陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第三章 推理与证明 数学证明学案 北师大版选修1-2

3.2 数学证明
学习目标 结合已学过的数学实例和生活中的实例, 体会演绎推理的重要性, 掌握演绎推理的基本 模式,并能运用它们进行一些简单推理。 学习过程: 一、预习: 1、引言:小明是一名高二年级的学生,17 岁,迷恋上网络,沉迷于虚拟的世界当中。 由于每月的零花钱不够用,便向亲戚要钱,但这仍然满足不了需求,于是就产生了歹念,强 行向路人抢取钱财。 但小明却说我是未成年人而且就抢了 50 元, 这应该不会很严重吧??? 如果你是法官,你会如何判决呢?小明到底是不是犯罪呢? 分析上面的问题: 大前提:刑法规定抢劫罪是以非法占有为目的,使用暴力、胁迫或其他方法,强行劫取 公私财物的行为。其刑事责任年龄起点为 14 周岁,对财物的数额没有要求。 小前提:小明超过 14 周岁,强行向路人抢取钱财 50 元。 结论:小明犯了抢劫罪。 2、我们知道合情推理所得结论不一定正确,那么怎样推理所得的结论就一定正确呢?又 怎样证明一个结论呢?

3、三段论的基本格式:

4、归纳:三段论是指由两个简单判断作前提和一个简单判断作结论组成的演绎推理。 三段论中三个简单判断只包含三个不同的概念, 每个概念都重复出现一次。 这三个概念都有 专门名称:结论中的宾词叫“大词”,结论中的主词叫“小词”,结论不出现的那个概念叫 “中词”,在两个前提中,包含大词的叫“大前提”,包含小词的叫“小前提”。 演绎推理的特点: 1.演绎推理的前提是一般性原理,演绎所得的的结论是蕴含于前提之中的个别、特殊 事实,结论完全蕴含于前提之中,因此演绎推理是由一般到特殊的推理;

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2、在演绎推理中,前提于结论之间存在着必然的联系,只要前提和推理形式是正确的, 结论必定正确。因此演绎推理是数学中严格的证明工具。 3、在演绎推理是一种收敛性的思维方法,它较少创造性,但却具有条理清晰、令人信 服的论证作用,有助于科学论证和系统化。 二、课堂训练: 例 1、把“函数 y=x +x+1 的图象是一条抛物线”恢复成完全三段论
2

例 2. D,E,F 分别是 BC,CA,AB 上的点,∠BFD=∠A,DE∥BA,求证:ED=AF

例 3、已知 a,b,m 均为正实数,b<a,求证: 〈

b b?m a a?m

三、练习: 1、把下列推理恢复成完全的三段论

( 1 )因为?ABC三边长依次为 3, 4, 5,所以?ABC是直角三角形;

(2)函数y ? 2x ? 5的图象是一条直线 .

2、下面说法正确的有(



(1)演绎推理是由一般到特殊的推理; (2)演绎推理得到的结论一定是正确的; (3)演绎推理一般模式是“三段论”形式; (4)演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关。 A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个

3、用三段论的形式写出下列演绎推理。 (1)三角形内角和 180°,等边三角形内角和是 180°。

2

(2) 0.33 2 是有理数

?

4、在△ABC 中,AC>BC,CD 是 AB 边上的高,求证∠ACD>∠BCD。

四、巩固练习: 1. 下列表述正确的是( ). ①归纳推理是由部分到整体的推理;②归纳推理是由一般到一般的推理;③演绎推理是 由一般到特殊的推理;④类比推理是由特殊到一般的推理;⑤类比推理是由特殊到特殊 的推理. A.①②③; B.②③④; C.②④⑤; D.①③⑤. 2. 演绎推理是以下列哪个为前提,推出某个特殊情况下的结论的推理方法( ). A.一般的原理原则; B.特定的命题; C.一般的命题; D.定理、公式. 3.已知 Δ ABC 中,∠A=30°∠B=60°求证:a<b. 证明: ∵ ∠A=30°,∠B=60°∴ ∠A<∠B ∴ a<b 画线部分是演绎推理的( ). A.大前提 B.小前提 C.结论 D.三段论 4、把下列演绎推理写成“三段论”的形式. (1)三角函数都是周期函数,y=tanx 是三角函数,所以 y=tanx 是周期函数. (2)一切奇数都不能被 2 整除, (2 100 +1)是奇数,所以(2 100 +1)不能被 2 整除.

5、用三段论证明:三角形内角和等于 180°.

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