重庆市育才中学2013届高三12月月考数学(理)试题

重庆育才中学高 2013 级高三上 12 月月考卷 数学(理科)
(时间:120 分钟 满分 150 分)

I卷
1、 i 为虚数单位,计算 (1 ? i) ?
2

选择题(50 分)
) D、1 )

一、选择题(每小题 5 分,共 50 分,每小题只有一个正确答案)

1? i ?( 1? i
C、 ?1

A、 ?i 2、若双曲线

B、 i

A、

2 2

2 x2 y 2 ? 2 ? 1(a, b ? 0) 的渐近线方程为 y ? ? x ,则该双曲线的离心率为( 2 a b 2 开始 5 3 5 6 B、 C、 D、 i←1,S←0 2 5 2
x?2 ? 0}, B ? {x ?2 ? x ? 1} ,则“ x ? A ” 是 x ?1
S≤20 否 输出 i 结束 S←S+i i←i+2 是

3、已知集合 A ? {x

“ x ? B ”的( ) A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 4、 如图所示,输出结果为( ) A、3 B、7 C、8 D、9 5、下列命题中真命题的个数是( ) ①“ ?x ? R, x ? x ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x ? x ? 0 ” ;
2 2

第4题

②若 2x ?1 ? 1 ,则 0 ?
? 4

1 1 ? 1或 ? 0 ; x x
4

3

③ ?x ? N , 2 x ? 1 是奇数。

4

正视图

左视图

第 6 题图 A、0 B、1 C、2 D、3 6、如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的体积为( ) A、 12? B、 8? C、 6? D、 4? 7、三位老师分配到 4 个贫困村调查义务教育实施情况,若每个村最 多去 2 个人,则不同的分配方法种数是( ) A、240 B、120 C、60 D、12

?

俯视图

8、一直线与圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 (r ? 0) 相交于 A、B 两点,且 A、B 两点关于直线 x ? 2 y ? 2 对 称,则过点 P(?2b, ?2a )、Q(a, 4b ) 两点的直线的斜率的最小值为( )

A、 2

B、2

C、1

D、 2 2

9、已知 f ( x ) 是定义在 R 上的函数,且对任意 x ? R 都有 f ( x ? 2) ? f (2 ? x) ? 4 f (2) ,若函 数 y ? f ( x ? 1) 的图象关于点 (?1, 0) 对称,且 f (?1) ? 3 ,则 f (2013) ? ( A、 0 B、 ?3 C、 3 D、 6 )

1 1 10、已知定义在 (0,1) 上的函数 f ( x ) ,对任意 m, n ? (1, ??) 且 m ? n 时,都有 f ( ) ? f ( ) ? m n
m?n 1 f( ) .记 an ? f ( 2 ), n ? N ? ,则在数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? ? ? a8 =( 1 ? mn n ? 5n ? 5
A、 f ( ) )

1 5

B、 f ( )

1 4

C、 f ( )

1 3

D、 f ( )

1 2

II 卷

非选择题 (100 分)
1 a3 , a2 成等差数列,则公比 q = 2
; ___;

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分,只需将最后结果填到答题卡上对应的位置) 11、在等比数列 {an } 中,各项都是正数,且 2a1 , 12、 ( 3 x +

1 2 x
2

)5 的展开式中常数项为

13、抛物线 y ? 20 x 上各点和点(10,0)所连的线段中点的轨迹方程是



2 14、已知平面点集 A ? {( x, y ) x ? 1, y ? 1}, B ? {( x, y ) y ? x } ,若向 A 中随机投掷一点 P ,则点

P 落在区域 A ? B 中的概率为



15、如图所示,点 P, N 分别是函数 y ? sin(? x ? ? )

y
P

( x ? R, ? ? 0) 的图像的最高点、最低点,点 M 是该图像
???? ???? 1 ? 与 x 轴的交点,若 PM ? PN ? ,则 ? 的值为_________。 2

M

O
第 15 题图
N

x

三、解答题(共 6 题,共 75 分。需在答题卡对应位置写出必要的解题步骤和推演过程) 16、(共 13 分,第 1 问 6 分,第 2 问 7 分)

?? ? 在△ABC 中, a, b, c 分别为角 A、B、C 的对边,若 m =( sin 2 B ? C , 1 ), n ? (?2,cos 2 A ? 1) , 2
且m? n . (Ⅰ)求角 A 的度数; (Ⅱ)当 a ? 2 3 ,且△ABC 的面积 S ?

??

?

a 2 ? b2 ? c2 时,求边 c 的值和△ABC 的面积。 4 3

17、(共 13 分,第 1 问 6 分,第 2 问 7 分) 每位驾驶学员参加驾照考核均有 4 次考核机会。一旦考核合格就不必参加下次考核,否则还需 要参加下次考核。已知小王独立参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为 加第一次考核合格的概率不超过

1 的等差数列,他参 8

9 1 ,且他参加了两次考核才合格的概率为 。 32 2

(I)求小王第一次参加考核就合格的概率 p1 ; (II)求小王参加考核的次数 ? 的分布列和数学期望。

18、(共 13 分,第 1 问 5 分,第 2 问 8 分) 如 图 所 示 , 在 等 腰 直 角 ?ABC 中 , AC ? AB ? 2 2 , E 为 AB 的 中 点 , 点 F 在 BC 上 , 且 ??? ? ???? EF ? BC。 现沿 EF 将 ?BEF 折起到 ?PEF 的位置, PF ? BF 。 D 在 PC 上, PD ? 1 DC 。 使 点 且 2 (I)求证: AD / / 面 PEF ; (II)求二面角 A ? PC ? F 的平面角的余弦值。 P
D

C

F

B

E

A

19、(共 12 分,第 1 问 5 分,第 2 问 7 分)
2 2 ?? 3 已知函数 f ( x) ? ? x ? x ? bx ? c( x ? 1) 的图象过点 (?1, 2) ,且在 x ? 处取得极值. 3 ?a ln x( x ? 1)

(I)求实数 b、c 的值;

(II)求 f ( x ) 在 [?1, e] ( e 为自然对数的底数)上的最大值.

20、(共 12 分,第 1 问 5 分,第 2 问 7 分) 已知椭圆 E :

x2 y 2 过原点和 x 轴不重合的直线与椭 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (c,0),(c ? b) 。 a 2 b2

圆 E 相交于 A, B 两点, AF ? BF ? 4 , ?ABF 的面积最大值为 3 。 (I)求椭圆的方程; (II) 若直线 l : y ? kx ? m(m ? 2k ? 0) 与椭圆 E 交于 M , N , 以线段 MN 为直径的圆过 E 的右顶点, 求证:直线 l 过定点。

21、(共 12 分,第 1 问 5 分,第 2 问 7 分) 已知函数 f ( x) ? x ? x.
2

(I)数列 {an } 满足 a1 ? 0, an?1 ? f ?(an )( n ? N ) ,若
?

1 1 1 1 ? ? ??? ? ? 1 ? 10 ,求 a1 的 1 ? a1 1 ? a2 1 ? a10 2

值; (II)数列 {bn } 满足 b1 ? 1, bn?1 ? f (bn ), n ? N ? ,记 cn ?

1 , Sk 为数列 {cn } 前 k 项和, 1 ? bn

Tk 为数列 {cn } 的前 k 项积,求证:

Tn T1 T2 7 ? ? ??? ? ? 。 S1 ? T1 S2 ? T2 Sn ? Tn 10

重庆育才中学高 2013 级高三上 12 月月考卷 数学(理科)答案
一、选择题 1-5 ADADC
2

6-10 BCBCB

10 题提示: an ? f (

1 (n ? 2) ? (n ? 3) 1 1 , )? f( )? f( )? f ( ) n ? 5n ? 5 1 ? (n ? 2)(n ? 3) n?2 n?3

所以 a1 ? a2 ? ? ? a8 ? f ( ) ? f (

1 3

1 3 ? 11 1 )? f( ) ? f ( ) 。故选 B。 11 1 ? 3 ?11 4 5 ; 2
13、 y 2 ? 10 x ? 50 ; 14、

二、填空题: 11、2 ;

12、

1 ; 3

15、

3 ?。 3

三、简答题(16、17、18 每小题 13 分,19、20、21 每小题 12 分) 16、解: (I)由于 m ? n ,所以

??

?

?? ? B?C A ? cos 2 A ? 1 ? 1 ? 2 cos 2 ? 2 cos 2 A ? 1 ? 2 cos 2 A ? cos A ? 1 m ? n ? ?2sin 2 2 2
? (2cos A ? 1)(cos A ? 1) ? 0 .
┄┄┄┄┄┄┄┄┄4 分 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄6 分 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄7 分

1 或 1(舍去) , 2 2 即角 A 的度数为 ? 3
所以 cos A ? ? (II)由 S ?

? 3 a 2 ? b2 ? c2 及余弦定理得: tan C ? ,∴ C ? ? B 。 ┄┄┄┄┄┄┄┄9 分 6 3 4 3
┄┄┄┄┄┄┄┄┄11 分 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄13 分

a c ? 得c ? 2, sin A sin C 1 所以 ?ABC 的面积 S ? ac sin B ? 3 。 2
又由正弦定理

17、解: (1)根据题意,得 (1 ? p1 )( p1 ? ) ?

1 8

9 , 32

┄┄┄┄┄┄┄3 分 ┄┄┄┄┄┄┄┄4 分 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄5 分

1 5 或 p1 ? 。 4 8 1 1 因为 p1 ? ,所以 p1 ? , 2 4
解得 p1 ?

即小王第一次参加考核就合格的概率

1 。 4 1 3 1 5 , , , , 4 8 2 8

┄┄┄┄┄┄┄┄┄6 分

(2)由(1)的结论知,小王四次考核通过的概率分别为 所以 P (? ? 1) ?

1 , 4

┄┄┄┄┄┄┄┄┄7 分 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄9 分 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄10 分

P (? ? 2) ?

9 32

1 3 1 15 , P(? ? 3) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? 4 8 2 64

1 3 1 15 P(? ? 4) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ?1 ? 4 8 2 64
所以小王参加考核的次数 ? 的分布列为

?
P

1

2

3

4

1 4

9 32

15 64

15 64
┄┄┄┄┄┄┄┄┄11 分 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄13 分

所以小王参加测试的次数 ? 的数学期望为

1 9 15 15 157 E? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 4 32 64 64 64

18、方法一: (1)证明:如图,以 F 点为原点,分别以 FC , FE , FP 为 x,

y, z 轴建立空间直角坐标系。
2 3

经计算,易得以下坐标 F (0, 0, 0), C (3, 0, 0), A(1, 2, 0), D(1, 0, ) 易知,┄┄┄┄┄┄┄┄2 分

??? ? FC ? (3,0,0) 为面 EFP 的法向量。
3

┄┄┄┄┄┄┄┄┄3 分

???? ??? ???? ? 2 又因为 AD ? (0, ?2, ) ,所以 FC ? AD ? 0 ,即有 AD / / 面 PEF 。 ┄┄┄┄┄┄5 分
P D (2)又有以下点的坐标 P(0,0,1), E(0,1,0) 设面 APC 的法向量为 n ? ( x1, y1, z1 ) ,

?

? ??? ? ?n ? PC ? 0 ? 所以 ? ? ???? , ┄┄┄┄┄┄┄┄┄7 分 ?n ? AC ? 0 ? ? 令 x1 ? 1 ,解得 n ? (1,1,3) 。 ┄┄┄┄┄┄┄8 分

C

F

B

E A

y

又因为 FE ? (0,1,0) 为面 PCF 的法向量,┄┄┄┄┄┄┄10 分

??? ?

??? ? ? ? ??? ? FE ? n 11 所以 cos ? n, FE ?? ??? ? ? ┄┄┄┄┄┄┄┄┄12 分 ? 11 FE ? n
所以二面角 A ? PC ? E 的平面角的余弦值为 方法二: (1)证明:如图,过点 D 做 DH ? CF 垂足为点 H,┄┄┄┄┄1 分 连接 AH 则易知,DH//PF,AH//EF。┄┄┄┄┄┄┄3 分 所以面 ADH//面 EFP。┄┄┄┄┄┄┄┄┄4 分 所以 AD//面 PEF. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄5 分 E A Q H B

11 。┄┄┄┄┄┄┄┄┄13 分 11

(2)过 H 点做 QH ? CP ,垂足为点 Q,连接 AQ。 根据三垂线定理,知道 QA ? CP 。┄┄┄┄┄┄┄┄┄9 分 所以 ?AQH 即为二面角 A ? PC ? F 的平面角。┄┄┄┄┄┄┄┄10 分

11 又因为 tan ?AQH ? AH ? 2 ? 10 ,所以 cos ?AQH ? 。┄┄┄┄┄┄┄┄┄13 分 11 QH 10 5
2 19、解答:(1)当 x ? 1 时, f ?( x) ? ?3x ? 2 x ? b ,

┄┄┄┄┄┄┄┄┄2 分 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄4 分 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄5 分 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄6 分

由题意得: f (?1) ? 2, f ?( ) ? 0 , 解得 b ? c ? 0

2 3

?? x 3 ? x 2 ( x ? 1) (2)由(1)知, f ( x ) ? ? . ?a ln x( x ? 1)

2 2 ①当 ?1 ? x ? 1 时, f ?( x) ? ?3x ? 2 x ,解 f ?( x) ? ?3x ? 2x ? 0 得函数在 (?1, 0), ( ,1) 上单调递

2 3

减;在 (0, ) 上单调递增.由 f (?1) ? 2, f ( ) ? 值为 2 .

2 3

2 3

4 , f (0) ? 0, f (1) ? 0 ,所以 f ( x) 在 [?1,1) 上的最大 27
┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分

②当 1 ? x ? e 时, f ( x) ? a ln x 。当 a ? 0 时, f ( x) ? 0 ;当 a ? 0 时, f ( x ) 在 [1, e] 上单增,所以

f ( x) ? f (e) ? a ,即 f ( x) 在 [1, e] 上的最大值为 a 。
综上,当 a ? 2 时, f ( x ) 在 [?1, e] 上的最大值为 a ; 当 a ? 2 时, f ( x ) 在 [?1, e] 上的最大值为 2.

┄┄┄┄┄┄┄┄┄10 分 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄11 分 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄12 分

20、解: (I)由椭圆对称性设 A( x1 , y1 ), B(? x1 , ? y1 ) ,易知 F (c, 0) 。因为 AF ? BF ?

( x1 ? c)2 ? y12 ? (? x1 ? c)2 ? (? y1 ) 2 ? ( x1 ? c) 2 ? y12 ? ( x1 ? c) 2 ? y12 ? 2a 。
所以 2a ? 4, a ? 2 。 又因为 S ?ABF ? ┄┄┄┄┄┄ ┄2 分

1 OF ? 2 y1 ? c y1 。所以当 y1 ? b 时 S?ABF 取得最大值,故 bc ? 3 .┄┄┄4 分 2

又 因 为 b2 ? c2 ? a 2 ? 4, c ? b , 所 以 b ? 1, c ? 3 。 即 椭 圆 方 程 为

x2 ? y 2 ? 1. 4

┄┄┄┄┄┄┄┄5 分

? y ? kx ? m ? (II)由 ? x 2 得 (1 ? k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 4 ? 0 ,由两个交点,得 ? ? 0 ,即 2 ? ? y ?1 ?4
m2 ? 1 ? 4k 2 ? 0
①。 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄7 分

设交点 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?

8km 4m 2 ? 4 , x1 x2 ? 。 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

因 为 以 线 段 MN 为 直 线 的 圆 过 ( 2 , 0 ), 所 以 ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? y1 y2 ? 0 , 即

( x1 ? 2 ) x( ? 2

2 ) k x ? m k (? ? 1( )2 x

,整理得 m? ) 0 5m2 ? 16km ? 12k 2 ? 0, 解得 m ? ?2k (舍去)或

6 m?? k。 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄9 分 5 6 6 6 当 m ? ? k ,代入①式中,可知满足条件,此时直线 l : y ? k ( x ? ) ,恒过定点( ,0)┄11 分 5 5 5 6 综上所述,直线 l 恒过定点( ,0) 。 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄12 分 5
21、解: (I)因为 f ?( x) ? 2 x ? 1 ,所以 an?1 ? 2an ? 1, an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) 。 所以数列 {an ? 1} 为等比数列, an ? 1 ? (a1 ? 1) ? 2n?1 , ┄┄┄┄┄┄┄┄┄2 分

从而

1 1 1 ? ? ( )n?1 ,所以 an ? 1 (a1 ? 1) 2

1 2? 9 1 1 1 1 1 1 1 2 ? 1 ? 1 。┄┄┄┄┄4 分 ? ? ??? ? ? ? (1 ? ? 2 ? ??? ? 10?1 ) ? 1 ? a1 1 ? a2 1 ? a10 1 ? a1 2 2 2 1 ? a1 210
所以 a1 ? 1 。 (II)因为 bn ?1 ? f (bn ) ? bn (bn ? 1), cn ? 又因为 bn?1 ? bn (bn ? 1), 得 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄5 分

b b b b 1 1 。 ? n , Tn ? 1 ? 2 ? ? n ? ??? 1 ? bn bn?1 b2 b3 bn ?1 bn ?1
┄┄┄┄┄┄┄7 分

1 1 1 1 1 1 。 ? ? , cn ? ? , Sk ? 1 ? bn?1 bn bn ? 1 bn bn?1 bk ?1 1 1 ? 2. bk ?1 bk

因为 bk ?1 ? bk (bk ? 1), 所以 bk ?1 ? bk 2 ,

┄┄┄┄┄┄┄8 分

由 b1 ? 1, b2 ? 2, b3 ? 6 ,且 2n ? n(n ? 1) 得

Tn T1 T2 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ? 2 ? 22 ? ??? ? 2n?2 S1 ? T1 S2 ? T2 Sn ? Tn 2 6 6 6 6

1 1 1 1 1 ? ? ? 2 ? 3 ? ? ? ?n? 2 ? 2 6 6 6 6
综上所述,结论得证。

1 1 6 ? ? 2 ?1 1 6

7 ? 10

┄┄┄┄┄┄┄12 分


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