必修2第三章直线与方程测考试试题_42

必修 2 第三章直线与方程测考试试题_42

第三章 直线与方程测试题

一.选择题(每小题 5 分,共 12 小题,共 60 分) 1.若直线过点 ( 3,? 3) 且倾斜角为 300 ,则该直线的方程为( )

A. y ? 3x ? 6 B. y ? 3 x ? 4 C. y ? 3 x ? 4 D. y ? 3 x ? 2

3

3

3

2. 如果 A(3,1) 、 B(?2, k)、 C(8,11) ,在同一直线上,那么 k 的值是( )。

A. ? 6 -6

B. ? 7

C. ? 8

D. ? 9

3. 如果直线 x ? by ? 9 ? 0 经过直线 5x ? 6y ?17 ? 0 与直线 4x ? 3y ? 2 ? 0 的交点,那么 b 等于

( ). A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

4. 直线 (2m2 ? 5m ? 2)x ? (m2 ? 4) y ? 5m ? 0 的倾斜角是 450 ,则 m 的值为( )。

A.2

B. 3

C. -3

D. -2

5.两条直线 3x ? 2y ? m ? 0 和 (m 2 ?1)x ? 3y ? 2 ? 3m ? 0 的位置关系是( )

A.平行

B.相交

C.重合

D.与 m 有关

*6.到直线 2x ? y ? 1 ? 0 的距离为 5 的点的集合是(

)

5

A.直线 2x ? y ? 2 ? 0

B.直线 2x ? y ? 0

C.直线 2x ? y ? 0 或直线 2x ? y ? 2 ? 0 D.直线 2x ? y ? 0 或直线 2x ? y ? 2 ? 0

7 直线 x ? 2y ? b ? 0 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1,那么 b 的取值范围是( )

A.[?2,2]

B. (??,?2] ?[2,??)

C.[?2,0) ? (0,2]

D. (??,??)

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*8.若直线 l 与两直线 y ? 1, x ? y ? 7 ? 0 分别交于 M , N 两点,且 MN 的中点是 P(1,?1) ,则

直线 l 的斜率是( A. ? 2
3


B. 2 3

C. ? 3 2

D. 3 2

9.两平行线 3x ? 2y ?1 ? 0 , 6x ? ay ? c ? 0 之间的距离为 2 13 ,则 c ? 2 的值是( )

13

a

A .±1

B. 1

C. -1

D.2

10.直线 x ? 2 y ?1 ? 0 关于直线 x ? 1对称的直线方程是( )

A. x ? 2y ?1 ? 0

B. 2x ? y ?1 ? 0

C. 2x ? y ? 3 ? 0

D. x ? 2y ? 3 ? 0

**11.点 P 到点 A?(1,0) 和直线 x ? ?1的距离相等,且 P 到直线 y ? x 的距离等于 2 ,这样的点 P 2

共有 ( A.1 个

) B.2 个

C.3 个

D.4 个

*12.若 y ? a | x | 的图象与直线 y ? x ? a(a ? 0) y=x+a,有两个不同交点,则 a 的取值范围是

()
A. 0 ? a ? 10 C. a ? 0 且 a ? 1

B. a ? 1 D. a ? 1

二.填空题(每小题 5 分,共 4 小题,共 20 分)

13. 经过点 (?2,?3) ,在 x 轴、 y 轴上截距相等的直线方程是







*14. 直线方程为 (3a ? 2)x ? y ? 8 ? 0 ,若直线不过第二象限,则 a 的取值范围是



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15. 在直线 x ? 3y ? 0 上求一点,使它到原点的距离和到直线 x ? 3y ? 2 ? 0 的距离相等,则此点的

坐标为

.

*16. 若方程 x 2 ? xy ? 2 y 2 ? x ? y ? 0 表示的图形是



三.解答题(共 6 小题,共 70 分) 17.(12 分)在 ?ABC中, BC 边上的高所在直线方程为: x ? 2 y ?1 ? 0 ,?A 的平分线所在直线
方程为: y ? 0 ,若点 B 的坐标为 (1,2) ,求点 A 和 C 的坐标.

*18.已知直线 (a ? 2) y ? (3a ?1)x ?1. (1)求证:无论 a 为何值,直线总过第一象限; (2)为使这条直线不过第二象限,求 a 的取值范围.
19.已知实数 x , y 满足 2x ? y ? 8,当 2 ? x ? 3时,求 y 的最值. x

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20.已知点 P(2,?1) . (1)求过 P 点与原点距离为 2 的直线 l 的方程; (2)求过 P 点与原点距离最大的直线 l 的方程,最大距离是多少? (3)是否存在过 P 点与原点距离为 6 的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由.
**21.已知集合 A ? {(x, y) | y ? 3 ? a ?1},B ? {( x, y) | (a2 ?)x ? (a ?1) y ? 15},求 a 为何值时, x?2
A?B ??.

**22.有一个附近有进出水管的容器,每单位时间进 出的水量是一定的,设从某时刻开始 10 分钟内只进水,
不出水,在随后的 30 分钟内既进水又出水,得到时间 x (分)与水量 y (升)之间的关系如图所示,若 40 分钟 后只放水不进水,求 y 与 x 的函数关系.

y

30 ·

B

20 · A
10 · O 1·0 ·20·30·40 x

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第三章直线与方程测试题答案与提示

一、选择题 1—4 CDDB 提示:

5—8 BDCA 9—12 ADCB

1. 据直线的点斜式该直线的方程为 y ? (3) ? tan 30 0 (x ? 3) ,整理即得。

2. 由 k AC ? kBC ? 2 得 D

3. 直线 5x ? 6y ?17 ? 0 与直线 4x ? 3y ? 2 ? 0 的交点坐标为(1, -2), 代入直线 x ? by ? 9 ? 0 ,

得b ?5

4.

由题意知 k

?

1

,所以

2m

2? m2

5m ?4

?

2

? 1,所以 m ? 3 或 m ? 2 (舍去)

5.

第一条直线的斜率为 k1

?

?

3 2

,第二条直线的斜率为

k

2

?

m2 ?1 3

? 0 所以 k1

?

k2 .

6. 设此点坐标为 (x, y) ,则 | 2x ? y ? 1 | ? 5 ,整理即得。

22 ? 12

5

7. 令 x ? 0,得 y ? b ,令 y ? 0 , x ? ?b ,所以所求三角形面积为 1 | b || b |? 1 b2 ,且 b ? 0 ,

2

22

4

1 b2 ? 1,所以 b2 ? 4 ,所以 b ?[?2,0) ? (0,2]. 4

8. 由题意,可设直线 l 的方程为 y ? k(x ?1) ?1,分别与 y ? 1, x ? y ? 7 ? 0 ,联立解得

M ( 2 ? 1,1) ,M ( k ? 6 , ? 6k ?1) ,又因为 MN 的中点是 P(1,?1) ,所以由中点坐标公式得 k ? ? 2 .

k

k ?1 k ?1

3

9. 由题意36 =-a2 ≠-c1 ,∴a=-4,c≠-2.
则 6x ? ay ? c ? 0 可化为 3x-2y+2c =0.

由两平行线距离得 2

13

?

|

c 2

?

1|

,得

c=2



c=-6,?

c

?

2

?

?1 .

13

13

a

10. x ? 2y ?1 ? 0 关于直线 x ? 1的交点为 A(1,1) ,点 (?1,0) 关于 x ? 1的对称点为 B(3,0) 也在所求
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直线上,∴所求直线方程为 y ?1 ? 1 (x ?1) ,即 x+2y-3=0,或所求直线与直线 x-2y+1=0 的 2
斜率互为相反数, k ? ? 1 亦可得解. 2

11.由题意知: (x ?1)2 ? y2 ?| x ?1| ,且 2 ? | x ? y | ,

2

2

所以

? ?

y

2

?

4x

?y2 ? 4x ??

①或

? ?

y

2

?

4x

②,解得,①有两根,②有一根.

?| x ? y |? 1 ?x ? y ? 1

?x ? y ? ?1

12..如图,要使 y ? a | x | 的图象与直线 y ? x ? a(a ? 0) y=x+a 有两个不同的交点,则 a ? 1 .

y y=a|x| y=x-a

O

x

二、填空题
13. x ? y ? 5 ? 0 或 3x ? 2y ? 0 ; 14. a ? ? 2 ; 3
16.两条直线. 提示: 13.注意经过原点的直线在 x 轴、y 轴上的截距均为零

15. (? 3 , 1) 或 (3 ,? 1) ; 55 5 5

14.直线在 y 轴上的截距为-8,直线不过第二象限,画图可知,直线的斜率为正或 0,即 ? (3a ? 2) ? 0 ,

所以 a ? ? 2 。 3

15.设此点坐标 (?3y0 , y0 ) ,由题意

(?3y0 )2

?

y02

?

|

?3y0 ? 12

3y0 ? 32

?

2

|

,可得

y0

??1 5

16. x2 ? xy ? 2 y 2 ? x ? y ? (x ? y)( x ? 2 y) ? (x ? y) ? (x ? y)( x ? 2 y ? 1) ? 0 , 所以表示两条直线 x ? y ? 0 , x ? 2 y ?1 ? 0 .
三.解答题

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17.解:由

?x

? ?

y

? ?

2y 0

?

1

?

0

,?

A(?1,0)

,又 k AB

?

2?0 1 ? (?1)

? 1 ,∵x

轴为 ?A 的平分线,

故 k AC ? ?1,? AC : y ? ?(x ?1) ,∵BC 边上的高的方程为:x-2y+1=0 ,∴KBC=-2

∴BC:y-2=-2(x-1),即:2x+y-4=0

,由

?2x ? ??x ? y

y? ?1

4 ?

? 0

0

,解得 C(5,?6) 。

18.解:(1)将方程整理得 a(3x ? y) ? (?x ? 2y ?1) ? 0 ,对任意实数 a,直线恒过 3x-y=0

与 x-2y+1=0 的交点(15 ,35 ),

∴直线系恒过第一象限内的定点(15 ,35 ),即无论 a 为何值,直线总过第一象限.

(2)当 a=2 时,直线为 x=15 ,不过第二象限;当 a≠2 时,直线方程化为 y=3aa--21 x-a-1 2 ,不过第二象限的充要条件为

3a-1
? a-2

>0

?1 ? a-2

≤0

? a ? 2,综上 a≥2 时直线不过第二象限.

19.思路点拨:本题可先作出函数 y ? 8 ? 2x(2 ? x ? 3) 的图象,
把yx 看成过点(x,y)和原点的直线的斜率进行求解. 解析:如图,设点 P(x,y),因为 x,y 满足 2x+y=8, 且 2≤x≤3,所以点 P(x,y)在线段 AB 上移动,并且 A,B 两点的坐标分别是 A(2,4),B(3,2). 因为yx 的几何意义是直线 OP 的斜率,且 kOA=2,kOB=23 , 所以yx 的最大值为 2,最小值为23 .

y

4· A 3 · ·P

2· B

1O··1 ·2 ·3 ·4

x

20.解:(1)过 P 点的直线 l 与原点距离为 2,而 P 点坐标为 (2,?1) ,可见,过 P(2,?1) 垂直于 x 轴
的直线满足条件. 此时 l 的斜率不存在,其方程为 x=2. 若斜率存在,设 l 的方程为 y+1=k(x-2),
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即 kx-y-2k-1=0.

由已知,得|-2k-1| k2+1

=2,解得 k=34

.

此时 l 的方程为 2x-4y-10=0.

综所,可得直线 l 的方程为 x=2 或 2x-4y-10=0.

(2)作图可证过 P 点与原点 O 距离最大的佳绩是过 P 点且与 PO 垂直的直线,由 l⊥OP,得 k1kOP

=-1,所以 k1=

1 kOP

=2.

由直线方程的点斜式得 y+1=2(x-2),

即 2x-y-5=0.

即直线 2x-y-5=0 是过 P 点且与原点 O 距离最大的直线,最大距离为|-5| = 5 . 5

(3)由(2)可知,过 P 点不存在到原点距离超达 5 的直线,因此不存在过点 P 点且到原点距离

为 6 的直线.

21.思路点拨:先化简集体 A,B,再根据 A∩B=?,求 a 的值.

自主解答:集合 A、B 分别为 xOy 平面上的点集;直线 l1:(a+1)x-y-2a+1=0(x≠2),l2:(a2

-1)x+(a-1)y-15=0.

?(a+1)(a-1)=(-1)·(a2-1)

由?
?

-1×(-15)≠(a-1)(-2a2-1),解得 a=±1.

①当 a=1 时,显然有 B=?,所以 A∩B=?;

②当 a=-1 时,集合 A 为直线 y=3(x≠2),

集合 B 为直线 y=-125 ,两直线平行,所以 A∩B=?;

③由 l1 可知(2,3)?A,当(2,3)∈B 时,即 2(a2-1)+3(a-1)-15=0,

可得 a=52 或 a=-4,此时 A∩B=?.综上所述,当 a=-4,-1,1,52 时,

A∩B=?.

22.解:当 0≤x≤10 时,直线过点 O(0,0),A(10,20); ∴kOA=2100 =2,所以此时直线方程为 y=2x; 当 10<x≤40 时,直线过点 A(10,20),B(40,30), 此时 kAB=4300--1200 =13 ,所以此时的直线方程为 y-20=13 (x-10), 即 y=13 x+530 ;
当 x>40 时,由题意知,直线的斜率就是相应放水的速度,设进水的速度为υ 1,放水的速度为 υ 2,在 OA 段时是进水过程,所以υ 1=2,在 AB 段是既进水又放水的过程,由物理知识可知,此 时的速度为υ 1+υ 2=13 ,
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∴2+υ 2=13 ,∴υ 2=-53 ,所以当 x>40 时,k=-53 .

又过点 B(40,30),所以此时的方程为 y=-53 x+2930 , 令 y=0,∴x=58,此时到 C(58,0)放水完毕.

2x

??? 综合上述:y=

1 3

x+

50 3

?? -53 x+2390

(0≤x≤10) (10<x≤10) (40<x≤58)

章节能力测试题(三)考查知识点对照表-孙爱梅

题序 1 2 3 4

星级

考查知识点 点斜式该直线的方程
三点共线 直线交点 直线的倾斜角

考查能力 应用、计算能力 公式应用、计算能力 应用、计算能力 计算、综合能力

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5

两直线的位置关系

计算、判断能力

6

*

点到直线的距离、点的集合

综合应用能力

7

直线的截距、三角形的面积

理解能力、运算求解不等式能



8

*

直线的交点、中点坐标公式

理解、计算能力

9

两平行线的斜率、截距关系及距离

转化与计算能力

等知识

10

直线的对称

理解、计算能力

11

**

点到直线的距离

应用、计算等综合能力

12

**

直线的交点

利用数学方法(数形结合)解

题能力

13

直线方程

利用数学方法(分类讨论)解

题能力

14

*

点点直线、点线距离

分析问题、解决问题能力

15

点线距离

应用能力、计算能力

16

*

直线方程

化简、转化能力

17

直线的交点、直线方程、对称问题 理解能力、转化能力、运算求

解能力

18

*

直线的方程、直线过定点问题 理解能力、转化能力、运算求

解能力

19

直线的方程、直线的斜率

转化能力、运算求解能力

20

直线的方程、点到线的距离

转化能力、运算求解能力、实

际应用能力

21

**

集合的运算、直线方程

综合应用、理解与运算能力

22

**

直线方程、实际应用

分析转化能力、运算求解能

力、实际应用能力

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