抚松县高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

精选高中模拟试卷

抚松县高级中学 2018-2019 学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 一、选择题
1. 如果 A. C. 2. 是定义在 上的奇函数,那么下列函数中,一定为偶函数的是( B. D. )

姓名__________

分数__________

下列说法正确的是(



A.圆锥的侧面展开图是一个等腰三角形; B.棱柱即是两个底面全等且其余各面都是矩形的多面体; C.任何一个棱台都可以补一个棱锥使他们组成一个新的棱锥; D.通过圆台侧面上的一点,有无数条母线.
3. 抛物线 y=﹣8x2 的准线方程是( A.y= B.y=2 C.x= D.y=﹣2 ) )

4. 已知函数 f(x)=lg(1﹣x)的值域为(﹣∞,1],则函数 f(x)的定义域为( A.[﹣9,+∞) A. ?2 B.[0,+∞) C.(﹣9,1) B. ?1 C. D.[﹣9,1) ) D. 5. 已知向量 a ? (t ,1) , b ? (t ? 2,1) ,若 | a ? b |?| a ? b | ,则实数 t ? (

1

2

【命题意图】本题考查向量的概念,向量垂直的充要条件,简单的基本运算能力. 6. 已知角 α 的终边上有一点 P(1,3),则 A.﹣ B.﹣ C.﹣ D.﹣4 的值为( )

7. 设集合 A={1,2,3}, B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则 M 中元素的个数为(

)。

A3 B4 C5 D6
8. 在曲线 y=x2 上切线倾斜角为 的点是( )

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A.(0,0)

B.(2,4)

C.( ,



D.( , ) )

9. 已知实数 x,y 满足 A.﹣2 B.5 A.1 C.6
2015

,则目标函数 z=x﹣y 的最小值为( D.7

10.i 是虚数单位,i

等于( B.﹣1

) C.i D.﹣i

11.集合 S ? ?0,1,2,3,4,5?, A 是 S 的一个子集,当 x ? A 时,若有 x ? 1 ? A且x ? 1 ? A ,则称 x 为 A 的一个“孤立 元素”.集合 B 是 S 的一个子集, B 中含 4 个元素且 B 中无“孤立元素”,这样的集合 B 共有个 A.4 B. 5 C.6 D.7 4 2 12.已知函数 f(x)=x cosx+mx +x(m∈R),若导函数 f′(x)在区间[﹣2,2]上有最大值 10,则导函数 f′ (x)在区间[﹣2,2]上的最小值为( A.﹣12 B.﹣10 C.﹣8 D.﹣6 )

二、填空题
13.数据﹣2,﹣1,0,1,2 的方差是
2 14. 以抛物线 y =20x 的焦点为圆心, 且与双曲线:

. 的两条渐近线都相切的圆的方程为 .

15.如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 3 ,

BC ? 3 , E 在 AC 上,若 BE ? AC ,
则 ED 的长=____________

?y ? x y 2 ? 2 xy ? 3x 2 ? x ? y ? 4 x , y 16.已知 满足 ? ,则 的取值范围为____________. x2 ?x ? 1 ?
17.若函数 y=ln( 18.已知 f(x)= ﹣2x)为奇函数,则 a= . . ,则 f(﹣ )+f( )等于

三、解答题
19.已知定义在区间(0,+∞)上的函数 f(x)满足 f( (1)求 f(1)的值; (2)若当 x>1 时,有 f(x)<0.求证:f(x)为单调递减函数; )=f(x1)﹣f(x2).

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(3)在(2)的条件下,若 f(5)=﹣1,求 f(x)在[3,25]上的最小值.

20.某城市 100 户居民的月平均用电量(单位:度),以 ?160,180? , ?180, 200? , ? 200, 220? ,

?220, 240? , ?240, 260? , ?260, 280? , ?280,300? 分组的频率分布直方图如图.

(1)求直方图中的值; (2)求月平均用电量的众数和中位数.

1111]

21.已知函数 f(x)=lnx+ ax2+b(a,b∈R). (Ⅰ)若曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线为 y=﹣1,求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)求证:对任意给定的正数 m,总存在实数 a,使函数 f(x)在区间(m,+∞)上不单调; (Ⅲ)若点 A(x1,y1),B(x2,y2)(x2>x1>0)是曲线 f(x)上的两点,试探究:当 a<0 时,是否存在 实数 x0∈(x1,x2),使直线 AB 的斜率等于 f'(x0)?若存在,给予证明;若不存在,说明理由.

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22.已知函数 f(x)=x﹣1+

(a∈R,e 为自然对数的底数).

(Ⅰ)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于 x 轴,求 a 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的极值; (Ⅲ)当 a=1 的值时,若直线 l:y=kx﹣1 与曲线 y=f(x)没有公共点,求 k 的最大值.

23.已知集合 A={x|x2﹣5x﹣6<0},集合 B={x|6x2﹣5x+1≥0},集合 C={x|(x﹣m)(m+9﹣x)>0} (1)求 A∩B (2)若 A∪C=C,求实数 m 的取值范围.

24.设函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)为奇函数,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线 x﹣6y﹣7=0 垂直, 导函数 f′(x)的最小值为﹣12.

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(1)求 a,b,c 的值; (2)求函数 f(x)的单调递增区间,并求函数 f(x)在[﹣1,3]上的最大值和最小值.

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抚松县高级中学 2018-2019 学年高二上学期第二次月考试卷数学(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】B 【解析】【知识点】函数的奇偶性 【试题解析】因为奇函数乘以奇函数为偶函数,y=x 是奇函数,故 故答案为:B 2. 【答案】C 【解析】 是偶函数。

考 点:几何体的结构特征. 3. 【答案】A
2 【解析】解:整理抛物线方程得 x =﹣ y,∴p=

∵抛物线方程开口向下, ∴准线方程是 y= 故选:A. 【点评】本题主要考查抛物线的基本性质.解决抛物线的题目时,一定要先判断焦点所在位置. 4. 【答案】D 【解析】解:函数 f(x)=lg(1﹣x)在(﹣∞,1)上递减, 由于函数的值域为(﹣∞,1], 则 lg(1﹣x)≤1, 则有 0<1﹣x≤10, 解得,﹣9≤x<1. 则定义域为[﹣9,1), 故选 D. 【点评】本题考查函数的值域和定义域问题,考查函数的单调性的运用,考查运算能力,属于基础题. 5. 【答案】B 【解析】由 | a ? b |?| a ? b | 知, a ? b ,∴ a ? b ? t (t ? 2) ? 1?1 ? 0 ,解得 t ? ?1 ,故选 B. 6. 【答案】A ,

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【解析】解:∵点 P(1,3)在 α 终边上, ∴tanα=3, ∴ 故选:A. 7. 【答案】B 【解析】由题意知 x=a+b,a∈A,b∈B,则 x 的可能取值为 5,6,7,8.因此集合 M 共有 4 个元素,故选 B 8. 【答案】D
2 【解析】解:y'=2x,设切点为(a,a )

=

=

=

=﹣ .

∴y'=2a,得切线的斜率为 2a,所以 2a=tan45°=1, ∴a= , 在曲线 y=x 上切线倾斜角为 故选 D. 【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识,考查 运算求解能力.属于基础题. 9. 【答案】A
2

的点是( , ).

【解析】解:如图作出阴影部分即为满足约束条件

的可行域,



得 A(3,5),

当直线 z=x﹣y 平移到点 A 时,直线 z=x﹣y 在 y 轴上的截距最大,即 z 取最小值, 即当 x=3,y=5 时,z=x﹣y 取最小值为﹣2. 故选 A.

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10.【答案】D
2015 503×4+3 3 =i =﹣i, 【解析】解:i =i

故选:D 【点评】本题主要考查复数的基本运算,比较基础. 11.【答案】C 【解析】 试题分析:根据题中“孤立元素”定义可知,若集合 B 中不含孤立元素,则必须没有三个连续的自然数存在, 所有 B 的可能情况为: ?0,1,3,4? , ?0,1,3,5? , ?0,1,4,5? , ?0,2,3,5? , ?0,2,4,5? , ?1,2,4,5? 共 6 个。故 选 C。 考点:1.集合间关系;2.新定义问题。

12.【答案】C
3 4 【解析】解:由已知得 f′(x)=4x cosx﹣x sinx+2mx+1, 3 4 令 g(x)=4x cosx﹣x sinx+2mx 是奇函数,

由 f′(x)的最大值为 10 知:g(x)的最大值为 9,最小值为﹣9, 从而 f′(x)的最小值为﹣9+1=﹣8. 故选 C. 【点评】本题考查了导数的计算、奇函数的最值的性质.属于常规题,难度不大.

二、填空题
13.【答案】 2 .

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【解析】解:∵数据﹣2,﹣1,0,1,2, ∴ =
2 ∴S =

, [(﹣2﹣0)2+(﹣1﹣0)2+(0﹣0)2+(1﹣0)2+(2﹣0)2]=2,

故答案为 2; 【点评】本题考查方差的定义与意义:一般地设 n 个数据,x1,x2,…xn 的平均数 ,是一道基础题;

14.【答案】 (x﹣5)2+y2=9



2 【解析】解:抛物线 y =20x 的焦点坐标为(5,0),双曲线:

的两条渐近线方程为 3x±4y=0

由题意,r

=3,则所求方程为(x﹣5)2+y2=9

2 2 故答案为:(x﹣5) +y =9.

【点评】本题考查圆的方程,考查直线与圆的位置关系,考查学生的计算能力,属于基础题. 15.【答案】 21 2

【解析】在 Rt△ABC 中,BC=3,AB= 3,所以∠BAC=60° . 3 ,在△EAD 中,∠EAD=30° ,AD=3,由余弦定理知,ED2=AE2+AD2 2 3 3 3 21 21 -2AE· AD· cos∠EAD= +9-2× ×3× = ,故 ED= . 4 2 2 4 2 因为 BE⊥AC,AB= 3,所以 AE= 16.【答案】 ? 2, 6? 【解析】

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考点:简单的线性规划. 【方法点睛】本题主要考查简单的线性规划.与二元一次不等式(组)表示的平面区域有关的非线性目标函数
2 2 的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成.常见代数式的几何意义:(1) x ? y 表示点

? x, y ? 与原点 ? 0, 0? 的距离;(2) ? x ? a ? ? ? y ? b ?
2

2

表示点 ? x, y ? 与点 ? a, b ? 间的距离;(3)

? x, y ? 与 ? 0, 0? 点连线的斜率;(4) x ? a 表示点 ? x, y ? 与点 ? a, b ? 连线的斜率.
17.【答案】 4 .

y?b

y 可表示点 x

【解析】解:函数 y=ln( 可得 f(﹣x)=﹣f(x), ln( ln( +2x)=﹣ln( +2x)=ln(

﹣2x)为奇函数, ﹣2x). )=ln( ).

2 2 可得 1+ax ﹣4x =1,

解得 a=4. 故答案为:4. 18.【答案】 4 .

【解析】解:由分段函数可知 f( )=2× = . f(﹣ )=f(﹣ +1)=f(﹣ )=f(﹣ ∴f( )+f(﹣ )= + . )=f( )=2× = ,

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故答案为:4.

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(1)令 x1=x2>0, 代入得 f(1)=f(x1)﹣f(x1)=0, 故 f(1)=0.…(4 分) (2)证明:任取 x1,x2∈(0,+∞),且 x1>x2,则 由于当 x>1 时,f(x)<0,所以 f( )<0, >1,

即 f(x1)﹣f(x2)<0,因此 f(x1)<f(x2), 所以函数 f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数.…(8 分) (3)因为 f(x)在(0,+∞)上是单调递减函数, 所以 f(x)在[3,25]上的最小值为 f(25). 由 f( )=f(x1)﹣f(x2)得, )=f(25)﹣f(5),而 f(5)=﹣1,

f(5)=f(

所以 f(25)=﹣2. 即 f(x)在[3,25]上的最小值为﹣2.…(12 分) 【点评】本题主要考查抽象函数的应用,利用赋值法以及函数单调性的定义是解决本题的关键.

20.【答案】(1) x ? 0.0075 ;(2)众数是 230 ,中位数为 224 . 【解析】 试题分析:(1)利用频率之和为一可求得的值;(2)众数为最高小矩形底边中点的横坐标;中位数左边和 右边的直方图的面积相等可求得中位数.1 试题解析:(1)由直方图的性质可得 (0.002 ? 0.0095 ? 0.011 ? 0.0125 ? x ? 0.005 ? 0.0025) ? 20 ? 1 , ∴ x ? 0.0075 .

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考点:频率分布直方图;中位数;众数. 21.【答案】

【解析】解:(Ⅰ)由已知得 此时 ,

解得

… (x>0).

令 f'(x)=0,得 x=1,f(x),f'(x)的变化情况如下表: x 1 (0,1) f'(x) f(x) + 单调递增 0 极大值

(1,+∞) ﹣ 单调递减

所以函数 f(x)的增区间为(0,1),减区间为(1,+∞).… (Ⅱ) (x>0).

(1)当 a≥0 时,f'(x)>0 恒成立,此时,函数 f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,不合题意,舍去.… (2)当 a<0 时,令 f'(x)=0,得 x f'(x) f(x) (0, + 单调递增 ) 0 极大值 ),减区间为( ,f(x),f'(x)的变化情况如下表: ( ﹣ 单调递减 ,+∞).… >m,即 . ,+∞)

所以函数 f(x)的增区间为(0,

要使函数 f(x)在区间(m,+∞)上不单调,须且只须

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所以对任意给定的正数 m,只须取满足 单调.…

的实数 a,就能使得函数 f(x)在区间(m,+∞)上不

(Ⅲ)存在实数 x0∈(x1,x2),使直线 AB 的斜率等于 f'(x0).… 证明如下:令 g(x)=lnx﹣x+1(x>0),则 ,

易得 g(x)在 x=1 处取到最大值,且最大值 g(1)=0,即 g(x)≤0,从而得 lnx≤x﹣1. (*)… 由 令 增. 且 , 结合(*)式可得, , , , ,得 .… ,则 p(x),q(x)在区间[x1,x2]上单调递

. 令 h(x)=p(x)+q(x),由以上证明可得,h(x)在区间[x1,x2]上单调递增,且 h(x1)<0,h(x2)>0,… 所以函数 h(x)在区间(x1,x2)上存在唯一的零点 x0, 即 (注:在(Ⅰ)中,未计算 b 的值不扣分.) 【点评】 本小题主要考查函数导数的几何意义、 导数的运算及导数的应用, 考查运算求解能力、 抽象概括能力、 推理论证能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想. 成立,从而命题成立.…

22.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)由 f(x)=x﹣1+ ,得 f′(x)=1﹣ ,

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又曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于 x 轴, ∴f′(1)=0,即 1﹣ (Ⅱ)f′(x)=1﹣ =0,解得 a=e. ,

①当 a≤0 时,f′(x)>0,f(x)为(﹣∞,+∞)上的增函数,所以 f(x)无极值; ②当 a>0 时,令 f′(x)=0,得 ex=a,x=lna, x∈(﹣∞,lna),f′(x)<0;x∈(lna,+∞),f′(x)>0; ∴f(x)在∈(﹣∞,lna)上单调递减,在(lna,+∞)上单调递增, 故 f(x)在 x=lna 处取到极小值,且极小值为 f(lna)=lna,无极大值. 综上,当 a≤0 时,f(x)无极值;当 a>0 时,f(x)在 x=lna 处取到极小值 lna,无极大值. (Ⅲ)当 a=1 时,f(x)=x﹣1+ ,令 g(x)=f(x)﹣(kx﹣1)=(1﹣k)x+ ,

则直线 l:y=kx﹣1 与曲线 y=f(x)没有公共点, 等价于方程 g(x)=0 在 R 上没有实数解. 假设 k>1,此时 g(0)=1>0,g( )=﹣1+ <0,

又函数 g(x)的图象连续不断,由零点存在定理可知 g(x)=0 在 R 上至少有一解, 与“方程 g(x)=0 在 R 上没有实数解”矛盾,故 k≤1. 又 k=1 时,g(x)= 所以 k 的最大值为 1. 23.【答案】 【解析】解:由合 A={x|x ﹣5x﹣6<0},集合 B={x|6x ﹣5x+1≥0},集合 C={x|(x﹣m)(m+9﹣x)>0}. ∴A={x|﹣1<x<6}, (1) (2)由 A∪C=C,可得 A?C. 即 ,解得﹣3≤m≤﹣1. ,C={x|m<x<m+9}. ,
2 2

>0,知方程 g(x)=0 在 R 上没有实数解,

24.【答案】 【解析】解:(1)∵f(x)为奇函数,
3 3 ∴f(﹣x)=﹣f(x),即﹣ax ﹣bx+c=﹣ax ﹣bx﹣c,∴c=0.

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2 ∵f′(x)=3ax +b 的最小值为﹣12,∴b=﹣12.

又直线 x﹣6y﹣7=0 的斜率为 ,则 f′(1)=3a+b=﹣6,得 a=2, ∴a=2,b=﹣12,c=0;
3 2 (2)由(1)知 f(x)=2x ﹣12x,∴f′(x)=6x ﹣12=6(x+

)(x﹣

), ( ,+∞) + 增

列表如下: x f′(x) f(x)

(﹣∞,﹣ ) + 增 )=﹣8

﹣ 0 极大 ,f(3)=18,

(﹣ ) ﹣ 减 )和(

, 0 极小 ,+∞). )=﹣8 .

所以函数 f(x)的单调增区间是(﹣∞,﹣ ∵f(﹣1)=10,f(

∴f(x)在[﹣1,3]上的最大值是 f(3)=18,最小值是 f(

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