高中数学 探究导学课型 第一章 三角函数 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象课件 新人教版必修4_图文

1.4 三角函数的图象与性质
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象

【自主预习】 主题:正弦函数与余弦函数的图象

1.观察正弦曲线y=sinx,x∈[0,2π ]的图象,回答下面
的问题:

在正弦曲线y=sinx,x∈[0,2π ]的图象中起关键的点有 哪些?

? 3? 提示:关键的点有五点:即(0,0),( ,1) ,(π ,0), ( , ?1), 2 2 (2π ,0).

2.观察余弦曲线y=cosx,x∈[0,2π ]的图象,回答下面 的问题:

在余弦函数y=cosx,x∈[0,2π ]的图象中,关键的点有
哪些?

提示:关键的点有五点:即(0,1),( ? ,0) ,(π ,-1), ( 3? ,0) , 2 2 (2π ,1).

通过以上探究,总结得到什么结论? 用文字语言描述:在[0,2π ]上,y=sinx与y=cosx图象上

的最高点、最低点、图象与坐标轴的
交点起着关键作用,这五个点描出后 图象的形状就基本确定了.

? 五点法作图:先找出五个关键点再用光滑曲线连接起来 ,

就得到简图的方法称为“五点法”.
? 正弦曲线、余弦曲线:

(1)正弦曲线 如图所示:

正弦函数的图象叫做正弦曲线.

(2)余弦曲线
? 左 平移__ 将正弦曲线向___ 2 个单位,得到余弦曲线

余弦函数的图象叫做余弦曲线.

【深度思考】 结合教材P32例1你认为怎样画三角函数的图象?

按五个关键点列表 第一步:_________________;
描点 第二步:_____;

用光滑的曲线将这些点连接起来 第三步:_____________________________.

【预习小测】 1.已知正弦函数过点 ( ? , m) ,则m的值为
1 A. 2

6

(

)

3 D.1 2 2 【解析】选A.因为sin ? ? 1 ,所以m= 1 . 2 6 2

B.? 1

C.

2.在“五点法”中,正弦曲线最低点的横坐标与最高点 的横坐标的差等于 (
3? C. 2

)

A. ? 2

B.π

D.2π

3? 【解析】选B.由五点作图法知,最低点横坐标为 ,最 2 ? 高点横坐标为 ,故它们的差为π . 2

3.用“五点法”作y=2sin2x的图象时,首先描出的五个 点的横坐标是 ( )

【解析】选B.由“五点法”知 2x ? 0, ? , ?, 3? , 2?  所以
2 2 ? ? 3? .故选B. x ? 0, , , , ? 4 2 4

? 3? ? ? 3? A.0, , ?, , 2?      B.0, , , , ? 2 2 4 2 4 ? ? ? 2? C.0, ?, 2?,3?, 4?      D.0, , , , 6 3 2 3

4.用五点法作y=1+cosx,x∈[0,2π ]的图象时,其中第 二个关键点的坐标为 .
2

【解析】由五点作图法的规则知第二个点坐标为 ( ? ,1) .
答案: ( ? ,1)
2

5.函数y=sinx的图象和y=cosx的图象在[0,2π ]内的交 点坐标为 .

? 5? 【解析】由sinx=cosx且x∈[0,2π ],所以 x ? 或 x ? . 4 4 ? 2 5? 2 当 x ? 时,y ? 当 x ? 时 y ? ? . 4 2 4 2 答案: ( ? , 2 ) 或( 5? , ? 2 ) 4 2 4 2

【备选训练】作出y=2-sinx,x∈[0,2π ]的图象.(仿照 教材P32例1解析过程)

【解析】找出五点,列表如下:
x y=sinx y=2-sinx 0 0 2
? 2

π 0 2

3? 2

2π 0 2

1 1

-1 3

描点作图(如图所示).

【互动探究】
1.y=sinx,x∈[0,2π ]的图象与y=sinx,x∈[2π ,4π ] 的图象有何关系?

提示:它们的形状相同,位置不同,将y=sinx,x∈[0,2π ]
的图象向右平移2π 个单位与y=sinx,x∈[2π ,4π ]的 图象重合.

2.观察正弦曲线y=sinx,x∈R,你能发现哪些变化规律? 提示:(1)正弦曲线夹在两条直线y=-1和y=1之间. (2)每2π个单位长度重复出现. (3)正弦曲线在x=kπ(k∈Z)附近,曲线“陡”一些;在 x=kπ+ ? (k∈Z)附近,曲线“平缓”一些.
2

【探究总结】 知识归纳:

方法总结:正(余)弦函数图象的作法 (1)几何法:就是利用单位圆中的正弦线和余弦线作出

正、余弦函数图象的方法,该方法作图较为精确,但画
图时较为烦琐.

(2)五点法:就是利用五个关键点作图的方法,是我们作 三角函数图象的基本方法,在要求精度不太高的情况下

常用此法.作图时要注意五个关键点的确定.

【题型探究】 类型一:“五点法”作正弦、余弦函数的图象

【典例1】作出下列函数在[-2π ,2π ]上的图象.
(1)y=sinx-1.(2)y=2+cosx.

【解题指南】先在[0,2π]范围内列出五个关键点的坐 标,描点连线得在[0,2π]范围内图象,再由对称性得

[-2π,2π]范围内的图象.

【解析】(1)先作出y=sinx-1在x∈[0,2π]上的图象. 列表: x y=sinx 0 0
? 2

π 0 -1

3? 2

2π 0 -1

1 0

-1 -2

y=sinx-1 -1

描点连线可得y=sinx-1在[0,2π]上的图象(如图所示). 再向左平移2π个单位,即得到y=sinx-1在[-2π,2π]

上的图象.

(2)先作出y=2+cosx在x∈[0,2π]上的图象.列表: x 0
? 2

π

3? 2



cosx
2+cosx

1
3

0
2

-1
1

0
2

1
3

描点连线可得y=2+cosx在[0,2π]上的图象(如图所示). 再向左平移2π个单位,即得到y=2+cosx在[-2π,2π]

上的图象.

【规律总结】用“五点法”画函数y=Asinx+b(A≠0)或 y=Acosx+b(A≠0)在[0,2π ]上的简图的步骤

(1)列表:
x sinx或cosx y 0 0或1 y1
? 2

π

3? 2

2π 0 或1 y5

1或0 y2

0或-1 -1或0 y3 y4

(2)描点:在平面直角坐标系中描出下列五个 点:(0,y1), ( ? , y 2 ) ,(π ,y3),( 3? , y 4 ) ,(2π ,y5).
2 2

(3)连线:用光滑的曲线将描出的五个点连接起来.

【巩固练习】 1.函数f(x)=asinx+b的图象如图所示,则f(x)的解析式 为 ( )

1 A.f(x)= sinx+1 2 B.f(x)=sinx+ 1 2 3 C.f(x)= sinx+1 2 3 D.f(x)= sinx+ 1 2 2

【解析】选A.将图象中的特殊点代入f(x)=asinx+b,不
?asin 0 ? b ? 1, ? 妨将(0,1)与 ( ? , 代入得 解得b=1, 1.5) ? ? 2 asin ? b ? 1.5, ? 2 ? a=0.5,故f(x)= 1 sinx+1. 2

2.利用“五点法”作出函数y=-1-cosx(0≤x≤2π )的 简图. 【解析】(1)取值列表如下:

x
cosx -1-cosx

0
1 -2

? 2

π
-1 0

3? 2


1 -2

0 -1

0 -1

(2)描点连线,如图所示.

类型二:利用正、余弦曲线解简单的三角不等式 【典例2】求函数f(x)=lg sinx+ 16 ? x 2 的定义域. 【解题指南】先写出使函数有意义的条件,然后借助正 弦曲线,解不等式组,求原函数定义域.

?sin x>0, 【解析】由题意,得x满足不等式组 ? 2 16 ? x ? 0, ? ?sin x>0, 即? 作出y=sinx的图象,如图所示. ??4 ? x ? 4,

结合图形可得x∈[-4,-π)∪(0,π).

【延伸探究】 1.本题中将“函数f(x)=lg sinx+ 16 ? x 2 ”改为“函 数f(x)=lg sinx+ 1 ? 2sin x ”求定义域.
sin x>0, 1 ? 【解析】由题意知 ? 即0<sinx≤ .作 2 ?1 ? 2sin x ? 0,

y=sinx,x∈R的图象如图所示:

1 在[0,2π]范围内,由图知满足0<sinx≤ 的x取值范围 2 ? 5? ? 5 是 (0, ] ? [ ?, ?) ,在R上x应满足 (2k?, 2k? ? ] ? [2k? ? , 6 6 6 6 ? 5? 2k? ? ?)(k∈Z)故f(x)的定义域为 (2k?, 2k? ? ] ? [2k? ? , 6 6

2k? ? ?)(k∈Z).

2.本题改为:求在x∈[0,2π ]上满足sinx≥cosx的x的 取值集合,则结论如何.

【解析】在同一坐标系内作出函数y=sinx,x∈[0,2π ]
和y=cosx,x∈[0,2π ]的图象,如图所示:

5 ? 由图知当 ≤x≤ π时,sinx≥cosx,故满足sinx≥cosx 4 4 的x的取值集合为 [ ? , 5? ] . 4 4

【规律总结】利用三角函数图象解sinx>a(或cosx>a) 的三个步骤

(1)作出直线y=a,y=sinx(或y=cosx)的图象.
(2)确定sinx=a(或cosx=a)的x值. (3)确定sinx>a(或cosx>a)的解集.

提醒:解三角不等式sinx>a一般先利用图象求出 x∈[0,2π ]范围内x的取值范围,然后根据终边相同角

的同一三角函数值相等,写出原不等式的解集.

【补偿训练】函数y=

2cos x ? 1 的定义域是

.
2

【解析】要使函数有意义,则2cosx+1≥0,即cosx≥- 1 ,

作y=cosx,x∈R的图象如图所示:

在[0,2π]范围内,由图知满足cosx≥2? 4? 围是 [0, ] ? [ , 2?] , 3 3

1 的x的取值范 2

2? 4? 故在R上x应满足 [2k?, 2k? ? ] ? [2k? ? , 2k? ? 2?] (k∈Z). 3 3

答案:[2k?, 2k? ? 2? ] ? [2k? ? 4? , 2k? ? 2?] k∈Z
3 3

类型三:正、余弦函数图象的应用 【典例3】(1)方程2x=cosx的解的个数为 ( )

A.0

B.1

C.2

D.无穷多个

(2)作出函数y=2+sinx,x∈[0,2π ]的简图,并回答下列 问题:

①观察函数图象,写出y的取值范围;
②若函数图象与y= 1 ? a 在x∈[0,π ]上有两个交点,求a
2

的取值范围.

【解题指南】(1)画出函数y=2x与y=cosx的图象, 根据图象判断交点的个数,即为方程解的个数.

(2)①利用描点作图法先作图象,再观察得y的取值范围;
②根据y= 1 ? a 与y=2+sinx在[0,π]上有两个交点,建立
2

关于a的不等关系求解.

【解析】(1)选D.设f(x)=2x,g(x)=cosx,在同一坐标系 中画出f(x)和g(x)的图象,如图

由图知f(x)=2x与g(x)=cosx交点个数有无穷多个,所以

方程2x=cosx的解有无穷多个.

(2)列表: x sinx 0 0
? 2

π 0

3? 2

2π 0

1

-1

2+sinx

2

3

2

1

2

描点、连线,如图.

①由图知,y∈[1,3]. ②由图知,当2≤
1? a 1? a <3时,函数图象与y= 在[0,π] 2 2

上有两个交点,即-5<a≤-3.
故a的取值范围是(-5,-3].

【规律总结】方程根(或个数)的两种判断方法 (1)代数法:直接求出方程的根,得到根的个数. (2)几何法:①方程两边直接作差构造一个函数,作出函 数的图象,利用对应函数的图象,观察与x轴的交点个数, 有几个交点原方程就有几个根;

②转化为两个函数,分别作这两个函数的图象,观察交 点个数,有几个交点原方程就有几个根.

【巩固训练】
1 1.函数y=sinx+2|sinx|,x∈[0,2π ]的图象与直线y= 2

的交点共有

个.

【解题指南】先将函数y=sinx+2|sinx|化为
?3sin x,0 ? x<?, y?? ??sin x, ? ? x ? 2?,

然后画出其图象,利用图象判断交点个数.

?3sin x,0 ? x<?, 【解析】函数y=sinx+2|sinx|= ? ??sin x, ? ? x ? 2?,

在同一坐标系中画出两函数的图象,如图所示,

由图知两图象的交点共有4个. 答案:4

2.判断方程 x -cosx=0的根的个数.
x 【解题指南】把研究方程 -cosx=0根的个数问题,转 4 x 化为判断函数y= 与y=cosx图象交点个数问题. 4 4

【解析】设f(x)= x ,g(x)=cosx,在同一直角坐标系中
4

画出f(x)和g(x)的图象,如图:

由图可知,f(x)与g(x)的图象有三个交点,故方程 cosx=0有三个根.

x 4


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