四川省绵阳南山中学2013届高三数学零诊考试 文【会员独享】


绵阳南山中学高 2013 级第五期零诊考试 数学试题(文史财经类)
范围:集合与常用逻辑用语、函数与导数和三角函数. 第 I 卷(选择题) 一、选择题:每小题 5 分,共 60 分. 1.与命题“若 a∈M,则 b?M”等价的命题是( ) A.若 a?M,则 b?M B.若 b?M,则 a∈M C.若 b∈M,则 a?M D.若 a?M,则 b∈M 2 2.全集 U=R,A={x|x -2x≤0},B={y|y=cosx,x∈R},则下图中阴影部分表示的集合 为( ) A.{x|x<-1 或 x>2} B.{x|-1≤x≤2} C.{x|x≤1} D.{x|0≤x≤1} 3.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是( ) 3 2 -∣x∣ A.y=x B.y=|x|+1 C.y=-x +1 D.y=2 3 4.若点 P(3,y)是角 α 终边上的一点,且满足 y<0,cosα = ,则 tanα =( ) 5 3 3 4 4 A.B. C. D. 4 4 3 3 0.2 0.2 2 5.若 a=5 ,b=0.5 ,c=0.5 ,则( ) A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a 2 2 2 6.设函数 f(x)=logax(a>0 且 a≠1),若 f(x1x2?x2013)=8,则 f(x1 )+f(x2 )+?+f(x2013 )= ( ) A.4 B.8 C.16 D.2loga8 2 7.函数 f(x)=ln(4+3x-x )的单调递减区间是( ) 3 ?1 ? ? 5? ?3 ? 4 A.( ,) B. ? ,4? C. ?1, ? D. ? ,2? ?2 ? ? 2? ?2 ? 2

?π π ? 8.函数 y=log2sinx 在 x∈? , ?时的值域为( ?6 4?
A.[-1,0]
B. ? - 1, ? 2 ? ? ? 1?

) C.[0,1) D.[0,1]

2 9.已知[x]表示不超过实数 x 的最大整数,g(x)=[x]为取整函数,x0 是函数 f(x)=lnx- 的

x

零点,则 g(x0)等于( ) A.4 B.3 10.已知 f(x)= ? ?
? x ? 1, x ? [ ? 1, 0 ) ? x 2 ? 1, x ? [ 0 ,1] ?

C.2

D.1 )

,则下列四图中所作函数的图像错误的是(

11.若 x∈R,n∈N ,规定:Hx=x(x+1)(x+2) (x+n-1),例如:H-3=(-3)·(-2)·(-1)= 7 -6,则函数 f(x)=x·Hx-3( ) A.是奇函数不是偶函数 B.是偶函数不是奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数 x 12.若函数 f(x)=-xe ,则下列命题正确的是( )
用心 爱心 专心 -1-

*

n

?

3

1? ? A.对任意 a∈?-∞, ?,都存在 x∈R,使得 f(x)>a e? ? 1 ? ? B.对任意 a∈? ,+∞?,都存在 x∈R,使得 f(x)>a ?e ? 1? ? C.对任意 x∈R,都存在 a∈?-∞, ?,使得 f(x)>a e? ? 1 ? ? D.对任意 x∈R,都存在 a∈? ,+∞?,使得 f(x)>a ?e ? 第 II 卷(非选择题) 二、填空题:每小题 4 分,共 16 分. 2? ?1 α 13.已知幂函数 f(x)=k·x 的图像过点? , ?,则 k+α =________. ?2 2 ? 14.化简(log43+log83)(log32+log92)=________. 15.若函数 f(x)的导函数 f′(x)=x -4x+3,则函数 f(x+1)的单调递减区间是________. 16.已知函数 y=f(x)和 y=g(x)在[-2,2]上的图像如 所示,则方程 f[g(x)]=0 有且仅有_____个根; 方程 f[f(x)]=0 有且仅有______个根. 右图
2

三、解答题:前 5 道题每题 12 分,最后一道题 14 分,本大题共 74 分. ?1 ? x 17.(12 分)已知 c>0.设命题 p:函数 y=c 为减函数,命题 q:当 x∈? ,2?时,函数 f(x)=x ?2 ? 1 1 + > 恒成立.如果 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,求 c 的取值范围.

x c

18.(12 分)已知函数 f(x)=ax +(b-8)x-a-ab(a≠0),当 x∈(-3,2)时,f(x)>0; 当 x∈(-∞,-3)∪(2,+∞)时,f(x)<0. (1)求 f(x)在[0,1]内的值域; 2 (2) c 为何值时,不等式 ax +bx+c≤0 在[1,4]上恒成立.

2

π 19.(12 分)已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0,|φ |< )的一段图像如下所示. 2 (1)求 f(x)的解析式;
用心 爱心 专心 -2-

(2)求 f(x)的单调减区间,并指出 f(x)的最大值及取到最大值时 x 的集合.

20.(12 分)某公司计划投资 A、B 两种金融产品,根据市场调查与预测,A 产品的利润与投资 量成正比例,其关系如图(1),B 产品的利润与投资量的算术平方根成正比例,其关系如图 (2) (注:利润与投资量的单位均为万元). (1)分别将 A、B 两种产品的利润表示为投资量的函数关系式; (2)该公司有 10 万元资金,并全部投入 A、B 两种产品中,问:怎样分配这 10 万元资金, 才能使公司获得最大利润?其最大利润为多少万元?

4 3 21.(12 分)若函数 f(x)=ax -bx+4,当 x=2 时,函数 f(x)有极值- . 3 (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若函数 g(x)=f(x)-k 有三个零点,求实数 k 的取值范围.

22.(14 分)已知函数 f(x)=log4(4 +1)+kx (k∈R)是偶函数. (1)求 k 的值; 4 ? x ? (2)设 g(x)=log4?a·2 - a?, 若函数 f(x)与 g(x)的图像有且只有一个公共点, 求实数 a 3 ? ? 的取值范围.

x

用心

爱心

专心

-3-

2013 级第五期零诊考试数学试题(文)参考答案 1.C 析:命题“若 a∈M,则 b?M”的逆否命题是“若 b∈M,则 a?M”,又原命题与逆否命 题为等价命题,故选 C. 2.D 析:阴影部分表示的集合是 A∩B.依题意知,A={x|0≤x≤2}, B={y|-1≤y≤1}, ∴A∩B={x|0≤x≤1},故选 D. 3 3.B 析:A 选项中,函数 y=x 是奇函数;B 选项中,y=|x|+1 是偶函数,且在 2 (0,+∞)上是增函数;C 选项中,y=-x +1 是偶函数,但在(0,+∞)上是减函数; ?1?|x| -|x| D 选项中,y=2 =? ? 是偶函数,但在(0,+∞)上是减函数.故选 B. ?2? 3 3 4 2 4.D 析: cosα = = ,∴y =16.∵y<0,∴y=-4,∴tanα =- . 2 5 3 9+y 5.A 析:a=5 >5 =1,0<0.5 <0.5 <0.5 =1 2 2 2 6. C 析:依题意有 loga(x1x2?x2013)=8,而 f(x1)+f(x2)+?+f(x2013 ) 2 2 2 2 =logax1+logax2+?+logax2013 =loga(x1x2?x2013) =2loga(x1x2?x2013)=2×8=16. ? 3?2 25 2 7.A 析:函数 f(x)的定义域是(-1,4),u(x)=-x +3x+4=-?x- ? + 在(-1,4)上的 ? 2? 4 ?3 ? ?3 ? 减区间为? ,4?.∵e>1,∴函数 f(x)的单调递减区间为? ,4?. 2 ? ? ?2 ? 1 2 1 ?π π ? 8.B 析: x∈? , ?,得 ≤sinx≤ ,∴-1≤log2sinx≤- . 2 2 2 ?6 4? 2 9.C 析:因为 f(2)=ln2-1<0,f(3)=ln3- >0,故 x0∈(2,3),g(x0)=[x0]=2. 3 10.D 析:因 f(x)=?
?x+1,x∈[-1,?0, ? ? ?x +1,x∈[0,1],
2 0.2 0 2 0.2 0

其图像如图,验证知 f(x-1),f(-x),f(|x|)

的图像均正确,只有|f(x)|的图象错误. 2 2 2 2 11.B 析:f(x)=x(x-3)(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)(x+3)=x (x -1)(x -4)(x -9), ∴f(x)是偶函数. x 12.A 析: f′(x)=-e (x+1),由于函数 f(x)在(-∞,-1)上递增,在(-1,+∞)上 1? 1 ? 递减,故 f(x)max=f(-1)= ,故任意 a∈?-∞, ?,? x0∈R,f(x0)>a. e? e ? 2 2? ?1 ?1?α α 析:∵f(x)=k·x 是幂函数,∴k=1.又 f(x)的图像过点? , ?,∴? ? = , 2 ?2? 2 2? ? 1 1 3 ∴α = .∴k+α =1+ = . 2 2 2 5 1 1 1 5 3 5 14. 析:原式= log23+ log23log32+ log32= log23· log32= .(方法多) 4 2 3 2 6 2 4 2 15. (0,2) 析: f′(x)=x -4x+3=(x-1)(x-3)知, x∈(1,3)时, ′(x)<0.函数 f(x) 由 当 f 在(1,3)上为减函数,函数 f(x+1)的图像是由函数 y=f(x)的图像向左平移 1 个单位长度 得到的,所以(0,2)为函数 y=f(x+1)的单调减区间. 16. 5 析: 6、 由图可知方程 f(x)=0 在[-2,2]上的根有三个, 分别为 x=0, =a∈(-2, x -1), x=b∈(1,2). ①f[g(x)]=0 等价于 g(x)=0 或 g(x)=a∈(-2,-1)或 g(x)=b∈(1,2),结合 y=g(x) 在[-2,2]的图像,可以发现 g(x)=0,g(x)=a∈(-2,-1),g(x)=b∈(1,2)各有两个 解,合计为 6 个解;②f[f(x)]=0 等价于 f(x)=0 或 f(x)=a∈(-2,-1)或 f(x)= b∈(1,2),结合 y=f(x)在[-2,2]的图像,可以发现 f(x)=0,f(x)=a∈(-2,-1), f(x)=b∈(1,2)的根分别为 3 个,1 个,1 个,合计为 5 个解. 1 5 1 1 17.解:若命题 p 为真,则 0<c<1,由 2≤x+ ≤ 知,要使 q 为真,需 <2,即 c> . x 2 c 2 若 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,则 p、q 中必有一真一假, 13. 3 2
用心 爱心 专心 -4-

1 当 p 真 q 假时,c 的取值范围是 0<c≤ ;当 p 假 q 真时,c 的取值范围是 c≥1. 2
? ? ? 1 综上可知,c 的取值范围是?c?0<c≤ 2 ? ? ?

或c≥1?.
? ?

? ?

18.解:由题意得 x=-3 和 x=2 是函数 f(x)的零点且 a≠0,

?-b-8=-3+2, ? a 则? -a-ab ? a =-3×2. ?

解得?

?a=-3, ? ? ?b=5.

∴f(x)=-3x -3x+18.

2

(1)由图像知,函数在[0,1]内单调递减,∴当 x=0 时,y=18;当 x=1 时,y=12, ∴f(x)在[0,1]内的值域为[12,18]. ?5 ? 2 (2)令 g(x)=-3x +5x+c.∵g(x)在? ,+∞?上单调递减, 要使 g(x)≤0 在[1,4]上恒成 6 ? ? 立,则需要 g(1)≤0.即-3+5+c≤0,解得 c≤-2, 2 ∴当 c≤-2 时,不等式 ax +bx+c≤0 在[1,4]上恒成立. 3 π 15π 2 ?2 ? 19.解:(1)由图知 A=3, T=4π - = ,∴T=5π ,∴ω = ,∴f(x)=3sin? x+φ ?. 4 4 4 5 ?5 ? π π ?π ? ∵f(x)的图像过点( ,0),∴3sin? +φ ?=0,∴ +φ =kπ (k∈Z), 10 4 10 ? ? π π π ?2 π ? ∴φ =kπ - (k∈Z),∵|φ |< ,∴φ =- ,∴f(x)=3sin? x- ?. 10 2 10 ?5 10? π 2 π 3π 3π (2)由 2kπ + ≤ x- ≤2kπ + 得,5kπ + ≤x≤5kπ +4π (k∈Z), 2 5 10 2 2 3π ? ? ∴函数 f(x)的单调减区间为?5kπ + ,5kπ +4π ?(k∈Z). 2 ? ?
? ? ? 3π 函数 f(x)的最大值为 3,取到最大值时 x 的集合为?x?x=5kπ + ,k∈Z 2 ? ? ? ? ? ?. ? ?

20.解:(1)设投资 x 万元,A 产品的利润为 f(x)万元,B 产品的利润为 g(x)万元. 1 依题意可设 f(x)=k1x,g(x)=k2 x,由图(1),得 f(1)=0.2,即 k1=0.2= . 5 4 1 4 由图(2), g(4)=1.6, k2× 4=1.6.∴k2= , f(x)= x(x≥0), (x)= x(x≥0). 得 即 故 g 5 5 5 (2)设 B 产品投入 x 万元,则 A 产品投入 10-x 万元,设公司利润为 y 万元, 1 4 由(1)得 y=f(10-x)+g(x)=- x+ x+2(0≤x≤10). 5 5 1 4 1 14 2 ∵y=- x+ x+2=- ( x-2) + ,0≤ x≤ 10, 5 5 5 5 14 ∴当 x=2,即 x=4 时,ymax= =2.8, 5 因此当 A 产品投入 6 万元,B 产品投入 4 万元时,该公司获得最大利润,为 2.8 万元. 2 21.解:(1)由题意可知 f′(x)=3ax -b,

?f′?2?=12a-b=0, ? 于是? 4 ?f?2?=8a-2b+4=-3, ?
4.
2

?a=1, ? 解得? 3 ?b=4. ?

1 3 故所求的解析式为 f(x)= x -4x+ 3

(2)由(1)可知 f′(x)=x -4=(x-2)(x+2),令 f′(x)=0,得 x=2 或 x=-2. 当 x 变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表所示:
用心 爱心 专心 -5-

x f′(x) f(x)

(-∞, -2) + ?增

-2 0 28 3

(-2,2) - ?减

2 0 - 4 3

(2,+∞) + ?增

28 4 因此,当 x=-2 时,f(x)有极大值 ;当 x=2 时,f(x)有极小值- . 图(略) . 3 3 4 28 故要使 g(x)=f(x)-k 有三个零点,实数 k 的取值范围是- <k< . 3 3 x 22.解: (1)∵函数 f(x)=log4(4 +1)+kx(k∈R)是偶函数, x ?1+4 ? -x x x ∴f(-x)=log4(4 +1)-kx=log4? x ?-kx=log4(4 +1)-(k+1)x=log4(4 +1)+ ? 4 ? 1 kx 恒成立,∴-(k+1)=k,则 k=- . 2 4 ? x ? (2)g(x)=log4?a·2 - a?,函数 f(x)与 g(x)的图像有且只有一个公共点,即方程 f(x) 3 ? ? 4 ? 1 x ? x =g(x)只有一个解,由已知得 log4(4 +1)- x=log4?a·2 - a?. 3 ? 2 ? 4 ? 4 +1 x ? ∴log4 x =log4?a·2 - a? 3 ? 2 ?
x

4 ?a·2 -3a>0, ? 方程等价于? 4 +1 4 ? 2 =a·2 -3a. ?
x x x x

4 x 2 设 2 =t(t>0),则有关于 t 的方程(a-1)t - at-1=0. 3 4 4 2 若 a-1>0 即 a>1,则需关于 t 的方程(a-1)t - at-1=0 只有一个大于 的正数解. 3 3 4 4 4 2 设 h(t)=(a-1)t - at-1,∵h(0)=-1<0,h( )<0∴恰好有一个大于 的正解, 3 3 3 ∴a>1 满足题意; 若 a-1=0 即 a=1 时,解得 t<0,不满足题意; 3 ? 4 ?2 若 a-1<0 即 a<1 时,由 Δ =?- a? +4(a-1)=0,得 a=-3 或 a= , 4 ? 3 ? 4 4 2 当 a=-3 时,则需关于 t 的方程(a-1)t - at-1=0 只有一个小于 的正数解. 3 3 1 解得 t= 满足题意; 2 3 当 a= 时,t=-2,不满足题意. 4 综上所述,实数 a 的取值范围是{a|a>1 或 a=-3}.

用心

爱心

专心

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