江苏东海高级中学04-05年上学期高三期末综合检测数学(附答案)

2004-2005 学年度江苏东海高级中学

期末综合检测高三数学试卷
一.选择题: 1. 若集合 A={x C 7X ≤21},则组成集合 A 的元素个数有 A.1 个 B. 3 个 C. 6 个 D. 7 个 ( )

2.已知命题 P:函数 y= log a (ax + 2a )( a > 0, a ≠ 1) 的图象必过定点(-1,1); 命题 q:若函数 y=f(x-3)的图象关于原点对称,则函数 f(x)关于点(3,0)对称;那么 ( ) A. 且 q”为真 “p B. “p 或 q”为假 C. p 真 q 假 D.p 假 q 真 3. 定义域为 R 的函数 y=f(x)的值域为[a,b],则函数 y=f(x+a)的值域为 ( ) A.[2a,a+b] B. [a,b] C. [0,b-a] D.[-a,a+b] 4.在等差数列{an}中,若 a3+a4+a5+a6+a7=450,则 a2+a8 的值为 ( ) A.90 B. 100 C. 180 D. 200 5. 如图,在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中, ∠BAC = 90 0 , 又BC1 ⊥ AC ,过 C1 作 C1H ⊥ 平面ABC ,垂足为 H,则有 A. H 在直线 AC 上 C. H 在直线 BC 上 6. (改编)设函数 f(x)=2sin( B. H 在直线 AB 上 D. H 在 ABC 内 B1 ( ) A B

A1

C

πx
2

+

π
5

) ,若对任意 x ∈ R 都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则
( C. 1 D. )

x1 x 2 的最小值为
A. 4 7.不等式 B. 2

1 2

x 2 4x ≤
5 3

4 x + 1 a 的 解 集 是 [-4,0], 则 a 的 取 值 范 围 是 3
( ) C.(- ∞,5 ) ∪ [ ,+∞) D.(- ∞,0)

A. ∞,5 ] (-

B.[ ,+∞ )

5 3

8.(改编)已知 A(-2,0),B(0,2); C 是圆上 x2+y2-2x=0 上任意一点,则 ABC 的面 积的最大值是 ( )
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A. 3+ 2

B. 3- 2

C. 6

D. 4

9.椭圆 ax2+by2=1 与直线 y=1-x 交于 A、 两点, B 过原点与线段 AB 中点的直线的斜率为 则

3 , 2

a 的值为 b
A.





3 2 3 9 3 2 3 B. C. D. 2 3 2 27 在棱 AB, 1 以及 BC1 的中点处各有一 BB 10.已知棱长为 1 的正方体容器 ABCD-A1B1C1D1, 个小孔 E、F、G,若此容器可以任意放置,则该容器可装水的最大容积为( ) 4 7 7 11 A. B. C. D. 5 8 12 12
D B A D1 A1 E G F C1 B1 C

11. ( 自 编 ) 已 知 x,y ∈ R , 且 x+2y≥ 1, 则 二 次 函 数 式 u=x2+y2+4x-2y 的 最 小 值 为 。 ( )

12 24 C. 24 D. 5 5 12. (改编)一个机器猫每秒前进或后退一步,程序设计人员让机器猫以每前进 3 步,然后再 后退 2 步的规律移动;如果将此机器猫放在数轴的原点上,面向正的方向,以 1 步的距 离为 1 个单位长,令 P(n)表示第 n 秒时机器猫所在的位置的坐标,且 P(0)=0,那 么下列结论中错误的是 ( ) A. P(3)=3 B. P(5)=1 C. P(101)=21 D. P(103)<P(104) 二.填空题:
A.-3 B. 13 .(改编)若向量 OA =(3,2),且 AB = 1 ,则点 B 的轨迹方程是 14.(改编)函数 f(x)= log a x (a>0 且 a ≠ 1) ,若 f(x1)-f(x2)=2,则 f(x13)-f(x23)= 15. (改编)m 为大于 1 且小于 10 的正整数,若( x 3 . .

1 m ) 的展开式中有不含 x 的项,满足这 x2
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样条件的 m 有

个。

16.(自编)给出下列五个命题: ①有两个对角面是全等的矩形的四棱柱是长方体。 ②函数 y=sinx 在第一象限内是增函数。 -1 ③f(x)是单调函数,则 f(x)与 f (x)具有相同的单调性。 ④一个二面角的两个平面分别垂直于另一个二面角的两个平面,则这两个二面角的 平面角互为补角。 ⑤当椭圆的离心率 e 越接近于 0 时,这个椭圆的形状就越接近于圆。 。 其中正确命题的序号为 三.解答题: 17. 设关于 x 的函数 y=2cos2x-2acosx-(2a+1)的最小值为 f(a). 求: (1).写出 f(a)的表达式; (2).试确定能使 f(a)=

1 的 a 的值,并求此时函数 y 的最大值. 2 2 ,按向量 b =(0,2)移动的概率为 3

18.从原点出发的某质点 M, 按向量 a =(0,1)移动的概率为

1 ,设可达到点(0,n)的概率为 Pn, 3 求: (1).求 P1 和 P2 的值. 1 2 (2).求证:Pn+2= Pn+ Pn+1. 3 3 (3).求 Pn 的表达式.
19. (改编)如图所示,PD 垂直正方形 ABCD 所在的平面,AB=2,E 是 PB 的中点,

cos( DP, AE ) =

3 . 3
P

(1).建立适当的空间坐标系,写出点 E 的坐标. (2).在平面 PAD 内求一点 F,使 EF ⊥ 平面PCB .

E D C

A

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B

20. 已知 x,y 为正实数,且满足关系式 x2-2x+4y2=0,求 x y 的最大值. 21.设关于 x 的方程 2x2-tx-2=0 的两根为 α , β (α < β ), 函数 f(x)= (1). 求 f( α )和f ( β ) 的值。 (2) 。证明:f(x)在[ α , β ] 上是增函数。 (3) 。对任意正数 x1、x2,求证: f (

4x t . x2 +1

x1α + x 2 β x β + x 2α ) f( 1 ) < 2α β x1 + x 2 x1 + x 2

22. (改编)设函数 f(x)=(x-1)2,数列{an}是公差为 d 的等差数列, n}是公比为 q (q ∈ R 且 q ≠ 1) {b 的等比数列,已知 a1=f(d-1), a3=f(d+1), b1=f(q+1), b3=f(q-1). (1).求数列{an},{bn}的通项公式。 (2) 。设数列{cn}的 前 n 项和为 Sn,若对任意自然数 n 均有

c1 c 2 c3 c S + + + + n = a n +1 成立,求 lim 2 n +1 的值。 b1 b2 b3 bn n→∞ S 2 n

参考答案: 1C 2C 3B 4C 5B 6B 7A 8A 9A 10D 2 2 13. (x-3) +(y-2) =1 14。6 15 1 16 ③⑤

11D

a a 2 + 4a + 2 17 解析: (1).y=2(cosx- ) 2 . 2 2

Q 1 ≤ cos x ≤ 1,

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1, (a ≤ 2) 2 a + 4a + 2 ∴ f ( a ) = , ( 2 < a < 2), 2 1 4a, (a ≥ 2).

1 a 2 + 4a + 2 1 无 解 ; 当 -2<a<2 时 , 由 = 得 2 2 2 1 1 a2+4a-3=0,解之得 a=-1 或 a=-3(舍去);当 a≥2 时,由 1-4a= 得 a= (舍去).综上所述 a=-1,此 2 8 1 1 时有 y=2(cosx+ ) 2 + ,当 cosx=1 时,即 x=2k π (k ∈ Z ) 时,y 有最大值为 5. 2 2 2 2 1 7 18.解析: (1). P1= , P2 = ( ) 2 + = . 3 3 3 9
(2). 当 a ≤ -2 时 ,f(a)=1, 从 而 f(a)= (2).证明:到达点(0,n+2)有两种情况:从点(0,n)按向量 b = (0,2) 移动;从点(0,n+1) 按

2 1 2 1 与 Pn +1 × ,所以 Pn + 2 = Pn + Pn +1 . 3 3 3 3 1 1 1 (3).由(2)得 Pn+2-Pn+1= ( Pn +1 Pn ), 故数列{Pn+1-Pn}是以 P2-P1= 为首项, 3 9 3 1 1 1 为公比的等比数列,故 Pn+1-Pn= ( ) n 1 = ( ) n +1 , 9 3 3 1 1 于是 Pn-P1=( Pn Pn 1 ) + + ( P2 P1 ) = [1 ( ) n 1 ] 12 3 3 1 1 ∴ Pn = + ( ) n . 4 4 3 19.解析: (1)以 DA,DC,DP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立 直角坐标系,则 A(2,0,0) ,B(2,2,0) ,C(0,2,0) 设 P(0,0,2m) ,则 E(1,1,m) ,
向量 a =(0,1)移动,概率分别为 Pn ×

∴ AE = (1,1, m), DP = (0,0,2m),
∴ cos( DP, AE ) = 2m 2 1 + 1 + m 2m
2

=

3 , 得 m=1. 3

∴ 点 E 的坐标是(1,1,1). (2). Q F ∈ 平面 PAD, ∴ 可设 F(x,0,z),

∴ EF = ( x 1,1, z 1) .
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Q EF ⊥ 平面PCB EF ⊥ CB ( x 1,1, z 1) (2,0,0) x = 1.
又由 EF ⊥ PC ( x 1,1, z 1) (0,2,2) = 0 z = 0. 所以点 F 的坐标是(1,0,0),即点 F 是 AD 的中点。 20.解: Q 4y2=-x2+2x≥0,∴ 0≤x≤2. ∴ x 2 y 2 = 令 s=x y ,则 s= x 2 y 2 =
2 2

1 4 1 3 x + x . 4 2

1 4 1 3 x + x ,(0≤x≤2). 4 2 3 3 / / S = x 3 + x 2 . 由 S =0,得 x=0,或 x= 2 2 3 3 3 27 / / x ∈ (0, ) 时, S >0; x ∈ ( ,2) 时, S <0. ∴ 当 x= 时,S= ; 2 2 2 64 3 3 3 时, x y 的最大值为 . 2 8
t , αβ = 1. 2

即当 x=

21.解析: 。 (1),由根与系数的关系得, α + β =

∴ f (α ) =

4α t 4α 2(α + β ) 2 8 1 = = = = (t + t 2 + 16 ). 2 2 2 2 α +1 α αβ α t t + 16 1 ( t 2 + 16 t ). 2

同法得 f( β ) = (2).证明:Q f/(x)=

4( x 2 + 1) (4 x t )2 x 2(2 x 2 tx 2) = , 而当 x ∈ [α , β ] 时, ( x 2 + 1) 2 ( x 2 + 1) 2

2x2-tx-2=2(x- α )( x β ) ≤ 0, 故当 x ∈ [α , β ] 时, f/(x)≥0, ∴ 函数 f(x)在[ α , β ] 上是增函数。 (3) 。证明:

x1α + x 2 β x (β α ) x α + x2 β x (α β ) α = 2 > 0, 1 β = 1 < 0, x1 + x 2 x1 + x 2 x1 + x 2 x1 + x 2

∴α <

x1α + x 2 β x β + x 2α < β , 同理 α < 1 <β. x1 + x 2 x1 + x 2 x1 β + x 2α x β + x 2α ) < f ( β ), 故 f ( β ) < f ( 1 ) < f (α ). x1 + x 2 x1 + x 2

∴ f (α ) < f (

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又 f( α ) < f (

x1α + x 2 β ) < f ( β ). 两式相加得: x1 + x 2 x1α + x 2 β x β + x 2α ) f( 1 ) < f ( β ) f (α ), x1 + x 2 x1 + x 2

[ f ( β ) f (α )] < f (

即 f(

x β + x 2α x1α + x 2 β ) f( 1 ) < f ( β ) f (α ). x1 + x 2 x1 + x 2
且 f( β ) f (α ) = f ( β ) f (α ) ,

而由(1) α ) = 2 β , f ( β ) = 2α ,f(



f(

x1α + x 2 β x β + x 2α ) f( 1 ) < 2α β . x1 + x 2 x1 + x 2

22. 解析: (1) Q {an}是公差为 d 的等差数列, ∴ a3-a1=2d, 即 f(d+1)-f(d-1)=2d, ∴ d2-(d-2)2=2d,解得 d=2, ∴ a1=f(d-1)=f(1)=0, ∴ an=2(n-1). 又Q

b3 f (q 1) = q 2 ,∴ = q2, b1 f (q + 1) ( q 2) 2 = q 2 , ∴ q 2 = q 2或q 2 = 2 q . 2 q



而 q 2 = q 2 无实根,故舍去。 由 q 2 = 2 q 得 q=-2 或 q=1.

Q q ≠ 1,∴ q = 2.

∴ b1 = f (q + 1) = f (1) = 4. ∴ bn = 4 (2) n 1 , 即 bn=(-2)n+1.
(2).令 x n =

cn , 则 x1=a2=2. bn

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又Q n ≥ 2 时, x n = a n +1 a n = 2,

∴ x n = 2(n ∈ N ),∴ c n = 2bn .
Sn= 2(b1 + b2 + b3 + + bn ) = 2

4[1 (2) n ] 8 = [1 (2) n ] . 1 (2) 3

S 1 (2) 2 n +1 ∴ lim 2 n +1 = lim = lim 2n n →∞ S 2 n n → ∞ 1 ( 2) n→∞

1 ( ) 2 n + 2 2 = 2. 1 ( ) 2 n 1 2

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