2013版高中数学全程学习方略配套课件:2.1.2数列的通项公式与递推公式(人教A版必修5)_图文

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【思考】

【点拨】

由递推公式写出数列的项 【名师指津】由递推公式写出数列的项的方法. (1)根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部 分的关系,依次代入计算即可; (2)解答这类问题时还需注意:若知道的是首项,通常将所给公 式整理成用前面的项表示后面的项的形式;

(3)若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前
面的项的形式.

【特别提醒】若递推公式涉及数列中相邻的两项,需知道 一个具体的项;若递推公式涉及数列中相邻的三项,需知 道两个具体的项.

【例1】在数列{an}中,已知a1=2,a2=3,an+2=3an+1-2an(n≥1) 写出此数列的前六项. 【审题指导】通过观察,此题的递推公式是数列中相邻三项的

关系式,知道前两项就可以求出后一项.
【规范解答】a1=2,a2=3,

a3=3a2-2a1=3×3-2×2=5,
a4=3a3-2a2=3×5-2×3=9, a5=3a4-2a3=3×9-2×5=17, a6=3a5-2a4=3×17-2×9=33.

由递推公式求通项公式 【名师指津】 1.由递推公式写出通项公式的步骤: (1)先根据递推公式写出数列的前几项(至少是前3项);

(2)根据写出的前几项,观察归纳其特点,并把每一项统
一形式;

(3)写出一个通项公式并证明.

2.用“累加法”求数列的通项公式.

当an-an-1=f(n)(n≥2)满足一定条件时,常用an=
(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1累加来求通项an.

【特别提醒】求出通项公式后一定要验证首项是否满足此通项
公式.

【例2】已知数列{an}满足a1=1,an=an-1+

1 (n≥2, n(n ? 1)

n∈N*),写出该数列的前五项以及它的一个通项公式. 【审题指导】由a1=1以及递推公式写出前五项,再观察前 五项的特点,总结规律,猜想归纳出一个通项公式,可结合
1 1 1 ? ? 裂项相消法与累加法来证明. n(n ? 1) n ? 1 n

【规范解答】a1=1,a2=a1+ 1 =1+ 1 ? 3 ,

2 ?1 2 2 a3=a2+ 1 ? 3 ? 1 ? 5 ,a4=a3+ 1 ? 5 ? 1 ? 7 , 4 ? 3 3 12 4 3? 2 2 6 3 a5=a4+ 1 ? 7 ? 1 ? 9 . 5 ? 4 4 20 5 3 5 7 9 故数列的前5项分别为1, ,, , . 2 3 4 5 由于1= 2 ? 1 ? 1,3 ? 2 ? 2 ? 1,5 ? 2 ? 3 ? 1,7 ? 2 ? 4 ? 1,9 ? 2 ? 5 ? 1, 1 2 2 3 3 4 4 5 5 ∴数列{an}的一个通项公式为an= 2n ? 1 ? 2 ? 1 . n n

证明:由an=an-1+ an-an-1=

1 (n≥2)得 n(n ? 1)

1 (n≥2) n(n ? 1)

∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1
? 1 1 1 ? ??? ?1 n(n ? 1)(n ? 1)(n ? 2) 2 ?1

1 1 1 1 1 1 1 ? )?( ? ) ??? ( ? ) ? (1 ? ) ?1 n ?1 n n ? 2 n ?1 2 3 2 1 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 2 ? (n ? N *,n ? 2) . n n 又当n=1时,a1=2- 1 =1也成立. 1 1 故an=2- (n∈N*) n ?(

用累乘法求数列的通项公式 【名师指津】累乘法的使用条件和方式.

(1)累乘法:当 a n =g(n)(n≥2)满足一定条件时,常
a n ?1
a 2 累乘. 用an= a n · a n ?1· a n ?2· ? · · a1 a n ?1 a n ?2 a n ?3 a1

(2)使用累乘法或迭代法要运用函数的运动变化的观点,不断
地变换递推公式中的“下标”,直到可以用首项或前几项表示是

解题的关键.

【例】设{an}是首项为1的正项数列,且 通项公式.

a n ?1 n ? . 求它的 an n ?1

【审题指导】由题目知 a n ?1 ? n . 符合 a n =g(n)的形式
an n ?1 a n ?1

且a1=1,利用累乘法求通项即可. 【规范解答】
a n a n ?1 a n ?1 n ? 2 1 1 · ·? · 2· a1 ? · ·? · ·1 ? . a n ?1 a n ?2 a1 n n ?1 2 n ∴ a n= 1 . n

∵an=

【典例】(12分)已知数列{an}满足a1=2,an+1=an+ ln(1+ 1 ),写出该数列的前四项并求数列的通项公式.
n

【审题指导】题目中给出a1=2以及递推公式,逐次写出前四 项即可,由an+1= an+ln(1+ 利用累加法求通项.
1 1 )可得an+1-an=ln(1+ ), n n

【规范解答】∵a1=2,an+1=an+ln(1+ 1 ),

∴a2=a1+ln(1+1)=2+ln2,

n ????????2分

a3=a2+ln(1+ 1 )=2+ln2+ln 3 =2+ln3,
2 2 a4=a3+ln(1+ 1 )=2+ln3+ln 4 =2+ln4. 3 3

???????3分 ???????4分

可猜想an=2+lnn(n∈N*).

????????5分

由an+1=an+ln(1+ 1 )可得:
an+1-an=ln(1+ 1 )=ln(n ? 1)
n n n

????????7分

∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+?+(a3-a2) +(a2-a1)+a1=ln n +ln n ? 1 +ln n ? 2 +?+ln 3
n ?1 n?2 n ?3 2

+ln 2 +2
1

????????????????9分

=ln(

n n ?1 n ? 2 3 2 · · · ?? ? )+2=lnn+2,??????11分 n ?1 n ? 2 n ? 3 2 1

∴该数列的通项公式为an=lnn+2(n∈N*).

????12分

【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下:

1.数列{an}中,a1=-1,an+1=an-3,则a3等于( (A)-7 (B)-4 (C)-1 (D )2



【解析】选A.a2=a1-3=-1-3=-4,a3=a2-3=-4-3=-7.

2.数列0,2,4,6,?的递推公式可以是( (A)an+1=an+2 (C)an+1=an,a1=0 (B)an+1=2an (D)an+1=an+2,a1=0



【解析】选D.选项A、B中没有明确a1的大小,故选项A、B 不是;选项C中,a2=0, a3=0,a4=0,则选项C不是;选项D中, a2=2,a3=4,a4=6,则选项D是.

3.下列数列满足an+1= 1 的是(
an



(A)1,1,1,1,?
(C)3,1,3,1,?

(B)2,2,2,2,?
(D)-1,1,-1,1,?
an

【解析】选A.因为选项A中, a1=1,an+1= 1 , 则能依次求出
a2=a3=a4=1.

4.已知数列{an}满足a1= 1 , an=(n-1) an-1(n≥2),则
2

a4=_______.

【解析】a2=(2-1)a1= , a3=(3-1)a2=1,
a4=(4-1)a3=3. 答案:3

1 2

f n ?1 5.已知f(1)=2,f(n+1)= ? ? (n∈N*),则f(4)=________. 2

【解析】∵f(1)=2,f(n+1)=
2 4 8

f ?n? ?1 2

,

3 ∴f(2)= , f(3)= 5 , f(4)= 9 . 9 答案: 8

6.设数列{an}满足a1=2,an=2+ 1 (n>1,n∈N*),试写出这
a n ?1

个数列的前四项. 【解析】∵a1=2,an=2+ ∴a2=2+ 1 ? 5 ,
a1 2 1 a n ?1

(n>1,n∈N*),

a3=2+ 1 ? 12 ,
a2 5

a4=2+ 1 ? 29 .
a3 12


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