第五届全国高中数学青教师观摩与评比活动:《充分条件与必要条件》教案与说课稿

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1.2 充分条件与必要条件(第一课时)
[教学目标] 一:知识目标 1.使学生理解充分条件、必要条件的概念; 2.能正确判断是否是充分条件或必要条件; 二:能力目标 1.通过对充分条件和必要条件的研究,使学生掌握有关的逻辑知识,以保证推理的合理性和 论证的严密性; 2.通过引导学生观察、归纳,培养学生的观察能力和归纳能力; 三:情感目标 1.通过以学生为主体的教学方法,让学生自己构造数学命题,发展体验获取知识的感受; 2.通过对充分条件和必要条件与集合的关系的教学,建立概念间的多元联系,培养同学们多 角度审视问题的习惯; 3、通过“会观察”,“敢归纳”,“善建构”,培养学生自主学习,勇于创新,敢于把错误 的思维过程及弱点暴露出来,并在问题面前表现出浓厚的兴趣和不畏困难、勇于进取的精神。 [教学重难点] 重点:充分条件、必要条件的概念; 难点:充分条件、必要条件的判断; [教学过程] 1:复习引入: 复习:命题的概念及命题的常见形式。 命题的概念:一般地,在数学中我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句 叫做命题。其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题。 命题的常见形式:“若 p,则 q”,我们把这种形式中的 p 的叫做命题的条件,q 叫做命题的结 论。 【设计意图】通过命题概念的复习,重点强调条件与结论,为新课学习做必要的准备和铺垫.
引入: “若 p,则 q”为真,可以将它表示为 p ? q ; “若 p,则 q”为假,可以将它表示为 p ?? q ;
如: “若教室里的学生是高二 1 班的学生,则教室里的学生是高二的学生”为真命题,
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即: 教室里的学生是高二 1 班的学生 ?教室里的学生是高二的学生;
又如:“若教室里的学生是高二的学生,则教室里的学生是高二 1 班的学生”为假命题,
即: 教室里的学生是高二的学生 ?? 教室里的学生是高二 1 班的学生。
【设计意图】命题有真有假,通过对真假两种情况的新的表述方式的引入,意在顺利实现由 “已有的知识结构”转入“新知构建”的过程.

2:新知建构
定义:一般地,如果有 p ? q ,称 p 是 q 的充分条件,称 q 是 p 的必要条件.
例 1:下列“若 p,则 q”形式的命题中,哪些命题中的 p 是 q 的充分条件? ○1 、若 x>3 ,则 x>2 ; ○2 、若 x=1 ,则 x2-4x+3=0;
○3 、若 f(x)=x,则 f(x)在 ?? ?,? ??上为增函数;
(教师引导学生体验:问题的实质是判断命题是否为真) 解:命题○1 、○2 、○3 都是真命题。所以,命题○1 、○2 、○3 中的 p 是 q 的充分条件。 问题:同学们,对于命题○1 、○2 、○3 ,我们可不可以回答 q 是 p 的必要条件呢? 答:可以称对于命题○1 、○2 、○3 ,q 是 p 的必要条件。 【设计意图】通过实例分析,将新知(充分条件、必要条件的概念)的构建过程转化为已有 知识(命题真假的判断)的应用过程.

强调说明:○1 “ p ? q ”,“p 是 q 的充分条件”,“q 是 p 的必要条件”是同一逻辑关系的三种

不同描述形式,前者是符号表示,后两者是文字表示。

○2 充分条件的含义用通俗的语言来说是指“有它就行”, 即“有之必然”;必要条

件的含义用通俗的语言来说是指“缺它不行” ,即“无之必不然”。

【设计意图】提升学生的认识水平,试图从不同角度帮助同学们理解“充分”和“必要”。

3、巩固新知

例 2:判断下列问题中,p 是 q 的充分条件吗?

○1 、p: a>b

q: ac>bc;

○2 、p: x 为无理数

q: x2 为无理数;

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○3 、p: x>a2+b2 ○4 、p:两条直线的斜率相等;

q: x>2ab ; q:两条直线平行; ;

解:因为在问题○3 和问题○4 中都有 p ? q 。所以,在问题○3 和问题○4 中,p 是 q 的充分条件。

问题:像在○1 ○2 两个问题中 p 与 q 的关系应如何描述?
可描述如下:若有 p ?? q ,称 p 不是 q 的充分条件,称 q 不是 p 的必要条件。
【设计意图】概念的否定是概念理解的重要方面,本例意在让学生在直观理解的基础上给出 “充分条件”和“必要条件”的否定形式.以帮助学生全面认识和理解概念。

例 3:判断下列各组问题中,q 是 p 的必要条件吗?

○1 、p:{x|x>3}

q:{x|x>5} ;

○2 、p: {x|x>0} ○3 、p:同位角相等 ○4 、p:四边形对角线相等

q:{x|x ? 0} ;
q:两直线平行 ; q:四边形是平行四边形 ;

解:因为在问题○2 和问题○3 中都有 p ? q 。所以,在问题○2 和问题○3 中,q 是 p 的必要条件。

在问题○1 和问题○4 中都有 p ?? q 。所以,在问题○1 和问题○4 中,q 不是 p 的必要条件。

强调说明: (1) 充分条件与必要条件判断的关键:
○1 、认清条件与结论;
○2 、考察 p ? q 或 q ? p 的真假。
(2)充分条件与必要条件和集合的关系:

① p ? q ,相当于 P ? Q ,即



即:要使 x ? Q 成立,只要 x ? P 就足够了——有它就行.

② q ? p ,相当于 P ? Q ,即



即:为使 x ? Q 成立,必须要使 x ? P ——缺它不行.

练习:回答例 3 中 q 是 p 的充分条件吗?

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【设计意图】本例的设计和应用主要目的有:(1)强调条件和结论之间的推出关系,即推出 箭头的方向性;(2)从集合关系的角度帮助同学们理解“充分条件”和“必要条件”;(3)体 会“充分条件”和“必要条件”的不同表述方式;(4)让学生初步体会充分条件与必要条件 的四种不同类型,为下节课提前准备。
课堂活动:请同学们自己举例给出 p、q 并判断其二者之间存在的是否是充分条件或必要条件 的关系。 4、能力提升 例 4、用“充分条件”或“必要条件”填空:
(1)四边形的对角线相等是四边形为矩形的________;
(2) a ? 5 是 a 为正数的______________.
答案:(1)必要条件;(2)充分条件。

例 5、 填空(写出一个满足题意的即可)

(1)“ab=0”的一个充分条件是



(2)“x<3”的一个必要条件是



答案:(1)可填:a=0;b=0;a=0 且 b=0;这三种中的任何一种。

(2)可填:x<4(形如 x<a,其中 a ? 3的答案都是对的)。
【设计意图】(1)引导学生观察例 5 的问题的问法和前四个例题有无不同,培养学生的观察 能力;(2)从条件判断填空到开放的填写条件有助于彰显学生对问题的理解程度,通过这组 练习,可以了解学生“会了什么?”、“还存在什么问题?”,使后面的教学更有针对性!

5、牛刀小试 练习:判断下列各组问题中,p 是不是 q 的充分条件以及 p 是不是 q 的必要条件?

○1 、p: x ? x

q: x2 ? 0 ;

○2 、p: tan? =1 ○3 、p: 直线 l 与平面? 内的两条相交线垂直

q:? ? ? ; 4
q: 直线 l 与平面? 垂直;

○4 、p:函数 f(x)满足 f(0)=0

q: 函数 f(x)是奇函数;

答:○1 p 是 q 的充分条件,p 不是 q 的必要条件;

○2 p 不是 q 的充分条件,p 是 q 的必要条件;

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○3 p 是 q 的充分条件,p 是 q 的必要条件; ○4 p 不是 q 的充分条件,p 不是的 q 必要条件; 结合练习,引导学生归纳如下: 从练习中我们发现在 p 与 q 之间存在以下几种关系:
○1 、 p ? q 且 q ?? p ; ○2 、 q ? p 且 p ?? q ; ○3 、 p ? q 且 q ? p ; ○4 、 p ?? q 且 q ?? p ;
对于这几种关系我们应如何描述呢?下节课,我们将解决这一问题。
【设计意图】反馈练习的设计,既帮助学生全面掌握本节课的学习内容,再次巩固所学知识 和方法,也在前面例 3 的基础上明确了充分条件与必要条件涉及的四种类型,为顺利进入下 节课的学习打下坚实的基础。
6 课堂小结:师生共同回顾本节课的教学过程,小结如下内容: ○1 、充分条件与必要条件的概念; ○2 、充分条件与必要条件判断的关键; 【设计意图】再现课堂,小结提升,有助于学生明确学习的重点。 [作业布置] 1、课本第 12 页 A 组 1、2 、B 组 1 2、补充:
判断下列命题的真假:
①“ a ? b ? 0 ”是“ a2 ? b2 ”的充分条件; ②“ a ? b”是“ ac2 ? bc2 ”的必要条件; ③“ A ? B ”是“ A ? B” 的必要条件;(其中 A,B 是集合)
④“函数 f ? x? 是奇函数”是“ f ?0? ? 0”的充分条件.
教学设计说明
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一、本节课内容的本质、地位、作用分析及课时按排说明: “充分条件与必要条件”是高中人教 A 版《数学》选修 1-1 第一章简单逻辑用语第二节
的内容。本节内容的教学至少需要两个课时,而本节课是这一节内容的第一课时。 逻辑是研究思维规律的学科,而 “充分条件与必要条件”是数学中常用的逻辑用语,逻
辑用语在数学中具有重要的作用,学习数学需要全面准确地理解概念,正确地进行表述、判 断和推理,这些都离不开对逻辑知识的掌握和运用。进一步,在日常生活中,为了使我们的 语言表达和信息的传递更加准确、清楚,常常需要一些逻辑用语,基本的逻辑知识、常用的 逻辑用语是认识问题、研究问题不可缺少的工具。
在选修中学习逻辑用语,可以结合逻辑用语的使用对我们已经学习过的必修部分的数学 知识加以巩固和提升,同时能够体现出逻辑用语的工具价值,也可以更好地应用于今后的学 习。这使得逻辑用语的教学起到了承上启下的作用。
二、教学目标分析: 在我们的学习和生活中,我们要大量的使用逻辑用语,能准确地掌握和使用逻辑用语,
是十分关键的,也是本节课所需要达到的目的。同时需要注意的是,因为逻辑用语与数学的 其他知识联系紧密,而逻辑用语的教学本身就具有一定的难度,故而不可使用过于复杂的数 学例题,否则会使得教学难上加难,不利于本节新概念的教学。 基于以上的原因,我把本节 课的教学目标设定如下: 一:知识目标 1.使学生理解充分条件、必要条件的概念; 2.能正确判断是否是充分条件或必要条件; 二:能力目标 1.通过对充分条件和必要条件的研究,使学生掌握有关的逻辑知识,以保证推理的合理性和 论证的严密性; 2.通过引导学生观察、归纳,培养学生的观察能力和归纳能力; 三:情感目标 1.通过以学生为主体的教学方法,让学生自己构造数学命题,发展体验获取知识的感受; 2.通过对充分条件和必要条件与集合的关系的教学,建立概念间的多元联系,培养同学们多 角度审视问题的习惯;
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3、通过“会观察”,“敢归纳”,“善建构”,培养学生自主学习,勇于创新,敢于把错误 的思维过程及弱点暴露出来,并在问题面前表现出浓厚的兴趣和不畏困难、勇于进取的精神。
三、教学诊断分析: 1. 学生学习本节课内容时容易了解的地方及我的处理方法 (1)通过对必修部分的学习,学生已经有了一定的知识储备,所以在本节课中出现的大量的 数学问题,学生是易于理解和掌握的。在教学中,我可以利用学生熟悉的知识来辅助“充分 条件与必要条件”的概念的教学,如在教学过程中我通过复习命题的概念和命题的常见形式 引入新课的概念,这样一种自然引入可以减少学生对新知的陌生感;又如学生对集合知识是 比较熟悉的,在讲解完例 3 之后,我结合例 3 中的问题○1 ○2 ,引导学生从集合角度理解“充 分条件与必要条件”,尤其是使用韦恩图直观表示,帮助学生更好地理解“充分条件与必要条 件”概念的本质。 (2)例 1 从问题的形式到内容都是学生较易理解的。例 1 的教学之后,我结合例 1“回踩”
定义,指出:“ p ? q ”,“p 是 q 的充分条件”,“q 是 p 的必要条件”是同一逻辑关系的三种
不同描述形式,前者是符号表示,后两者是文字表示。对于这种说法,学生也是易于理解的, 但是这种理解仅停留在形式上。然后,我再次使用例 1 中的具体数学问题○1 指出“充分条件 与必要条件”的本质,并用较易理解的通俗语言“有它就行”、“缺它不行”加以解释。 (3)例 2 和例 3 也都是学生较易理解的问题。所以在例 2 之后,结合例 2 中的问题 1 和问题 2,引出了“充分条件与必要条件”概念的否定形式。在例 3 之后,通过回顾例 2 和例 3 的解 答方法与解答过程,引导学生总结“充分条件与必要条件判断的关键”。 (4)“牛刀小试”环节中的课堂练习,学生通过前面的学习应当是可以独立完成的。所以, 在练习结束后,我引导学生归纳总结该练习四个小题中所蕴含的“充分条件与必要条件”的 四种情况,预设伏笔,为下节课的教学做好铺垫。 2..学生学习本节课内容时不易理解的地方及我的处理方法 (1)“充分条件与必要条件”的概念是学生不易理解的。为了帮助学生更好地理解概念的实 质,我通过复习旧知识(命题)引入新知识(充分条件和必要条件),并在前三个较为简单的 例题的讲解过程中逐步渗透“充分条件与必要条件”的实质。 (2)利用“充分条件与必要条件”解决问题是学生难于掌握的,这也不是本节课可以彻底解 决的问题。所以,我引导学生通过解决简单问题(例 1、例 2、例 3),提炼出解决问题的方法, 再尝试运用方法解决新问题(例 4、例 5)。首先让学生掌握解决问题的方法,再加以运用,这
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样我也可以搞清学生“会了什么”、“还有什么不会”,使后面的教学更有针对性。 (3)例 5 的教学是存在困难的,问题的难度主要在于问题本身是一个开放式的填空题。所以, 我要先让学生通过观察对比几个例题的问法,找出问题问法的变化,然后使用已经总结出的 方法,尝试解决这一问题。
正因为有以上两大方面的原因,因此本节课教学时注重从学生熟悉的数学问题入手,从 学生熟悉的生活实例入手;同时,也要求本节课对概念的教学、理解要更加深入、更加理性。
四、本节课的教法特点: 1、体现了“师为主导,生为主体”的教学理念
本节课的教学设计和实际教学中,教师本人更多的是站在一个引路人的角度,告诉学生 该向哪里走,怎么走,让他们自己去走。如:在例题的教学中,我大多是先带领学生分析问 题,探求解决问题的方法,在学生通过自己的努力尝试解答之后,我再进行总结,避免了“满 堂灌”。 2、注重对学生的思维训练
引导学生多角度的审视问题,从不同角度去看问题,分析问题,思考问题,从而可以使 得对一个具体问题理解的更准确、更全面、更深刻。例如:在概念教学中,为了更好的理解 概念,我通过具体问题引导学生从表达形式(符号表示与文字表示)、通俗语言的描述(有它 就行和缺它不行)、不同概念间的联系(充分条件与必要条件和集合的关系)来辅助概念教学。 3、教学层次鲜明、衔接自然
我把整个教学过程划分为六个环节:复习引入、新知建构、巩固新知、能力提升、牛刀小 试、课堂小结。以问题为主线,为了解决问题,学习新知识,掌握了新知识再来解决问题。 这样就把几个环节很自然地联系在一起。
五、教学效果预期 “充分条件与必要条件”作为高中数学传统的重点内容,难点内容。我希望通过本节课
的教学,让学生准确地理解这一概念,能简单的运用这一知识。并希望能够通过较为愉悦的 课堂环境,使学生保持浓厚的学习兴趣,不要产生畏难情绪。课后,我将根据本节课实际教 学过程中出现的问题,在下一课时的教学中作出调整和弥补,并在下一课时中,加强对学生 运用知识解决问题环节的训练。
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