2019-2020年高一数学 5.10解斜三角形应用举例(第二课时) 大纲人教版必修

2019-2020 年高一数学 5.10 解斜三角形应用举例(第二课时) 大纲人教
版必修
●教学目标 (一)知识目标 1.正、余弦定理的应用; 2.解斜三角形问题的类型. (二)能力目标 1.进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法,明确解斜三角形知识在实际中有着 广泛的应用; 2.熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化; 3.通过解斜三角形的应用的教学,继续提高运用所学知识解决实际问题的能力. (三)德育目标 通过解斜三角形在实际中的应用,要求学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题, 以及数学知识在生产,生活实际中所发挥的重要作用. ●教学重点 1.实际问题向数学问题的转化; 2.解斜三角形的方法. ●教学难点 实际问题向数学问题转化思路的确定. ●教学方法 自学辅导法 在上一节学习的基础上,引导学生根据上节所总结的转化方法及解三角形的类型,自己 尝试求解应用题.在解题的关键环节,教师应给予及时的启发或点拨,以真正使学生解题能 力得到锻炼. ●教具准备 投影仪、三角板、幻灯片 第一张:例 1、例 2(记作§5.10.2 A [例 1]如课本图 5-41,是曲柄连杆机的示意图.当曲柄 CB0 绕 C 点旋转时,通过连杆 AB 的传递,活塞作直线往复运动.当曲柄在 CB0 位置时,曲柄和连杆成一条直线,连杆的端 点 A 在 A0 处.设连杆 AB 长为 340 mm,曲柄 CB 长为 85 mm,曲柄自 CB0 按顺时针方向旋转 80°, 求活塞移动的距离(即连杆的端点 A 移动的距离 A0A)(精确到 1 mm). [例 2]如图所示,为了测量河对岸 A、B 两点间的距离,在这一岸定一基线 CD,现已 测出 CD=a 和∠ACD=α ,∠BCD=β ,∠BDC=γ ,∠ADC=δ ,试求 AB 的长.
第二张:例 3(记作§5.10.2 B [例 3]据气象台预报,距 S 岛 300 km 的 A 处有一台风中心形成,并以每小时 30 km 的速度向北偏西 30°的方向移动,在距台风中心 270 km 以内的地区将受到台风的影响. 问:S 岛是否受其影响? 若受到影响,从现在起经过多少小时 S 岛开始受到台风的影响?持续时间多久?说明理

由.
●教学过程 Ⅰ.复习回顾 [师]上一节,我们一起学习了解三角形问题在实际中的应用,了解了一些把实际问题 转化为解三角形问题的方法,掌握了一定的解三角形的方法与技巧.这一节,我们给出三个 例题,要求大家尝试用上一节所学的方法加以解决. Ⅱ.例题指导 (给出幻灯片§5.10.2 A [例 1]分析:如图所示,因为 A0A=A0C-AC,又知 A0C=AB+BC=340+85=425,所以 只要求出 AC 的长,问题就解决了.在△ABC 中, 已知两边和其中一边的对角,可由正弦定理求出 AC.

解:在△ABC 中,由正弦定理可得

sinA==0.2462.

因为 BC<AB,所以 A 为锐角,得 A=14°15′.

∴B=180°-(A+C)=180°-(14°15′+80°)=85°45′

由正弦定理,可得

AC= ABsin B ? 340? sin 85?45? =344.3 mm.

sin C

0.9848

因此,A0A=A0C-AC=(AB+BC)-AC

=(340+85)-344.3=80.7≈81(mm)

答:活塞移动的距离约为 81 mm.

评述:注意在运用正弦定理求角时应根据三角形的有关性质具体确定角的范围.要求学

生注意解题步骤的总结:

用正弦定理求 A 求 B 求 AC→求 A0A.

[例 2]分析:如图所示,对于 AB 求解,可以在△ABC 中或者是△ABD 中求解,若在△

ABC 中,由∠ACB=α -β ,故需求出 AC、BC,再利用余弦定理求解.而 AC 可在△ACD 内利

用正弦定理求解,BC 可在△BCD 内由正弦定理求解.

解:在△ACD 中,已知 CD=a,∠ACD=α ,∠ADC=δ ,由正弦定理得

AC=

a sin ?

? a sin ?

sin[180 ? ? (? ? ? )] sin(? ? ? )

在△BCD 中,由正弦定理得

BC=

a sin ?

? a sin ?

sin[180 ? ? (? ? ? )] sin(? ? ? )

在△ABC 中,已经求得 AC 和 BC,又因为∠ACB=α -β ,所以用余弦定理.就可以求得

AB= AC2 ? BC2 ? 2AC ? BC ? cos(? ? ? )

评述:(1)要求学生熟练掌握正、余弦定理的应用; (2)注意体会例 2 求解过程在实际当中的应用. (给出幻灯片§5.10.2 B [例 3]分析:设 B 为台风中心,则 B 为 AB 边上动点,SB 也随之变化.S 岛是否受台风 影响可转化为 SB≤270 这一不等式是否有解的判断,则需表示 SB,可设台风中心经过 t 小 时到达 B 点,则在△ABS 中,由余弦定理可求 SB.

解:设台风中心经过 t 小时到达 B 点, 由题意,∠SAB=90°-30°=60° 在△SAB 中,SA=300,AB=30t,∠SAB=60°, 由余弦定理得: SB2=SA2+AB2-2SA·AB·cosSAB =3002+(30t)2-2·300·30tcos60° 若 S 岛受到台风影响,则应满足条件 |SB|≤270,即 SB2≤2702 化简整理得,t2-10t+19≤0 解之得,5-≤t≤5+ 所以从现在起,经过 5-小时 S 岛开始受到影响,(5+)小时后影响结束. 持续时间:(5+)-(5-)=2 小时. 答:S 岛受到台风影响,从现在起,经过(5-)小时,台风开始影响 S 岛,且持续时 间为 2 小时. 评述:此题为探索性命题,可以假设命题成立去寻求解存在条件,也可假设命题不成立 去寻求解存在条件.本题求解过程采用了第一种思路.SB≤270 是否有解最终转化为关于 t 的 一元二次不等式是否有解,与一元二次不等式解法相联系. 说明:本节三个例题要求学生在教师指导下自己完成,以逐步提高解三角形应用题的 能力. Ⅲ.课时小结 [师]通过本节学习,要求大家进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法,明确 解斜三角形知识在实际中的广泛应用,熟练掌握由实际问题向解斜三角形类型问题的转化, 逐步提高数学知识的应用能力. Ⅳ.课后作业 (一)课本 P135 习题 5.10 3、4. (二)1.预习内容 课本 P135~P138. 2.预习提纲

(1)利用解斜三角形的知识,能够解决哪些类型的实际问题? (2)实习作业中需要准备哪些测量工具?
§5.10.2 解斜三角形应用举例(二) 1. (1 (2 (3 (4 (5)几何 2.应用题求解主要工具: (1)正、余弦定理 (2)三角形性质 (3)二次函数知识 (4)不等式解法
2019-2020 年高一数学 5.1 向量(备课资料) 大纲人教版必修
1.对向量概念的理解 要深刻理解向量的概念,就要深刻理解有向线段这一概念.在线段 AB 的两个端点中,我 们规定了一个顺序,A 为起点,B 为终点,我们就说线段 AB 具有射线 AB 的方向,具有方向 的线段就叫做有向线段.通常有向线段的始点、终点要画箭头表示它的方向,以 A 为起点, 以 B 为终点的有向线段记为,需要学生注意的是:的字母是有顺序的,起点在前终点在后, 所以我们说有向线段有三个要素:起点、方向、长度. 既有大小又有方向的量,我们叫做向量,有些向量既有大小、方向、作用点(起点),比 如力;有些向量只有大小、方向,比如位移、速度,我们现在所学的向量一般指后者. 2.向量不能比较大小 我们知道,长度相等且方向相同的两个向量表示相等向量,但是两个向量之间只有相等 关系,没有大小之分,“对于向量 a,b,a>b,或 a<b”这种说法是错误的. 3.实数与向量不能相加减,但实数与向量可以相乘. 初学向量的同学很可能认为一个实数与一个向量之间可进行加法或者减法,这是错误的. 实数与向量之间不能相加减,但可相乘,相乘的意义就是几个相等向量相加. 4.向量概念辨析 (1)向量 a 与实数 a. 向量 a 是既有大小又有方向的量,大小即 a 的长度(或模),常记作|a|,它是一个非 负实数,而实数 a 仅有大小,无方向可言. 两个向量之间的关系只能说相等或不相等、共线或不共线,无所谓谁大谁小,即 a>b 是没有意义的;但向量的长度(或模)可以比较大小,即|a|>|b|有意义,而两实数之间 可以比较大小. (2)零向量 0 与实数 0 0 是指长度为 0 的向量,即|0|=0.该量有方向,方向是任意的,规定 0 与任一向量平 行、0 仅仅是一个无方向的实数.

注意下列写法是错误的: ①a-a=0; ②++ =0; ③a+0=a; ④|a|-|a|=0. (3)平行向量与相等向量 方向相同或相反的非零向量叫平行向量,也即共线向量,并且规定 0 与任一向量平行. 长度相等且方向相同的向量叫相等向量,规定零向量与零向量相等. 平行向量不一定相等,但相等向量一定是平行向量,即向量平行是向量相等的必要条件.


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