高考数学一轮总复习 第八篇 第6讲 空间中向量的概念和运算课件 理 湘教版_图文

第6讲 空间中向量的概念和运算 ? 【2014年高考会这样考】 ? 1.考查空间向量的线性运算、数量积和空间向量基本定 理 ? 及其意义. ? 2.利用向量的数量积判断两空间向量的平行与垂直关 系. 考点梳理 1.空? 间(1)向空量间的向有量关:概在念空间中,具有_____和_____的量叫做 空间向量. 大小 方向 ? (2)相等向量:方向_____且模_____的向量. ? (相3)_共__线__向__量__:__表的示相向空同量间.向量相的等有向线段所在的直线互 ? (4)共面向量:_________________的向量. 平行或重合 平行于同一个平面 2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 ? (1)共线向量定理 ? 对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存 在实数λ,使得a=λb. 推论 如图所示,点 P 在 l 上的充要条件 是:O→P=O→A+ta ① 其中 a 叫直线 l 的方向向量,t∈R,在 l 上 取A→B=a,则①可化为O→P=O→A+tA→B或O→P =(1-t) O→A+t → OB. (2)共面向量定理 共面向量定理的向量表达式:p=xa+yb ,其中 x,y∈R,a, b 为不共线向量,推论的表达式为M→P=xM→A+yM→B或对空间 任意一点 O,有O→P=__O→_M__+__x_M_→_A_+__y_M_→_B或O→P=xO→M+yO→A+ zO→B,其中 1 x+y+z=__. (3?)空设间e1向,量e2,基e本3是定空理间中三个不共面的单位向量,则 ? ①空间中任意一个向量v可以写成这三个向量的线性组 合:_________________. ? ②上v=述x表e1达+式ye中2+的ze系3 数x,y,z由v唯一决定.即: ? 如果v=xe1+ye2+ze3=x′e1+y′e2+z′e3,则___________, ? _______,______. x=x′ y=y′ z=z′ 3.空间向量的线性运算及运算律 (1)定义:与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法 与数乘向量运算,如下:O→B=O→A+A→B=a+b;B→A=O→A -O→B=a-b;O→P=λa(λ∈R). (2)运算律:①加法交换律:a+b=_b_+__a__; ②加法结合律:(a+b)+c=_a_+__(_b_+__c_) _; ? ③空间向量与实数相乘分配律:λ(a+b)= _λ_a_+__λ_b_______;(λ1+λ2)a=λ1a+λ2a. 4.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念: ①两向量的夹角:已知两个非零向量 a,b,在空间任取 一点 O,作O→A=a,O→B=b,则∠AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角,记作〈__a_,__b_〉_,其范围是___0_≤__〈__a_,__b_〉__≤_π____, 若〈a,b〉=π2,则称 a 与 b_互__相__垂__直__,记作 a⊥b. ②两个向量的数量积:已知空间两个非零向量 a,b,则 ___|a_||_b_|·_c_o_s_〈__a_,__b_〉__叫做向量 a,b 的数量积,记作a_·_b_, 即__a_·_b_=__|a_|_|b_|_·c_o_s_〈__a_,__b_〉__. (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律:(λa)·b=___λ_(a_·_b_) _; ②交换律:a·b=___b_·a__; ③分配律:a·(b+c)=__a__·b_+__a_·_c_. 【助学·微博】? 一种方法 ? 用空间向量解决几何问题的一般方法步骤是: ? (1)适当的选取基底{a,b,c}; ? (2)用a,b,c表示相关向量; ? (3)通过运算完成证明或计算问题. 两个理解 (1)共线向量定理还可以有以下几种形式: ①a=λb(b≠0)?a∥b; ②空间任意两个向量,共线的充要条件是存在 λ,μ∈R 使 λa=μb. ③若O→A,O→B不共线,则 P,A,B 三点共线的充要条件是O→P=λO→A +μO→B且 λ+μ=1. (2)对于共面向量定理和空间向量基本定理可对比共线向量定理 进行学习理解.空间向量基本定理是适当选取基底的依据,共线 向量定理和共面向量定理是证明三点共线、线线平行、四点共面、 线面平行的工具,三个定理保证了由向量作为桥梁由实数运算方 法完成几何证明问题的完美“嫁接”. 考点自测 1.下列有关空间向量的四个命题中,错误命题为 ( ). ? A.空间中有无数多组不共面的向量可作为向量的基底 ? B.向量与平面平行,则向量所在的直线与平面平行 ? C.平面α的法向量垂直于α内的每个向量 ? D.空间中的任一非零向量都可唯一地表示成空间中不 共 ? 面向量的线性组合的形式 ? 解析 若向量与平面平行,则向量所在的直线与平面平行或在 平面内. ? 答案 B 2.(湘教版教材习题改编)下列命题: ①若 A、B、C、D 是空间任意四点,则有A→B+B→C+C→D+ D→A=0; ②|a|-|b|=|a+b|是 a、b 共线的充要条件; ③若 a、b 共线,则 a 与 b 所在直线平行; ④对空间任意一点 O 与不共线的三点 A、B、C,若O→P= xO→A+yO→B+zO→C(其中 x、y、z∈R),则 P、A、B、C 四 点共面. ? 其中不正确命题的个数是 ( ). ? A.1 B.2 C.3 D.4 ? 解析 ①中四点恰好围成一封闭图形,正确; ? ②中当a、b同向时,应有|a|+|b|=|a+b|; ? ③中a、b所在直线可能重合; ? ④中需满足x+y+z=1,才有P、A、B、C四点共面. ? 答案 C 3.(2013·武隆模拟)已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 E 为上底面 A1C1 的中心,若A→E=A→A1+xA→B+yA→D,则 x、

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