第三章第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数(教师版)

第 1 讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数 1.角的有关概念 (1)角的形成:角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. (2)角的分类 按旋转?正角:按逆时针方向旋转而成的角 ①方向不?负角:按顺时针方向旋转而成的角 同分类? ?零角:射线没有旋转 按终边?象限角:角的终边在第几象限,这

?

同分类? ?轴线角:角的终边落在坐标轴上 (3)所有与角 θ 终边相同的角,连同角 θ 在内,可构成一个集合:S={β|β=θ+k· 360°,k∈Z}或{β|β =θ+2kπ,k∈Z}. 2.弧度制 (1)定义:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角,正角的弧度数是正数,负角的弧度 数是负数,零角的弧度数是零. 180 π (2)角度制和弧度制的互化:180°=π rad,1°= rad,1 rad=? π ?°. 180 ? ? 1 1 2 (3)扇形的弧长公式:l=|θ|· r,扇形的面积公式:S= lr= |θ |?r . 2 2 3.任意角的三角函数 三角函数 定义 正弦 余弦 正切 设 θ 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),那么 y y 叫做 θ 的正弦, 记作 sin θ x 叫做 θ 的余弦, 记作 cos θ 叫做 θ 的正切, 记作 tan θ x

②位置不? 个角就是第几象限角

?

三角函数 线 有向线段 MP 为正弦线 有向线段 OM 为余弦线 有向线段 AT 为正切线

1. -2 017°6′8″是第几象限角( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 B [解析] 因为-2 017°6′8″=142°53′52″-6?360°,142°53′52″是第二象限角,故 选 B. 2. 单位圆中,200°的圆心角所对的弧长为( ) 9 10 A.10π B.9π C. π D. π 10 9 [答案] D 3. 若角 θ 满足 tan θ >0,sin θ <0,则角 θ 所在的象限是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 [答案] C 4. 已知 θ 的终边过点 P(12,-5),则 cos θ 的值为( ) 12 5 12 5 A. B.- C.- D.- 13 13 5 12 x 12 A [解析] x=12,y=-5,所以 r= x2+y2=13,所以 cos θ= = . r 13
1

9π 5.下列与 的终边相同的角的表达式中正确的是( 4 A.2kπ +45°(k∈Z)

)

9 B.k?360°+ π (k∈Z) 4 5π C.k?360°-315°(k∈Z) D.kπ + (k∈Z) 4 9π 9π C [解析] 与 的终边相同的角可以写成 2kπ+ (k∈Z),但是角度制与弧度制不能混用,所 4 4 以只有答案 C 正确. 象限角及终边相同的角 (1)给出下列四个命题: 3π 4π ①- 是第二象限角; ② 是第三象限角; ③-400°是第四象限角; ④-315°是第一象限角. 其 4 3 中正确的命题有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 k k (2)设集合 M={x|x= ?180°+45°,k∈Z},N={x|x= ?180°+45°,k∈Z},那么( ) 2 4 A.M=N B.M?N C.N?M D.M∩N=? 3π 4π π 4π 【解析】 (1)- 是第三象限角,故①错误; =π+ ,从而 是第三象限角,故②正确; 4 3 3 3 -400°=-360°-40°,从而③正确;-315°=-360°+45°,从而④正确. k (2)法一:由于 M={x|x= ·180°+45°,k∈Z}={…,-45°,45°,135°,225°,…}, 2 k N={x|x= ·180°+45°,k∈Z}={…,-45°,0°,45°,90°,135°,180°,225°,…}, 4 显然有 M?N. k 法二:由于 M 中,x= ·180°+45°=k· 90°+45°=45°·(2k+1),2k+1 是奇数;而 N 中,x 2 k = ·180°+45°=k· 45°+45°=(k+1)· 45°,k+1 是整数,因此必有 M?N. 4 【答案】 (1)C (2)B [通关练习] α 1.若角 θ 是第二象限角,则 是( ) 2 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角 π π α π C [解析] 因为 θ 是第二象限角, 所以 +2kπ<θ<π+2kπ, k∈Z, 所以 +kπ< < +kπ, 2 4 2 2 k∈Z.当 k 为偶数时, 是第一象限角;当 k 为奇数时, 是第三象限角. 2 2 2.在-720°~0°范围内所有与 45°终边相同的角为________. [解析] 所有与 45°有相同终边的角可表示为:β=45°+k?360°(k∈Z), 765 45 则令-720°≤45°+k?360°<0°,得-765°≤k?360°<-45°,解得- ≤k<- , 360 360 从而 k=-2 或 k=-1,代入得 β=-675°或 β=-315°. [答案] -675°或-315° 3.已知角 θ 的终边经过点(3a-9,a+2),且 sin θ >0,cos θ <0,则 a 的取值范围是________. [解析] 因为 sin θ>0,cos θ<0,所以 θ 是第二象限角.所以点(3a-9,a+2)在第二象限,所以 ? 3 a - 9<0, ? ? 解得-2<a<3. ?a+2>0, ? [答案] (-2,3) 扇形的弧长、面积公式
2

α

α

已知扇形的圆心角是 θ ,半径为 R,弧长为 l. (1)若 θ=60°,R=10 cm,求扇形的弧长 l; (2)若扇形的周长为 20 cm,当扇形的圆心角 θ 为多少弧度时,这个扇形的面积最大? π π 10π 【解】 (1)θ=60°= ,l=10? = (cm). 3 3 3 1 1 (2)由已知得,l+2R=20,所以 S= lR= (20-2R)R=10R-R2=-(R-5)2+25, 2 2 所以当 R=5 时,S 取得最大值 25,此时 l=10(cm),θ=2 rad. [通关练习] 1.已知扇形周长是 6,面积是 2,则扇形圆心角的弧度数是( ) A.1 B.4 C.1 或 4 D.2 或 4 2r+l=6, ? ? ? ?r=1, ? ?r=2, C [解析] 设此扇形的半径为 r,弧长为 l,则?1 解得? 或? ?l=4 ?l=2. ? ? ?2rl=2, ? l 4 l 2 从而 θ= = =4 或 θ= = =1. r 1 r 2 2.若扇形的圆心角是 θ=120°,弦长 AB=12 cm,则弧长 l=________cm. 6 [解析] 设扇形的半径为 r cm,如图.由 sin 60°= ,得 r=4 3 cm, r 2π 8 3 所以 l=|θ|· r= ?4 3= π cm. 3 3 8 3 [答案] π 3 三角函数的定义(高频考点) (1)已知 θ 是第四象限角,则 sin(sinθ )( ) A.大于 0 B.大于等于 0 C.小于 0

D.小于等于 0

4 (2)如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,角 θ 的终边与单位圆交于点 A,点 A 的纵坐标为 ,则 cosθ 5 =________. (3)若角 θ 的终边在直线 3x+4y=0 上,求 sinθ ,cosθ 和 tanθ 的值. 【解】 (1)选 C.因为 θ 是第四象限角,所以 sin θ∈(-1,0).令 sin θ=θ, 当-1<θ<0 时,sin θ<0.故 sin(sin θ)<0. 4 (2)因为 A 点纵坐标 yA= ,且 A 点在第二象限,又因为圆 O 为单位圆,所以 A 5 3 3 3 点横坐标 xA=- ,由三角函数的定义可得 cos θ=- .故填- . 5 5 5 3 4 3 (3)设 θ 终边上任一点为 P(-4a,3a),当 a>0 时,r=5a,sin θ= ,cos θ=- ,tan θ=- ; 5 5 4 3 4 3 当 a<0 时,r=-5a,sin θ=- ,cos θ= ,tan θ=- . 5 5 4 [题点通关] 角度一 已知角 θ 终边上一点 P 的坐标求三角函数值 1 1.设 θ 是第二象限角,P(x,4)为其终边上的一点,且 cos θ = x,则 tan θ =( ) 5 4 3 3 4 A. B. C.- D.- 3 4 4 3 x 1 4 4 D [解析] 因为 θ 是第二象限角,所以 x<0.又由题意知 2 = x,解得 x=-3.所以 tan θ= =- . x 3 x +16 5 角度二 已知角 θ 的终边所在的直线方程求三角函数值 2. 已知角 θ 的顶点与原点重合, 始边与 x 轴的非负半轴重合, 终边在直线 y=-2x 上, 则 cos 2θ =( 4 3 3 4 A.- B.- C. D. 5 5 5 5
3

)

[解析] 取终边上一点(a,-2a),a≠0,根据任意角的三角函数定义,由 tan θ=-2,可得 cos 5 3 θ=± 5 ,故 cos 2θ=2cos2θ-1=-5. 角度三 判断三角函数值的符号 cosθ 3.若 sinθ tanθ <0,且 <0,则角 θ 是( ) tanθ A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 C [解析] 由 sin θtan θ<0 可知 sin θ,tan θ异号,则 θ 为第二或第三象限角. cos α 由 <0 可知 cos θ,tan θ异号,则θ为第三或第四象限角.综上可知,θ为第三象限角. tan α B

1.集合{θ|kπ +

π π ≤θ≤kπ + ,k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是( 4 2

)

π π π π C [解析] 当 k=2n(n∈Z)时, 2nπ+ ≤θ≤2nπ+ , 此时 θ 表示的范围与 ≤θ≤ 表示的 4 2 4 2 π π π 范围一样;当 k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+π+ ≤θ≤2nπ+π+ ,此时 θ 表示的范围与π+ ≤θ 4 2 4 π ≤π+ 表示的范围一样. 2 2.若 θ 是第二象限角,则下列选项中能确定为正值的是( ) θ θ θ A.sin B.cos C.tan D.cos 2θ 2 2 2 C [解析] θ 是第二象限角? 为第一、三象限角,所以 tan >0,故选 C. 2 2 3.已知角 θ 的余弦线是单位长度的有向线段,那么角 θ 的终边在( ) A.x 轴上 B.y 轴上 C.直线 y=x 上 D.直线 y=-x 上 A [解析] |cos θ|=1,则角 θ 的终边在 x 轴上. 3 4.已知角 θ 的终边与单位圆的交点 P(x, ),则 tan θ =( ) 2 3 3 A. 3 B.± 3 C. D.± 3 3 3 1 B [解析] 因为 P(x, )在单位圆上,所以 x=± . 2 2 所以 tan θ=± 3. π sin θ cos θ tan θ 5. 已知角 θ=2kπ - (k∈Z), 若角 θ 与角 θ 的终边相同, 则 y= + + 的值为( ) 5 |sin θ | |cos θ | |tan θ | A.1 B.-1 C.3 D.-3 π B [解析] 由 θ=2kπ- (k∈Z)及终边相同的概念知,角 θ 的终边在第四象限,又角 θ 与角 θ 的 5 终边相同,所以角 θ 是第四象限角,所以 sin θ<0,cos θ>0,tan θ<0.所以 y=-1+1-1=-1. 6.已知锐角 θ,且 5θ 的终边上有一点 P(sin(-50°),cos 130°),则 θ 的值为( ) A.8° B.44° C.26° D.40° B [解析] 因为 sin(-50°)<0,cos 130°=-cos 50°<0,所以点 P(sin(-50°),cos 130°)在第 三象限. 又因为 0°<θ<90°,所以 0°<5θ<450°.又因为点 P 的坐标可化为(cos 220°,sin 220°), 所以 5θ=220°,所以 θ=44°,故选 B.
4

θ

θ

1 3 7. 已知角 θ 的终边上有一点的坐标为? ,- ?, 若 θ∈(-2π , 2π ), 则所有的 θ 组成的集合为________. 2 2 ? ? 1 3 [解析] 因为角 θ 的终边上有一点的坐标为? ,- ?,所以角 θ 为第四象限角,且 tan θ=- 3, 2? ?2 ? π 5π? π 即 θ=- +2kπ,k∈Z,因此落在(-2π,2π)内的角 θ 的集合为?- , ?. 3 3 ? ? 3 ? π 5π ? [答案] ?- , ? 3 ? ? 3 8.若 θ 是第三象限角,则 180°-θ 是第________象限角. [解析] 因为 θ 是第三象限角,所以 k· 360°+180°<θ<k· 360°+270°,所以-k· 360°-270°< -θ<-k· 360°-180°,-(k+1)· 360°+270°<180°-θ<-(k+1)· 360°+360°,其中 k∈Z,所 以 180°-θ 是第四象限角. [答案] 四 5 9.已知角 θ 的终边经过点 P(-x,-6),且 cos θ =- ,则 x 的值为________. 13 x>0, ? ? 2 -x -x 5 5 [解析] 因为 cos θ= = 2 =- ,所以? x 25 ,解得 x=2. 13 = (-x)2+(-6)2 x +36 2 ? ?x +36 169 5 [答案] 2 10.一扇形的圆心角为 120°,则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________. 2 3 [解析] 设扇形半径为 R,内切圆半径为 r.则(R-r)sin 60°=r,即 R=(1+ )r. 3 π 7+4 3 2 S扇 7+4 3 1 1 2π 又 S 扇= |θ|R2= ? ?R2= R2= πr ,所以 2= . 2 2 3 3 9 9 πr [答案] (7+4 3)∶9 11.已知 sin θ <0,tan θ >0. α (1)求 θ 角的集合;(2)求 终边所在的象限. 2 [解] (1)由 sin θ<0,知 θ 在第三、四象限或 y 轴的负半轴上; 3π 由 tan θ>0,知 θ 在第一、三象限,故 θ 角在第三象限,其集合为{θ|2kπ+π<θ<2kπ+ ,k∈ 2 Z}. 3π π α 3π α (2)由 2kπ+π<θ<2kπ+ ,k∈Z,得 kπ+ < <kπ+ ,k∈Z,故 终边在第二、四象限. 2 2 2 4 2 2π 2π ,cos ),则角 θ 的最小正值为( ) 3 3 5π 2π 5π 11π A. B. C. D. 6 3 4 6 2π 2π 3 1 1 D [解析] 因为(sin ,cos )=( ,- ),所以角 θ 为第四象限角,且 sin θ=- ,cos θ 3 3 2 2 2 3 = . 2 11π 所以角 θ 的最小正值为 . 6 13.已知角 θ 的终边上有一点 P(x,-1)(x≠0),且 tan θ =-x,求 sin θ +cos θ 的值. 1 [解] 因为 θ 的终边过点(x,-1)(x≠0),所以 tan θ=- . x 2 2 又 tan θ=-x,所以 x2=1,即 x=± 1.当 x=1 时,sin θ=- ,cos θ= . 2 2 12.已知角 θ 的终边上一点的坐标为(sin
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2 2 ,cos θ=- , 2 2 因此 sin θ+cos θ=- 2.故 sin θ+cos θ的值为 0 或- 2. 14.已知扇形 AOB 的周长为 8. (1)若这个扇形的面积为 3,求圆心角的大小; (2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长 AB. [解] 设扇形 AOB 的半径为 r,弧长为 l,圆心角为 θ, 2r+l=8, ? ? ? ?r=3, ? ?r=1, l 2 l (1)由题意可得?1 解得? 或? 所以 θ= = 或 θ= =6. r 3 r ?l=2 ?l=6, ? ? ? ?2lr=3, 1 1 1 l+2r 2 1 8 2 (2)法一:因为 2r+l=8,所以 S 扇= lr= l·2r≤ ( ) = ?( ) =4, 2 4 4 2 4 2 l 当且仅当 2r=l,即 θ= =2 时,扇形面积取得最大值 4. r 所以圆心角 θ=2,弦长 AB=2sin 1?2=4sin 1. 1 1 法二:因为 2r+l=8,所以 S 扇= lr= r(8-2r)=r(4-r)=-(r-2)2+4≤4, 2 2 l 当且仅当 r=2,即 θ= =2 时,扇形面积取得最大值 4. r 所以弦长 AB=2sin 1?2=4sin 1. 因此 sin θ+cos θ=0;当 x=-1 时,sin θ=-

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