甘肃省民乐一中2014-2015学年高二第二学期第一次月考数学(文)试题

民乐一中 2014—2015 学年第二学期高二年级第一次月考 数学(文科)试卷
一、选择题 1.若用 C、R、I 分别表示复数集、实数集、纯虚数集,则有( A. C ? R ? I B. R ? I ? {0} C. R ? C ? I ) C. ? 2,? D. )

R?I ??

2.点 P 1,? 3 ,则它的极坐标是( A. ? 2, 3.在

?

?

? ?

??
? 3?

B. ? 2,

? ?

4? ? ? 3 ?

? ?

??
? 3?

D. ? 2,?

? ?

4? ? ? 3 ?


? ABC 中, DE / / BC , DE 将 ? ABC 分成面积相等的两部分,那么 DE : BC ? (
B. 1 : 3
2 2

A. 1 : 2

C. 1: 2

D. 1:1 )

4.若复数(m -3m-4)+(m -5m-6) i 是虚数,则实数 m 满足( A.m≠-1 B.m≠6 C.m≠-1 或 m≠6 D. m≠-1 且 m≠6 5.极坐标方程 ? ? 4cos ? 化为直角坐标方程是( A. ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 C. x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 6.复数 )

B. x2 ? y 2 ? 4 D. ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 4

5 的共轭复数是( ) 3 ? 4i 3 4 3 4 A. 3 ? 4i B. ? i C. 3 ? 4i D. ? i 5 5 5 5
7.在

? ABC 中,?BAC ? 90 , D 是 BC 边的中点, AE ? AD , AE 交 CB 的延长线于 E ,
?

则下面结论中正确的是( A. C.

) B. D.

A

? AED ∽ ? ACB ? BAE ∽ ? ACE

? AEB ∽ ? ACD ? AEC ∽ ? DAC
C

D

B

E

8.参数方程 ?

? x ? t ?1 ?y ? 1? 2 t

(t为参数) 表示什么曲线( )

A.一条直线 B.一个半圆 C.一条射线 D.一个圆 9.根据下面的结构图,总经理的直接下属是( )

总经理 总工程师 专家办公室

咨询部 监理部 信息部 开发部 财务部 后勤部 编辑部 A.总工程师和专家办公室 B.总工程师、专家办公室和开发部 C.开发部 D.总工程师、专家办公室和所有七个部 10.在复平面上复数 i,1,4+2i 所对应的点分别是 A、B、C,则平面四边形 ABCD 的对角线 BD 的 长为 ( ) A.5 B.

13

C. 15

D. 17 )

11. 若直线 ? A.-6

? x ? 1 ? 2t ?t为参数? 与直线4x ? ky ? 1垂直,则常数k ? ( ? y ? 2 ? 3t
B. ?

1 6

C.6

D.

1 6


12.已知矩形 ABCD,R、P 分别在边 CD、BC 上,E、F 分别为 AP、PR 的中点,当 P 在 BC 上由 B 向 C 运动时,点 R 在 CD 上固定不变,设 BP ? x, EF ? y ,那么下列结论中正确的是( A. y 是 x 的增函数 C. y 随 x 先增大后减小 B. y 是 x 的减函数 D. 无论 x 怎样变化,y 是常数

A E B P F

D R C

二、填空题 13. 5 ? 12i 的平方根_________________. 14. 如图所示,过 ? O 外一点 P 作一条直线与 ? O 交于 A,B 两点,已知 PA=2,点 P 到 ? O 的切线长 PT =4,则弦 AB 的长为________.

T O P A B

15.在复平面内, O 是原点, OA , OC , AB 表示的复数分别为 ?2 ? i,3 ? 2i,1 ? 5i ,那

??? ?

????

??? ?

么 BC 表示的复数为____________. 16.如图所示,圆 O 的直径 AB=6,C 为圆周上一点,BC=3.过 C 作圆的切线 l,过 A 作 l 的垂 线 AD,AD 分别与直线 l、圆交于点 D、E,则∠DAC=

??? ?

三、简答题 17.计算: (-1+i)(2+i) (1) 3 i 1-i 1+i (2) 2+ 2 (1+i) (1-i)

18.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 方程为 ?

? x ? 5cos ? ,求过椭圆的右焦点, (? 为参数) ? y ? 3sin ?

且与直线 ?

? x ? 4 ? 2t (t 为参数)平行的直线 l 的普通方程. ?y ? 3?t

19.如图,圆 O 的两弦 AB 和 CD 交于点 E,EF∥CB, EF 交 AD 的延长线于点 F,FG 切圆 O 于点 G. (1)求证:△DFE∽△EFA; (2)如果 EF=1,求 FG 的长. 20 . 已 知 z 、 ? 为 复 数 , ( 1+3i ) z 为 实 数 , ? =

z , 且 | ? |? 5 2, 求? . 2?i

21.如图,已知 AP 是⊙O 的切线,P 为切点,AC 是⊙O 的割线,与⊙O 交于 B、C 两点,圆心 O 在∠PAC 的内部,点 M 是 BC 的中点. (1)证明 A,P,O,M 四点共圆; (2)求∠OAM+∠APM 的大小.

22.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x-y+4=0,曲线 C 的参数方程为

? ? x ? 3cos? (? 为参数) ? ? ? y ? sin? .
(I)已知在极坐标(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正

? ) ,判断点 P 与直线 l 的位置关系; 2 (II)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值.
半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为(4,

2014-2015 第二学期第一次月考 高二数学文科试题答案
一、选择题 DCCDA BCCBB AD 二、填空题 13. 3+2i 或-3-2i 14. 6 三、简答题 (-1+i)(2+i) -3+i 17.解:(1) = =-1-3i. 3 i -i 1-i 1+i 1-i 1+i (2) + 2+ 2= (1+i) (1-i) 2i -2i 1+i -1+i = + =-1. -2 2

15.4-4i

16.30°

18.解:由已知得椭圆的右焦点为 ? 4, 0 ? ,已知直线的参数方程可化为普通方程:
x ? 2 y ? 2 ? 0 ,所以 k ?
1 ,于是所求直线方程为 x ? 2 y ? 4 ? 0 。 2

19.(1)证明 ∵EF∥CB, ∴∠DEF=∠DCB. ∵∠DCB=∠DAB, ∴∠DEF=∠DAB. ∵∠DFE=∠EFA, ∴△DFE∽△EFA. (2)解 ∵△DFE∽△EFA,
EF FD 2 ∴ FA = EF .∴EF =FA·FD.

∵FG 切圆于 G,∴FG =FA·FD. ∴EF =FG .∴EF=FG.∵EF=1,∴FG=1.
2 2

2

20.解:设?=x+yi(x,y∈R),

??

z ? z ? ? ? 2 ? i ? ? ( x ? yi ) ? 2 ? i ? 2?i

依题意得(1+3i)(2+i)?=(-1+7i)?为实数,且|?|=5 2 , ∴?

?7 x ? y ? 0
2 2 ? x ? y ? 50



解之得 ?

? x ? 1 ? x ? ?1 或? , ? y ? 7 ? y ? ?7

∴?=1+7i 或?=-1-7i。 21. (1)连结 OP、OM。 因为 AP 与⊙O 相切于点 P,所以 OP⊥AP。因为 M 是⊙O 的弦 BC 的中点, 所以 OM⊥BC。于是∠OPA+∠OMA=180°,由圆心 O 在∠PAC 的内部, 可知四边形 APOM 的对角 互补,所以 A,P,O,M 四点共圆。 (2)由(1)得 A,P,O,M 四点共圆,所以∠OAM=∠OPM。由(1)得 OP⊥AP。由圆 心 O 在∠PAC 的内部,可知∠OPM+∠APM=90°,所以∠OAM+∠APM=90°

P (4, ) 2 化为直角坐标,得 P(0,4) 22.解: (I)把极坐标系下的点 。
因为点 P 的直角坐标(0,4)满足直线 l 的方程 x ? y ? 4 ? 0 , 所以点 P 在直线 l 上, (II)因为点 Q 在曲线 C 上,故可设点 Q 的坐标为 ( 3 cos ? ,sin ? ) , 从而点 Q 到直线 l 的距离为

?

| 3 cos ? ? sin ? ? 4 | d? ? 2
cos(? ?
由此得,当

2 cos(? ? ) ? 4 ? 6 ? 2 cos(? ? ) ? 2 2 6 2 ,

?

?
6

) ? ?1

时,d 取得最小值,且最小值为 2.


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