q :不等式 ax ? 2ax ? 2 ? 0 对任意
2

x ? R 恒成立.若 ? p 为真,且 p 或 q 为真,求 a 的取值范围.

19. 改革开放以来,我国高等教育事业有了突飞猛进的发展,有人记录了某村 2001 到 2005 年五年间每年考入大学的人数, 为了方便计算, 2001 年编号为 1,2002 年编号为 2, ??, 2005 年编号为 5,数据如下: 年份(x) 人数(y) 1 3 2 5 3 8 4 11 5 13

(1)从这 5 年中随机抽取两年,求考入大学的人数至少有 1 年多于 10 人的概率; (2)根据这 5 年的数据,利用最小二乘法求出 y 关于 x 的回归方程 y ? b x ? a ,并计算 第 8 年的估计值.
? ? ?

?? 参考:用最小二乘法求线性回归方程系数公式 b

? x y ? nx ? y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2

i

? nx

2

? ? y ? bx , a

20.已知函数 f(x)=-x +ax-b. (1)若 a、b 分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数,求 f(x)=0 有解的概率; (2)若 a、b 都是从区间[0,4]任取的一个实数,求 f (1)>0 成立的概率。

2

-3-

0 21. 如 图 在 三 棱 锥 S ? ABC 中 ?ACB ? 90 , SA ? 面ABC , AC ? 2 , BC ? 13 ,

SB ? 29 .
(1)证明 SC ? BC ; (2)求侧面 SBC 与底面 ABC 所成二面角的大小; (3)求点 C 到平面 SAB 的距离.

S B

A

C

22.已知椭圆 C :

x2 y2 2 ,且过点 ?0 ,1? . ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率 e ? 2 2 a b

(1)求椭圆 C 的方程; (2)如果直线 x ? t ( t ?R)与椭圆相交于 A 、 B ,若 E ? 2 ,0 , D 求证:直线 EA 与直线 BD 的交点 K 必在一条确定的双曲线上; (3) 若直线 l 经过椭圆 C 的左焦点交椭圆 C 于 P 、 Q 两点, O 为坐标原点,且

?

?

?

2 ,0 ,

?

1 OP ? OQ ? ? ,求直线 l 的方程. 3

-4-

荆州中学高二年级第二次质量检测数学卷(文科) 参考答案 CACBC CDBBC DD 14. x ?
2

13. (-13,13)

1 2 y ?1 4

15.

??1,6?

16. {2} ∪ (4, ??)

17、解:由题意知:两条直线的交点为(-1,2) ,???????????????2分 (1)因为过(-1,2) , 所以与 2x+3y+5=0 平行的直线为 2x+3y-4=0. ?????????????????????6 分 (2)设与 2x+3y+5=0 垂直的直线方程为 3x-2y+b=0, 又过点(-1,2) ,代入得 b=7, 故,直线方程为 2x+3y+7=0?????????????????????10 分 18、解:由命题 p ,得 a ? ?2或a ? 1 ,??????????????????2 分 对于命题 q ,因 x ? R , ax ? 2ax ? 2 ? 0 恒成立,
2

所以 Δ =2a -8a<0 或 a ? 0 ,即 0 ? a ? 4 .???????????????6 分 由题意知 p 为假命题,q 为真命题,
2

??2 ? a ? 1 ?? ? 0 ? a ?1 , ?0?a?4

? a 的取值范围为 [0,1) ?????????????????????12 分
19、 (1)从这 5 年中任意抽取两年,所有的事件有:12,13,14,15,23,24,25,34,35,45 共 10 种 至少有 1 年多于 10 人的事件有:14,15,24,25,34,45,45 共 7 种,则 至少有 1 年多于 10 人的概率为 P ?

7 .??????????????????6 分 10

则第 8 年的估计值为 2.6 ? 8 ? 0.2 ? 21 .??????????????????12 分 20、 (1)解:(a,b)的所有结果有 36 种,设“f(x)=0 有解”为事件 A,则 2 (a,b)应满足 a -4b≥0.这样的(a,b)有 19 个,即 (2,1) 、(3,1)、(3,2)、(4,1) 、 (4,2)、 (4,3)、 (4,4) 、(5,1) (5,2)、(5,3)、 (5,4)、(5,5)、(5.6)、(6,1)、 19 (6,2)、(6,3)、(6,4)、(6,5)、(6,6).所以 P(A)= . ?? 6 分 36 (2)解:f(1)=-1+a-b>0,即 a-b>1,如图: 9 9 S△ABC 2 9 A(1,0),B(4,0),C(4,3),S△ABC= ,P= = = . 2 S矩 4×4 32 12 分
-5-

21. 解: (1)略 ; (2) 60 ; (3)

?

2 221 17

22,解: (1)依题意有: b ? 1,

c 2 ,又 a 2 ? c 2 ? 1 , ? a 2
x2 ? y 2 ? 1 ――――――――3 分 2 t2 2 ? y0 ? 1, 2

解得: a ? 2, c ? 1,故椭圆 C 的方程为:

(2)依题意可设 A(t , y0 ), B(t ,? y0 ), K ( x, y).且有

又 EA : y ?

y0 t? 2
2

( x ? 2 ) , DB : y ?

? y0 t? 2

(x ? 2) ,

? y0 1 t2 2 2 2 故y ? 2 ( x ? 2) ,由 ? y 0 ? 1 得: y 0 ? ?2 ? t 2 ? 2 2 t ?2
2

代入即得 y ?
2

1 2 x2 ( x ? 2) ,即为: ? y2 ? 1, 2 2

所以直线 EA 与直线 BD 的交点 K 必在双曲线

x2 ? y2 ? 1上 2

―――7 分

(3)(A)当直线 l 的斜率不存在时, P? ? 1,

? ?

1 1 1 ? ? 1 ? ?, Q? ? 1,? ? ,此时 OP ? OQ ? 1 ? ? ,不 2 2 2? ? 2?

满足要求; (B)当直线 l 的斜率存在时设为 k ,则直线 l 为: y ? k ?x ? 1? ,代入

x2 ? y 2 ? 1 得: 1 ? 2k 2 x 2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 , 2
由 OP ? OQ ? ? 即: 1 ? k

?

?

1 1 2 得: x1 x 2 ? k ? x1 ? 1?? x 2 ? 1? ? ? , 3 3
2 1 2k 2 ? 2 1 2 ? 4k ? k 2 ?x1 ? x 2 ? ? k 2 ? ? ;则: 1 ? k 2 ? k ? k2 ? ? ; 2 2 3 3 1 ? 2k 1 ? 2k

?

2

?x x

1 2

?

?

2 解得: k ? 1 ? k ? ?1 ;直线 l 过椭圆 C 的左焦点,故恒有两个交点,则 k ? ?1 满足要求,

故直线 l 的方程为: y ? x ? 1 或 y ? ? x ? 1 ――――12 分

-6-


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