广西高二数学下学期第二次月考试题 文

柳铁一中 2012—2013 年度高二下学期数学月考试题(文)
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 ) 1.对同一目标进行两次射击,第一、二次射击命中目标的概率分别为 0 .5 和 0 .7 ,则两次射 击中至少有一次命中目标的概率是( A. 0.35 B. 0.42 C. 0.85 ) D. 0.15 )

2.已知 m, n 是两条不同直线, ? , ? , ? 是三个不同平面,下列命题中正确的是( A. 若m‖? , n‖? , 则m‖ n C. 若m‖? , m‖ ? , 则?‖ ? B. 若? ? ? , ? ? ? , 则?‖ ? D. 若m ? ? , n ? ? , 则m‖ n

3. 从 10 种不同的软件中选出 6 种放在 6 个不同的架子上展出, 每个架子上只能放一种软件, 且第 1 号架子上不能放甲或乙种软件,那么不同的放法共有( )
1 5 A. C8 A9 种

B.

5 C1 8 A8 种

C.

2 4 C10 A8 种

D.

5 C1 9 A9 种

D1 A1 B1

C1

4. 如图, 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,AB ? 2 . 则点 A 到面 A1 DCB1 的 距离是( )
D

C B

A. 3

B. 2

2 C. 2

A

D. 2 )

5. 从装有 2 个黑球和 2 个白球的口袋内任取 2 个球, 那么互斥而不对立的两个事件是 ( A.至少有 1 个黑球,至少有 1 个白球 B.恰有 1 个黑球,恰有 2 个白球 C.至少有 1 个黑球,都是黑球 D.至少有 1 个黑球,都是白球 6.如图,在长方体 成的角为 ( )
D1

ABCD ? A1B 1C1D1 中, AB ? BC ? 2 , AA1 ? 1 ,则异面直线 AC1 与 BB1 所
C1 B1 C B

2 2 arctan 3 A.

2 2 arccos 3 B.

A1 D

arcsin
C.

1 3

D. arctan 2 2

A

7.将 4 本不同的书全发给 3 名同学,则每名同学至少有一本书的概率为(



8 A. 9

4 B. 27

4 C. 9

5 D. 9

8.若 A. 5
100

(1 ? 2x)100 ? a0 ? a1 ( x ? 1) ? ? ? ?a100 ( x ? 1)100 , 则 a1 ? a2 ? ? ? ? ? a100 ? (
? 3100
B. 5
100



C. 3

100

D. 3

100

?1

3 9.在 ?1 ? x? ? ?1 ? x? ? ?1 ? x? ? ?1 ? x? 展开式中,含 x 的项的系数是(

5

6

7

8



A. ? 126

B. ? 121

C. 126

D. 121

10.一个球面上有三个点 A 、 B 、 C ,若 AB ? AC ? 2 , BC ? 2 2 ,球心到平面 ABC 的 距离为 1,则球的表面积为( A. 3? B. 4? ) C. 8? D. 12?

11. 设 n 为奇数, 那么 A. ? 3 B. 2

1 2 n?1 11n ? Cn ?11n?1 ? Cn ?11n?2 ? ? ? ? ? Cn ?11? 1 除以 13 的余数是 ( )

C. 10

D. 11

12.用 6 种颜色给右图四面体 A ? BCD 的每条棱染色,要求每条棱只染 一种颜色且共顶点的棱染不同的颜色,则不同的染色方法共有( A. 4080 B. 3360 C. 1920 D. 720 )种。

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.记者要为 5 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照,要求排成一排,2 位老人相邻但不排 在两端,则不同的排法共有 (用数字回答) 。 14.已知 ?ax ? 1? 的展开式中, x 的系数是 240,则实数 a 的值为_______________。
6
2

15.从 6 名男同学,5 名女同学中任选 3 名参加体能测试,则选到的 3 名同学中既有男同学 又有女同学的概率为 __________。 16.将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 A ? BD ? C ,有如下四个结论: ①AC⊥BD;② ?ACD 是等边三角形;③ AB 与 CD 所成的角为 60 ;④ AB 与平面 BCD 成
?

60? 的角。其中正确的结论的序号是 _______ .
三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分)

1 (x 4 ? )n x 的展开式中,第三项的二项式系数比第二项的二项式系数大 35。 17.在
(1)求 n 的值; (2)求展开式中的常数项。

18.甲、乙两队在进行一场五局三胜制的排球比赛中,规定先赢三局的队获胜,并且比赛就

3 2 此结束,现已知甲、乙两队每比赛一局,甲队获胜的概率为 5 ,乙队获胜的概率为 5 ,且
每局比赛的胜负是相互独立的,问: (1)甲队以 3 : 2 获胜的概率是多少?

(2)乙队获胜的概率是多少?

19.若 ( x ? 1) 的展开式中只有第 10 项的二项式系数最大,
n

(1)求展开式中系数最大的项; (2)设

(2x ?1) n ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? ? ? an x n ,求 a0 ? a2 ? a4 ? ? ? ? ? an .

20 .如图所示, ?ABC 是正三角形, AE 和 CD 都垂直于平面
ABC ,且 AE ? AB ? 2 DC , F 是 BE 的中点.求证:

E

(1) DF // 平面 ABC ; (2) AF ? BD .

F

A

D

B

C

1 21. 袋子 A 和 B 中装有若干个均匀的红球和白球, 从 A 中摸出一个红球的概率是 3 , 从B中
摸出一个红球的概率为 p . (1)从 A 中有放回地摸球,每次摸出一个,共摸 4 次. ①恰好有 2 次摸到红球的概率;②第一次、第三次摸到红球的概率. (2)若 A 、 B 两个袋子中的球数之比为 4,将 A 、 B 中的球装在一起后,从中摸出一个

2 红球的概率是 5 ,求 p 的值

? ? 22. 如图, 在三棱锥 P ? ABC 中,PB ? 面ABC , ?ABC ? 90 ,AB ? BC ? 2, ?PAB ? 45 ,

点 D 、 E 、 F 分别为 AC 、 AB 、 BC 的中点. (1)求直线 PF 与平面 PBD 所成角的正弦值; (2)求二面角 E ? PF ? B 的大小.

P

B E A D

F

C

高二数学下学期月考答案 1-12 CDABB DCABD CA 14. ? 4

13.960

9 15. 11

16.①②③

17.解: (1)由题意知

2 1 Cn ? Cn ? 35得 n ? 10 或 n ? ?7 (舍去)

(2)设第 r ? 1 项为常数项,则

r Tr ?1 ? C10 x4

? ?

10?r

?1? r 40?5 r ? ? ? C10 x ? x?

r

? 40 ? 5r ? 0 ?r ? 8

所以展开式中的常数项为

8 T9 ? C10 ? 45

18.解: (1)设甲队以 3 : 2 获胜的概率为 P1 ,则

? 3 ? ? 2 ? 3 648 P ? 1 ? C ? ? ?? ? ? ? 5 ? ? 5 ? 5 3125
2 4

2

2

(2)设乙队获胜的概率 P2 ,则

? 2? ? 2? 3 2 ? 3 ? 2 992 2? 2? P2 ? ? ? ? C32 ? ? ? ? ? C4 ? ? ?? ? ? ? ?5? ?5? 5 5 ? 5 ? ? 5 ? 5 3125
19.解:由题意知 n ? 18

3

2

2

2

(1)设第 r ? 1 项的系数最大,则
r

r 18?r Tr ?1 ? C18 x ??1?

r

? r 为偶数且 C18 最大? r ? 8或10 ,即展开式的第 9 项与第 11 项的系数最大。
9 10 ?T10 ? C18 x 10 8 T11 ? C18 x

(2)令 x ? 1 则 令 x ? 1则

a0 ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? an ? 1
18

a0 ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? an ? ?? 3? ? 318
1 ? 318 2

所以

a0 ? a 2 ? a 4 ? ? ? ? ? a n ?

20.证明: (1)取 AB 中点 N,连接 FN、NC;又 F 为 BE 的中点 1 ? ABE ∴FN 为 的中位线, ∴FN∥AE FN= 2 AE 又 AE、CD 都垂直与面 ABC,2CD=AE ∴AE∥CD ∴ CD∥FN 且 CD=FN ∴四边形 CDFN 为平行四边形 ∴DF∥CN 又 CN ? 面 ABC ∴ DF∥面 ABC (2)∵AE=AB F 是 BE 的中点 在 ?ABC中 N 是 AB 的中点 ∴AF⊥BE CN⊥AB ∵AE⊥面 ABC AE ? 面 ABE ∴面 ABE⊥面 ABC 又 CN⊥AB ∴CN⊥面 ABE ∴ DF⊥面 ABE ∴ DB 在平面 ABE 的射影为 BF
2 2

∴ AF⊥BD

8 ?1? ? 2? 2 1 1 1 P ? C4 ?? ? ?? ? ? P ? ?1? ?1 ? 27 ② ? 3? ? 3? 3 3 9 21.解: (1)①
(2)设 B 袋子有 n 个球,则 A 袋子有 4 n 个球。依题意得

4n ?

1 4 ? pn ?p 2 2 2 3 ? ? 3 ? ? p? n ? 4n 5 5 5 3

22.解: (法一) (1)连接 BD ,与 EF 的交点为 O ,在 ?ABC 中, ?B ? 90? .

? AB ? BC ,点 D 为 AC 的中点,? BD ? AC .又? PB ? 面 ABC ,则 PB ? AC .
则 AC ? 面 PBD ,而 EF ∥ AC ,则 EF ? 面 PBD ,

? ?FPO 为直线 PF 与平面 PBD 所成的角, ? PB ? 面 ABC ,? PB ? AB , PB ? BC .
又? ?PAB ? 45? ,? PB ? AB ? 2 .

P

? OF ?

1 2 AC ? 2 2 4 2 , PF ? PB ? BF ? 5 , sin ?FPO ? OF 10 ? PF 10 ,

B E A O D

M F C

? 在 Rt ?FPO 中,

10 ? 直线与平面所成角的正弦值为 10 ……………………………………………6 分
(2)过点 B 作 BM ? PF 于点 M ,连接 EM ,

? AB ? PB, AB ? BC , ? AB ? 平 面 PBC , 即 BM 为 EM 在 平 面 PBC 内 的 射 影 ,

? EM ? PF, ? ?EMB 为二面角 E ? PF ? B 的平面角.

? Rt ?PBF 中,

BM ?

PB ? BF 2 EB 5 ? ? tan?EMB ? ? PF 5, BM 2 ,

5 ? 二面角 E ? PF ? B 的正切值为 2 .…………………………12 分
(法二)建立间直角坐标系如图,则 B?0,0,0? , A?2,0,0? , C ?0,2,0? , D?1,1,0? , E ?1,0,0?

F ?0,1,0? , P?0,0,2?
由已知可得, EF = ?? 1,1,0? 为平面 PBD 的法向量 PF = ?0,1,?2? ,
? ?

? cos PF , EF ?

?

?

PF? EF ? PF ? EF
? ?

?

?

z P

?

1 10

?

10 10
.

10 直线 PF 与面 PDB 所成角的正弦值为 10 .……………6 分A
(2)设平面 PEF 的法向量为 n ? ( x, y, z ), ,? EF ? ?? 1,1,0 ? , PF ? ?0,1,?2 ?,
? ? ?

B E

F D

C

y

x

parallel

? n? EF ? ? x ? y ? 0 , n? PF ? y ? 2 z ? 0 ,令 z ? 1 ,? n ? ?2,2,1?,
由已知可得,向量 BA ? ?2,0,0 ? 为平面 PBF 的一个法向量,
?

?

?

?

?

?

? cos n , BA ?

?

?

? ?

n? BA
?

?

?

? n ? BA

4 2 ? 3? 2 3
2 3 .………………………12 分

? 二面角 E ? PF ? B 为

arccos


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