2017-2018学年高中数学三维设计人教A版浙江专版必修4:课时跟踪检测(十九) 平面向量基本定理

课时跟踪检测(十九) 平面向量基本定理 层级一 学业水平达标 ? ???? ??? 1.已知?ABCD 中∠DAB=30°,则 AD 与 CD 的夹角为( A.30° C.120° B.60° D.150° ) ? ???? ??? 解析:选 D 如图, AD 与 CD 的夹角为∠ABC=150°. 2.设点 O 是?ABCD 两对角线的交点,下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平 面上表示其他所有向量的基底的是( ) ??? ? ???? ???? ??? ? ???? ???? ??? ? ???? ① AD 与 AB ;② DA 与 BC ;③ CA 与 DC ;④ OD 与 OB . A.①② C.①④ B.①③ D.③④ 解析: 选 B 寻找不共线的向量组即可, 在?ABCD 中,AD 与 AB 不共线,CA 与 DC 不共线;而 DA ∥ BC , OD ∥ OB ,故①③可作为基底. 3. 若 AD 是△ABC 的中线, 已知 AB =a,AC =b, 则以 a, b 为基底表示 AD =( 1 A. (a-b) 2 1 C. (b-a) 2 1 B. (a+b) 2 1 D. b+a 2 ???? ???? ??? ? ???? ??? ? ???? ???? ??? ? ???? ???? ???? ) 解析:选 B 如图,AD 是△ABC 的中线,则 D 为线段 BC 的中点, ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? 1 ???? ???? 从而 BD = DC , 即 AD - AB = AC - AD , 从而 AD = ( AB + AC ) 2 1 = (a+b). 2 4.在矩形 ABCD 中,O 是对角线的交点,若 BC =e1, DC =e2,则 OC =( 1 A. (e1+e2) 2 1 C. (2e2-e1) 2 1 B. (e1-e2) 2 1 D. (e2-e1) 2 ???? ???? ???? ) 解析:选 A 因为 O 是矩形 ABCD 对角线的交点, BC =e1, DC =e2,所以 OC = ???? ???? ???? 1 2 ???? ???? 1 ( BC + DC )= (e1+e2),故选 A. 2 5.(全国Ⅰ卷)设 D 为△ABC 所在平面内一点, BC =3 CD ,则( ???? ??? ? ) ???? 1 ???? 4 ???? A. AD =- AB + AC 3 3 ???? 1 ???? 4 ???? B. AD = AB - AC 3 3 ???? 4 ???? 1 ???? C. AD = AB + AC 3 3 ???? 4 ???? 1 ???? D. AD = AB - AC 3 3 ? ???? 1 ???? ???? 1 ???? 1 ???? ???? ???? ??? 1 解析:选 A 由题意得 AD = AC + CD = AC + BC = AC + AC - AB =- 3 3 3 3 ???? 4 ???? AB +3 AC . 6.已知向量 a,b 是一组基底,实数 x,y 满足(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b,则 x-y 的值为______. 解析:∵a,b 是一组基底,∴a 与 b 不共线, ∵(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b, ?3x-4y=6, ?x=6, ? ? ∴? 解得? ∴x-y=3. ?2x-3y=3, ? ? ?y=3, 答案:3 5k ? 7.已知 e1,e2 是两个不共线向量,a=k2e1+? ?1- 2 ?e2 与 b=2e1+3e2 共线,则实数 k =______. 5k 1- 2 k2 解析:由题设,知 = ,∴3k2+5k-2=0, 2 3 1 解得 k=-2 或 . 3 1 答案:-2 或 3 8.如下图,在正方形 ABCD 中,设 AB =a, AD =b, BD =c,则在以 a,b 为基底 时, AC 可表示为______,在以 a,c 为基底时, AC 可表示为______. ???? ???? ???? ???? ???? 解析:以 a,c 为基底时,将 BD 平移,使 B 与 A 重合,再由三角形法则或平行四边形 法则即得. 答案:a+b 2a+c ???? ???? ? 1 ???? 9.如图所示, 设 M, N, P 是△ABC 三边上的点, 且 BM = BC , 3 ???? 1 ??? ? ???? 1 ???? ???? ???? ????? 若 AB =a,AC =b, 试用 a, b 将 MN , CN =3 CA ,AP =3 AB , ???? ???? ? NP , PM 表示出来. ???? ???? ???? ? 解: NP = AP - AN 1 ???? 2 ???? 1 2 = AB - AC = a- b, 3 3 3 3 ? ? ????? ???? ???? 1 ???? 2 ??? 1 2 2 1 MN = CN - CM =-3 AC -3 CB =-3b-3(a-b)=-3a+3b, ???? ? ???? ? ????? ???? 1 PM =- MP =-( MN + NP )=3(a+b). 10.证明:三角形的三条中线共点. 证明:如图所示,设 AD,BE,CF 分别为△ABC 的三条中线, ???? ???? ???? 令 AB =a, AC =b.则有 BC =b-a. ???? ???? ???? AG 2 1 设 G 在 AD 上,且 = ,则有 AD = AB + BD =a+ (b-a) AD 3 2 1 = (a+b). 2 ???? ???? ???? 1 BE = AE - AB =2b-a. ???? ???? ???

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