江苏省苏州市第五中学高中数学教案苏教版必修四第一章《三角函数》1.1任意角、弧度

第 1 章 三角函数

1.1 任意角、弧度

一、 学习内容、要求及建议

知识、方法

要求

建议

任意 角的概念
弧度 的意义

终边相同的角的 表示
判断角所在的象 限
弧度与角度的换 算
特殊角的弧度数 弧度制下的弧长 公式

理解

正角、负角的引入可类比正、 负数;用集合和符号语言正确表示 终边相同的角;弄清 1 弧度的角的 含义;了解角的集合与实数集 R 之 间建立起一一对应的关系.学会在 平面内建立适当的坐标系来讨论任 意角.

二、预习指导

1. 预习目标
(1)理解正角、负角、零角等概念;掌握象限角的概念及判定方法. (2)会写出终边相同的角的集合、某个区间上角的集合、终边在坐标轴上的角的集合以及象限 角的集合. (3)准确地掌握 1 弧度的角的定义以及弧度制引进的意义;能根据弧长与半径的关系,用弧度 制确定角的大小. (4)能熟练地进行弧度制和角度制这两种量角制之间的换算,并能熟记特殊角的弧度数. (5)掌握弧度制下弧长和扇形的面积公式,并能运用其解决简单的实际问题. (6)理解用弧度制度量角,使角的集合与实数集 R 之间建立一一对应的关系.
2. 预习提纲
(1)查阅小学教材,复习角的概念,并与高中教材中角的概念进行对比;查阅初中教材(九年级 上册)“弧长及扇形的面积”,复习角度制下的弧长公式、扇形面积公式,并尝试与高中弧度制 下公式的互化. (2)对任意角的概念可从实际生活中寻找实例,请举例并与同学交流辨析. (3)从具体实例中观察终边相同的角的关系并归纳小结,学会用集合和符号语言正确地表示出 来. (4)理解 1 弧度的角的含义,体会弧度制引入的意义掌握“弧度数”与“角度数”换算的关键. (5)教材第 6 页例 2 求解中蕴含着分类讨论的思想,为什么要对 k 分奇数和偶数进行分类,思 考其中的缘由. (6)上网查阅弧度制的历史和有关欧拉的资料. (7)上网查阅了解军事上用密位制度量角,了解密位制与角度值的关系.
3. 典型例题
例 1 判断下列说法是否正确. (1) 终边相同的角一定相等; (2) 锐角都是第一象限角;

(3) 第一象限的角都是锐角; (4) 小于 90°的角都是锐角. 分析:根据各类角的定义、范围加以辨别.
解:(1) 不正确.如 390 角与 30 角的终边相同,但不相等.

(2) 正确.因为锐角是指大于 0 小于 90 的角,其终边落在第一象限.

(3) 不正确.如 390 角的终边在第一象限,但它不是锐角.
(4) 不正确.如负角都是小于 90°的角,但都不是锐角. 点评:本题考查了关于各类角的定义及范围,要求学生概念清晰,并善于用举反例的方法进 行概念辨析.
例 2 试写出终边在直线 y ? x 上的所有角的集合,并指出上述集合中介于 ?180 和180 之间
的角.
分析:先找出终边在直线 y ? x 上且在 (0 ,360 ) 内的角,再写出与其终边相同的角的集合,

最后再考虑形式上的合并,然后给 k 赋值得出介于 ?180 和180 之间的角

解:终边在直线 y ? x 上且在 (0 ,360 ) 内的角为 45 和 225 ,所以终边与其相同的角的集 合为{x | x ? k ?360 ? 45 ,或x ? k ?360 ? 225 ,k ? Z} ,即

{x | x ? k ?180 ? 45 , k ? Z}.

取 k =-1 和 0,得 ?135 和 45 介于 ?180 和180 之间.

点评:本题考查了终边相同的角的集合表示,并要求在具体范围内找出与之终边相同的角.本 题终边是一条直线,解题时需要先从射线入手,最后再进行合并,有一定难度. 例 3 如图,用弧度制写出顶点在原点,始边重合于 x 轴正半轴,终边落在阴影部分的角的集 合(包括边界).

y

y B

y

B ox
60 A

60 o 60

B x

150

o

x

A

A

分析:先确定角的终边 OA、OB 的角,再依照逆时针方向旋转规则,用终边相同的角的写法 表示出符合条件的范围.
解:(1) 图中以 OB 为终边的角看成? ,以 OA 为终边的角看成 7? ,再根据终边相同的 6

角的表示方法,得到阴影部分的角的集合为{x | 2k? ? ? ? x ? 2k? ? 7? , k ? Z} . 6

(2) 图中以 OA 为终边的角看成 ? ? ,以 OB 为终边的角看成 2? ,所以得到阴影部

6

3

分的角的集合为{x | 2k? ? ? ? x ? 2k? ? 2? , k ? Z} .

6

3

(3) 把图中阴影部分看成是由 AB 逆时针旋转 ? 至 x 轴得到,所以阴影部分的角的集 6

合为{x | k? ? 5? ? x ? k? ? ? , k ? Z}. 6
点评:此类问题需要注意的是阴影部分的边界所表示的角是互相联系的.按逆时针方向选定

前者为区域的起始边界,后者为终止边界,若起始边所表示的角为 ? ,由起始边旋转至终止

边所旋转的最小正角为? ,则终止边所表示的角 ? ? ? ?? .本题还需要注意两点,一是弧度

制的正确使用;二是旋转边为直线的表示方法. 例 4 一扇形 AOB 的面积是 1cm2,它的周长是 4cm,求扇形的半径及圆心角∠AOB. 分析:根据弧长及扇形面积计算公式列出方程组求解即可.
解:设扇形的半径为 r cm,圆心角∠AOB 为? rad,



?2r ? ?1 ?? 2

? ? r ? 4, ? r 2 ? 1,

解之得

??

? ?

r

? 2, ? 1.

答:扇形的半径为 1cm,圆心角∠AOB 的弧度数为 2rad. 点评:本题考查了弧长及扇形面积计算公式及方程(组)的思想方法,需要注意的是公式中的圆 心角应采用弧度制,尽量避免初中所学的角度制下的计算公式.
4. 自我检测
(1)在 0°~360°之间,

①与 ?55 30? 终边相同的角是_________;

②与-990°终边相同的角是_____________.
(2)若? 是第四象限角,则? ? ? 是第_________象限角.

(3)写出与角 15°终边相同角的集合,并把该集合中适合不等式-1080°≤β< -360°的元素 β

求出来.

?
(4)

? _________度;-72°=_____________rad.

5

(5)在△ABC 中,若∠A∶∠B∶∠C = 3∶5∶7,则∠A=________rad,∠B=_________rad.

(6)半径为 2 的圆中,

①大小为 ? 的圆周角所对的弧长是_________; 3

②长为 2 的弧所对应的圆心角为_____________rad.

三、 课后巩固练习

A组

1.若将时钟拨慢 5 分钟,则分针转了_________度,时针转了_________度. 2.与 120°角终边相同的角的集合是_______________________.

3.把下列各角写成 k ? 360 ? ? (0 ? ? ? 360 ) 的形式,并指出它们所在的象限或终边位置.

(1) – 135°

(2) —540°

(3) 1110°

(4) 765°

4.与-1778°角终边相同且绝对值最小的角是_________________.

5.(1)将 315°化为弧度是_________;(2)将 ? 23 ?rad 化为角度是__________. 12

6.把-885°化成 2k? ? ?(0 ? ? ? 2? , k ? z) 的形式是____________________________.

7.已知四边形的四个内角之比是 1∶3∶5∶6,分别用角度和弧度将这些内角的大小表示出来.

8.第四象限角的集合可以表示为________________________.

9.若 2 弧度的圆心角所对的弧长为 4cm,求这个圆心角所夹的扇形的面积.

B组

10.? ? k? ? ? (k ? z) 是第________象限的角. 4
11.写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合(包括边界).

(1)

(2)

(3)

12.在直角坐标平面内画出角? ? k? ? ? (k ? z) 的终边. 26
13.若角? 的终边经过点 P(-1,- 3 ),试写出角? 的集合 A,并求出 A 中绝对值最小的角.
14.若 4? ? ? ? 6? ,且? 与 ? 2? 的角的终边垂直,求? . 3
15.若? 是第三象限角,问 ? 是第几象限角? 2? 的终边在哪里? 2
16.在直径为 10cm 的轮子上有一长为 6cm 的弦,P 是该弦的中点,轮子以每秒 5 弧度的角速

度旋转,则经过 5 秒钟后点 P 转过的弧长是多少?

17.已知扇形周长为 20cm,当扇形的圆心角为多大时它有最大面积?

C组

18.终边经过点(a,a)(a≠0)的角? 的集合是______________________.
19.若 α 的终边落在 x+y=0 上,求出在之间的所有角 α..

20.试写出终边在坐标轴上的角的集合.
21.若角? 的终边与 216°角的终边相同,求在 0°~360°内终边与 ? 的终边重合的角. 3

22.(1)设集合 A = { x | x ? k? ? (?1)k ? , k ? z },B ={ x | x ? 2k? ? ? , k ? z },

2

2

试判断集合 A 与集合 B 之间的关系



(2)

集合 M={x|x=k2π+π4,k∈Z},N=???x??x=k4π+π2,k∈Z

??,则 M 与 N 间的关系为
?



23.已知 A = {? | 2k? ? ? ? 2k? ?? , k ? z },B = {? | ?4 ? ? ? 4 },则 A∩B=



24.(1)若角α 与角β 的终边重合,则α 与β 的关系是____________;

(2) 若角α 与角β 的终边互为反向延长线,则α 与β 的关系是____________;

(3) 若角α 与角β 的终边在同一条直线上,则α 与β 的关系是___________.

25.一个扇形的面积为 4 cm2,周长为 8 cm,则扇形的圆心角及相应的弦长分别是__________.

26.若 α 是第三象限的角,则 π-12α 是第

象限角.

知识点 任意角的概念 终边相同的角 的表示 区间角的表示 弧长与扇形面 积
综合题
四、 学习心得

题号

注意点

注意角的正负

注意 2k? , k? , k? (k ? Z ) 的区别 2

注意边界能否取到

熟知弧度制下的弧长与扇形面积

公式
体会弧度制表示的角与实数的一 一对应关系;在数轴或在单位圆中看两 角的集合的关系.

五、 拓展视野
欧拉与弧度制
18 世纪以前,人们一直是用线段的长来定义三角函数的.瑞士数学家欧拉(Leonhardo Eulero,1707 年~1783 年),在他于 1748 年出版的一部划时代的著作《无穷小分析概论》中, 提出三角函数是对应的三角函数线与圆半径的比值,并令圆的半径为 1,使得对三角函数的研 究大为简化.这是欧拉在数学史上的重要功绩之一.
其次,欧拉在上述著作的第八章中提出了弧度制的思想.他认为,如果把半径作为 1 个 单位长度,那么半圆的长就是 π ,所对圆心角的正弦是 0,即 sinπ =0.同理,圆的的长是, 所对圆心角的正弦是 1,可记作 sin π ? 1 .这一思想将线段与弧的度量单位统一起来,大大简
2 化了某些三角公式及计算.
1873 年 6 月 5 日,数学教师汤姆生(James Thom-son)在北爱尔兰首府贝尔法斯特(Belfast) 女王学院的数学考试题目中创造性地首先使用了“弧度”一词.当时,他将“半径”(radius) 的前四个字母与“角”(angle)的前两个字母合在一起,构成 radian,并被人们广泛接受和引用.我 国学者曾把 radian 译成“弪”(由“弧”与“径”两字的一部分拼成).建国以来,中学数学教 科书中都把 radian 译作“弧度”.
1881 年,学者哈尔斯特(G.B.Halsted)等用希腊字母 ? 表示弧度的单位,例如用 3 π? 表 5
示 3 π 弧度.1907 年,学者包尔(G.N.Bauer)用 r 表示;1909 年,学者霍尔(A.G.Hall)等 5
又用 R 来表示.现在人们习惯把弧度的单位省略. 值得指出的是,1735 年,欧拉右眼失明,《无穷小分析概论》这部著作出版于他这一不幸
之后.他的著作,在样式、范围和记号方面堪称典范,因此被许多大学作为教科书采用.1766 年,他回到圣彼得堡研究院后不久,又转成双目失明.他以惊人的毅力,在圣彼得堡又用口 述由别人记录的方式工作了近 17 年,直到 1783 年 76 岁时突然去世.他一生发表过 530 部(篇) 著作和论文;还留下大量手稿,让圣彼得堡科学院编辑出版的会报在欧拉去世后利用了 47 年.1909 年,瑞士自然科学学会开始出版欧拉全集,其中将包含他的 886 部(篇)著作和论文, 预计会超过 100 卷(大四开本).
欧拉的一生,是为数学发展而奋斗的一生,他那杰出的智慧,顽强的毅力,孜孜不倦的 奋斗精神和高尚的科学道德,永远是值得我们学习的.欧拉在数学上的建树很多,对著名的 哥尼斯堡七桥问题的解答开创了图论的研究.欧拉还发现,不论什么形状的凸多面体,其顶 点数 v 、棱数 e 、面数 f 之间总有 v ? e ? f ? 2 这个关系.v ? e ? f 被称为欧拉示性数,成为拓 扑学的基础概念.在数论中,欧拉首先引进了重要的欧拉函数 ?(n) ,用多种方法证明了费马 小定理.以欧拉的名字命名的数学公式、定理等在数学书籍中随处可见,其中欧拉公式的一
个特殊公式 eiπ ?1 ? 0 ,将数学上的 5 个常数 0,1,i,e,π 联在一起.与此同时,他还在物理、
天文、建筑以至音乐、哲学等方面取得了辉煌的成就. 欧拉还创设了许多数学符号,例如 π (1736 年),i(1777 年),e(1748 年),sin 和 cos(1748 年),

tg(1753 年), ?x (1755 年), ? (1755年) , f (x) (1734 年)等.


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