江苏省2016年高考不等式相关练习讲解

不等式 一、填空题

1 . (苏北老四所县中 2013

?x ? y ? 2 ? 0 ? 2 2 届高三新学期调研考试)过平面区域 ? y ? 2 ? 0 内一点 P 作圆 O : x ? y ? 1 的两条切线,切点分别 ?x ? y ? 2 ? 0 ?
▲ . .



A, B ,记 ?APB ? ? ,则当 ? 最小时 cos? ?

2 . (南京九中 2013 届高三第二学期二模模拟)当 0

?x?

1 1 3 时, | ax ? 2 x |? 恒成立,则实数 a 的取值为 2 2
y 满足 4 x ? 4 y ? 2 x ?1 ? 2 y ?1 ,则 S ? 2x ? 2 y 的最大值是

3 . (南京九中 2013 届高三第二学期二模模拟)若实数 x 、





4

?x ? y ? 0 ? . (南京九中 2013 届高)已知在平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? y ? 4 ? 0 表示的平面区域面积是 9,则常数 a 的值为_________. ?x ? a ?

5

?2 x ? y ? 0 ?x ? 3y ? 5 ? 0 1 x 1 y ? (江苏省南京学大教育专修学校 2013 届高三) . 已知实数 x 、y 满足 ? , zxxk 则 z ? ( ) ? ( ) 的最小值为 4 2 ?x ? 0 ? ?y ? 0

.

6 . (盱眙县新马中学 2013 届高三下学期期初检测数学试题)若 a 是___. (写出所有正确命题的编号).① ab ? 1 ; ②

? 0, b ? 0, a ? b ? 2 ,则下列不等式对一切满足条件的 a , b 恒成立的

2

a? b ? 2;

a 2 ? b2 ? 2 ; ④ a 3 ? b3 ? 3 ;



1 1 ? ?2 a b

7 .过定点 P (1,2)的直线在 x轴与y轴 正半轴上的截距分别为 a、 b ,则 4 a

? b 2 的最小值为_______.

? x ? 0, 11 ? 8 .已知实数 x, y 满足约束条件 ? y ? 2 x ? 1, ( k 为常数),若目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值是 ,则实数 k 的值是_____. 3 ?x ? y ? k ? 0 ?
9 . (江苏省扬州中学 2013 届高三下学期)设 t ? R,若 x>0 时均有 (tx ? 1)[ x
2

? (t ? 1) x ? 1] ? 0 ,则 t=______________.

10.点

P ( x, y ) 在不等式组

? x ? 0, ? ? x ? y ? 3, ? y ? x ?1 ?

表示的平面区域内,若点

P ( x, y ) 到直线 y ? kx ? 1 的最大距离为 2 2 ,则 k ? ___.

11. (江苏省扬州中学 2013 届高三 3 月月考数学试题)若正数 a,b 满足 2a ? b

? 1 ,则 4a 2 ? b 2 ? ab 的最大值为__________.

a 2 ? 2 ln a 3c ? 4 ? ? 1 ,则 (a ? c) 2 ? (b ? d ) 2 的最小值为________. 12.考试数学试题)若实数 a 、 b 、 c 、 d 满足 b d

13.定义运算

,则关于非零实数 x 的不等式

的解集为________. 1

?x ? y ? 2 ? 0 ? 14. (江苏省盱眙中学 2013 届高三下学期期初检测数学试题)若实数 x, y 满足 ? x ? 4 则 s ? y ? x 的最小值为____ ?y ? 5 ?
15.设 x, y 是正实数,且 x ?

y ? 1 ,则

x2 y2 的最小值是________________ ? x ? 2 y ?1

? x ?1≤ 0 ? 2 2 16.已知点 P ( x, y ) 满足 ? 2 x ? 3 y - 5 ≤ 0 ,点 Q ( x, y ) 在圆 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 1 上,则 PQ ?4 x ? 3 y ? 1≥ 0 ?
2

的最大值与最小值为___________.

17.若符号[x]表示不大于实数 x 的最大整数,例[-1,2]=-3,[7]=7,[x -1]=3,则 x 的取值范围是___________. 18.函数
2 ? ?x ? 4x f ( x) ? ? 2 ? ?4 x ? x

x?0 x?0

,则不等式

f (2 ? x 2 ) ? f ( x) 的解集是______________.

19 . (江苏省青阳高级中学 2013 届高三月测试卷(二) (数学) )如图 , 在三棱锥

P ? ABC

中,

PA 、 PB 、 PC 两两垂直 , 且

PA ? 3, PB ? 2, PC ? 1 .设 M
棱锥 M

是底面

ABC 内一点,定义 f ( M ) ? (m, n, p ) ,其中 m 、n 、 p 分别是三棱锥 M ? PAB 、 三

1 a 1 ? PBC 、三棱锥 M ? PCA 的体积.若 f ( M ) ? ( , x, y ) ,且 ? ? 8 恒成立,则正实数 a 的最小值为________. 2 x y

?x ? y ? 2 ? 0 ? 2 2 20.过平面区域 ? y ? 2 ? 0 内一点 P 作圆 O : x ? y ? 1 的两条切线,切点分别为 A, B ,记 ?APB ? ? ,当 ? ?x ? y ? 2 ? 0 ?
坐标为_

最小时,此时点 P

? x ? y ? 2 ? 0, 21. (江苏省南师附中)已知实数 x,y 满足约束条件 ? , 则 z=2x+y 的最小值是_____. ? x ? 2, ? y?2 ?

? 3x ? y ? 0 ? 3x ? y ? 22. (江苏省南菁高级中学已知,点 P( x, y) 的坐标满足 ? x ? 3 y ? 2 ? 0 ,则 x2 ? y2 ?y ? 0 ? ?
23. (江苏省涟水县金城外国语学校 2013 届高三下学期期初检测数学试题)不等式

的取值范围为____.

3x ? 4 ? 4 的解集是_________

24. (江苏省涟水县金城外国语学校已知不等式组 ?

? x 2 ? 4 x ? 3a ? 0 2 ? x ? 2x ? a ? 0

的整数解只有 1,则实数 a 的取值范围是_____. 2

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 25. )设 x, y 满足条件 ?8 x ? y ? 4 ? 0 若函数 z ? abx ? y(a ? 0, b ? 0) 的最大 值为 8,则 a ? b 的最小值为____ _____ ? x ? 0, y ? 0 ?
26. (江苏省涟水县金城外国语学校已知点

A(m, n) 在直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 上,则 2 m ? 4 n 的最小值为_____________.

?x ? y ? 2 ? 0 ? 27. (江苏省涟水县金城外国语学校已知实数 x 、 y 满足 ? x ? y ? 4 ? 0 ,则 z ?| x ? 2 y ? m | 的最大值为 21,则 m ? ______ ?2 x ? y ? 5 ? 0 ?
28. (江苏省金湖中学 2013 届高三下学期期初检测数学试题)不等式

29. (江苏省姜堰市蒋垛中学已知实数 a , b , c 满足 a ? b ? c ? 9 , ab ? bc ? ca ? 24 ,则 b 的取值范围是__________ 30. (江苏省淮阴中学)设 a

2x ? 1 的解集是_______. x ?1

? log3 2 , b ? ln 2 , c ? 5

?

1 2

,则 a 、 b 、 c 从小到大的排列顺序是___________.

31. (江苏省淮阴中学)已知关于 x 的不等式:|2x-m|≤1 的整数解有且仅有一个值为 2.则整数 m 的值为___________; 32( .江苏省淮阴中学 2013 届高三 3 月综合测试数学试题) 设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 则 z ?

?2 x ? y ? 2 ?x ? y ? 1 ?

? 2 x ? 3 y 的最大值是_________.

二、解答题 33. (南京九中 2013 届高三第二学期二模模拟)某工厂生产一种仪器的元件,由于受生产能力和技术水平的限制,会产生一些次品,根据 经验知道,其次品率 P 与日产量 x (万件)之间大体满足关

? 1 ,1 ? x ? c, ? ?6 ? x P?? (其中 c 为小于 6 的正常数) (注:次品率=次品数/生产量,如 P ? 0.1 表示每生产 10 件产品,有 1 件为 ? 2, x?c ? ? 3
次品,其余为合格品)已知每生产 1 万件合格的仪器可以盈利 2 万元,但每生产 1 万件次品将亏损 1 万元,故厂方希望定出合适的日 产量.(1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额 T (万元)表示为日产量 x (万件)的函数; (2)当日产量为多少时,可获得最大利润?

34. (江苏省南京学大教育专修学校 2013 届高三 3 月月考数学试题) (本题满分 14 分)某地区共有 100 户农民从事蔬菜种植,据调查,每 户年均收入为 3 万元.为了调整产业结构,当地政府决定动员部分种植户从事蔬菜加工.据估计,如果能动员 x(x>0)户农民从事蔬 3

菜加工, 那么剩下从事蔬菜种植的农民每户年均收入有望提高 2x%, 从事蔬菜加工的农民每户年均收入为 3( a ?

3x ) ( a ? 0 )万元。 50

(1)在动员 x 户农民从事蔬菜加工后,要使从事蔬菜种植的农民的年总收入不低于动员前从事蔬菜种植的年总收入,试求 x 的取值 范围; (2)在(1)的条件下,要使这 100 户农民中从事蔬菜加工农民的年总收入始终不高于从事蔬菜种植农民的年总收入,试求实数 a 的 最大值。

35. (盱眙县新马中学 2013 届高三下学期期初检测数学试题)若不等式 (a ? 2) x 实数 a 的取值范围.

2

? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对一切 x ? R 恒成立,试确定

36 . (江苏省盱眙中学 2013 届高三下学期期初检测数学试题)设函数

1 f ( x) ? x 2 e x ?1 ? x 3 ? x 2 3

设 g ( x)

?

2 3 x ? x 2 ,试比较 3

f ( x) 与 g ( x) 的大小
4

37. (江苏省青阳高级中学 2013 届高三月测试卷(一) (数学) )统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量 y(升)关于行驶速度 1 3 3 x(千米/小时)的函数解析式可以表示为:y= x - x+8 (0<x≤120).已知甲、乙两地相距 100 千米. 128000 80 (Ⅰ)当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (Ⅱ)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?

38. (江苏省青阳高级中学 2013 届高三月测试卷(二) (数学) )某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间 为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为

80? 3

立方米,且 l≥2r .假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知

5

圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元,半球形部分每平方米建造费用为 c (c>3) 千元.设该容器的建造费用为

y 千元.

y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的 r .
(Ⅰ)写出

39. (江苏省青阳高级中学 2013 届高三 3 月份检测数学试题 ) 已知某种稀有矿石的价值 且 3 克该种矿石的价值为 54000 元.⑴写出

y (单位:元)与其重量 ? (单位:克)的平方成正比,

y (单位:元)关于 ? (单位:克)的函数关系式;

⑵若把一块该种矿石切割成重量比为 1: 3 的两块矿石,求价值损失的百分率; ⑶把一块该种矿石切割成两块矿石时,切割的重量比为多少时,价值损失的百分率最大. (注:价值损失的百分率 ?

原有价值 ? 现有价值 原有价值

?100% ;在切割过程中的重量损耗忽略不计)

40. (江苏省南师附中等五校 2013 届高三下学期期初教学质量调研数学试卷)某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y (单 位:千克)与销售价格 x (单位:元/千克)满足关系式 y=

a +10(x-6)2,其中 3<x<6,a 为常数.已知销售价格为 5 元/千克时,每日可售出 x-3
6

该商品 11 千克. (1)求 a 的值;(2)若该商品的成品为 3 元/千克, 试确定销售价格 x 的值, 使商场每日销售该商品所获得的利润最大.

41. (江苏省南菁高级中学 2013 届高三第二学期开学质量检测数学试卷)某生产旅游纪念品的工厂,拟在 2010 年度将进行系列促销活动. 经市场调查和测算,该纪念品的年销售量 x 万件与年促销费用万元之间满足 3 ? x 与 t ? 1 成反比例.若不搞促销活动,纪念品的年销售 量只有 1 万件.已知工厂 2010 年生产纪念品的固定投资为 3 万元,每生产 1 万件纪念品另外需要投资 32 万元.当工厂把每件纪念品的 售价定为:“年平均每件生产成本的 150%”与“年平均每件所占促销费一半”之和时,则当年的产量和销量相等.(利润=收入-生产成 本-促销费用) (1)求出 x 与所满足的关系式; (2)请把该工厂 2010 年的年利润

y 万元表示成促销费万元的函数;

(3)试问:当 2010 年的促销费投入多少万元时,该工厂的年利润最大?

42. (江苏省涟水中学 2013 届高三下学期期初检测数学试题)已知条件

p : x ? A ? x | x 2 ? 2 x ? 3 ? 0, x ? R ,
7

?

?

条件 q : x ? B (Ⅰ)若 A

? ? x | x 2 ? 2mx ? m 2 ? 4 ? 0, x ? R, m ? R?
(Ⅱ)若 A ?

B ? ?0,3? ,求实数 m 的值;

C R B ,求实数 m 的 取值范围.

43. (江苏省涟水县金城外国语学校 2013 届高三下学期期初检测数学试题)已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? b(a, b ? R) , g ( x) ? 2 x 2 ? 4 x ? 16 , 且 | f ( x) |?| g ( x) | 对 x ? R 恒成立. (1)求 a、b 的值; (2)若对 x ? 2 ,不等式 f ( x) ? (m ? 2) x ? m ? 15 恒成立,求实数 m 的取值范围.

1 1 f ( x) ? 4 ,那么当 k ? 时,是否存在区间 [ m, n] ( m ? n ),使得函数 h( x) 在区间 [ m, n ] 上的值域恰好为 [km, kn] ?若 2 2 [ m , n ] 存在,请求出区间 ;若不存在,请说明理由.
(3)记 h( x) ? ?

44. (江苏省金湖中学 2013 届高三下学期期初检测数学试题) 若关于 x 的不等式 (m ? 3) x 定义开区间 ( a, b) 的长度 l

2

? 2mx ? 8 ? 0(m ? R) 的解集是一个开区间 D ,

?b?a.

(1)求开区间 D 的长度 l ( l 用 m 表 示),并写出其定义域; 8

(2)若 l ?

?1,2? ,求实数 m 的取值范围.

45. (江苏省姜堰市蒋垛中学 2012-2013 学年度第二学期期初测试高三数学试题)(本小题满分 10 分,不等式选讲)设 x, y , z 为正数, 求证: 2( x
3

? y 3 ? z 3 ) ? x 2 ( y ? z ) ? y 2 ( x ? z ) ? z 2 ( x ? y) .

46. (江苏省姜堰市蒋垛中学 2012-2013 学年度第二学期期初测试高三数学试题)如图,海岸线 MAN , ?A

?

2? 3

,现用长为 6 的拦网围

成一养殖场,其中 B ? MA, C ? NA . (1)若 BC = 6,,求养殖场面积最大值; (2)若 AB = 2,AC = 4,在折线 MBCN 内选点 D , 使 9

BD + DC = 6,求四边形养殖场 DBAC 的最大面积(保留根号).

47. (江苏省江都市大桥高中 2013 届高三下学期开学考试数学试题)已知不等式 mx 求 m, n 的值 解关于 x 的不等式:

2

? nx ?

1 1 ? 0 的解为 {x | x ? ? 或 x ? 2} m 2

(2a ? 1 ? x)( x ? m) ? 0 ,其中 a 是实数

48. (江苏省淮阴中学 2013 届高三下学期期初检测数学试题)设 a、b 是非负实数,求证: a

3

? b3 ? ab (a2 ? b2 ) .

10

49. (江苏省淮阴中学 2013 届高三下学期期初检测数学试题)若实数 x 、 (1)若 x
2

y 、 m 满足 x ? m ? y ? m

,则称 x 比

y 接近 m .

? 1比 3 接近 0,求 x 的取值范围;
2

(2)对任意两个不相等的正数 a 、 b ,证明: a

b ? ab2 比 a 3 ? b3 接近 2ab ab ;

(3)已知函数

x2 ?1 x2 ?1 1 1 和1 ? 中接近 0 的那个值.写出 f ( x) 的定义域 D ? [?2,? ] ? [ ,2] .任取 x ? D , f ( x) 等于 1 ? 2 2 x x

函数

f ( x) 的解析式,并指出它的奇偶性、最值和单调性(结论不要求证明).

50. (江苏省淮阴中学 2013 届高三 3 月综合测试数学试题)今年的国庆假期是实施免收小型客车高速通行费后的第一个重大节假日,有一 个群名为 “天狼星”的自驾游车队.该车队是由 31 辆车身长都约为 5m(以 5m 计算)的同一车型组成的,行程中经过一个长为 2725m 的隧道(通过该隧道的车速不能超过 25m/s), 匀速通过该隧道,设车队的速度为 x m/s ,根据安全和车流的需要,当 0 ?

x ? 12 时,相
11

邻两车之间保持 20m 的距离;当 12 ? 尾离开隧道所用的时间为 (1)将

1 1 x ? 25 时,相邻两车之间保持 ( x 2 ? x ) m 的距离.自第 1 辆车车头进入隧道至第 31 辆车车 6 3

y( s) .

y 表示为 x 的函数;(2)求该车队通过隧道时间 y 的最小值及此时车队的速度.

51. (江苏省洪泽中学 2013 届高三下学期期初考试数学试题)(1)求不等式 x (2)设关于 x 的不等式 ( x ? a)( x ? 2) ? 0 的解集为 M ,若 M

2

? 5x ? 4 的解集 A;

? A ,求实数 a 的取值范围.

12

江苏省 2013 届高三下学期最新精选试题(27 套)分类汇编 6:不等式参考答案 一、填空题 1.

cos? =

9 10

2.

?

1 3 ?a? 2 2

3.

4

4.

1 5.

1 16

6. 11.

①③⑤7.

32

8.

?3

9.

1 2

10. 粘贴有误,原因可能为题目为公式编辑器内容,而没有其它字符

17 16

12.

2 2 ?1 ? ln 2 ? 5

13.

? ??, 0 ? ? ? ? 0,
?
20.

1? ? ? ? 2, ?? ? 2?
21. 2

14. -6

15.

1 4
23.

16.

6, 2

17.

(? 5 ,?2] ? [2, 5)

18.

(? 2, 1) ;

19. 1

?? 4,?2?
28.

22.

[ ? 3, 3 )

8? ? ?x | 0 ? x ? ? 3? ?
31. 4 32. 18

24.

0 ? a ?1

25. 4

26. 4

27.

?4 或 ?26

(?1,1)

29. [1,5]

30. c<a< b

二、解答题 33.解: (1)当 x ? c 时, P

?

2 1 2 ,? T ? x ? 2 ? x ?1 ? 0 3 3 3

当1 ?

x ? c 时, P ?

1 1 9x ? 2 x2 1 )? x?2?( ) ? x ?1 ? ,?T ? (1 ? 6? x 6? x 6? x 6? x

综上,日盈利额 T (万元)与日产量 x (万件)的函数关系为:

? 9 x ? 2 x2 ,1 ? x ? c ? T ? ? 6? x ? 0, x?c ?

------------------------- 6

(2)由(1)知,当 x ? c 时,每天的盈利额为 0 当 1 ?

x ? c 时, T ?

9 x ? 2 x2 9 ? 15 ? 2[(6 ? x) ? ] ? 15 ? 12 ? 3 6? x 6? x

当且仅当 x

? 3 时取等号所以 (i ) 当 3 ? c ? 6 时, Tmax ? 3 ,此时 x ? 3

由T? ? (ii ) 当 1 ? c ? 3 时, 此时 x ? c 综上,若 3 ? c 34.解(1)由题意得 又因为 x

9 x ? 2 x2 2 x 2 ? 24 x ? 54 2( x ? 3)( x ? 9) 知函数 T ? ? 6? x (6 ? x)2 (6 ? x)2

?Tmax 在 [1,3] 上递增,

9c ? 2c 2 ? 6?c



? 6 ,则当日产量为 3 万件时,可获得最大利润若 1 ? c ? 3 ,则当日产量为 c 万件时,可获得最大利润
3(100 ? x)(1 ? 2 x%) ? 3 ?100 ,即 x 2 ? 50 x ? 0 ,解得 0 ? x ? 50 ,

? 0 ,所以 0 ? x ? 50 ;--------------------------------------------------------6 分 3x ) x 万元,从事蔬菜种植农民的年总收入为 3(100 ? x)(1 ? 2 x%) 万元,根据题 (2)从事蔬菜加工的农民的年总收入为 3( a ? 50
意得, 3( a ?

x2 3x ) x ? 3(100 ? x)(1 ? 2 x%) 恒成立,即 ax ? 100 ? x ? 恒成立. 50 25
100 x 100 x ? ? 1恒成立,而 ? ? 1 ? 5(当且仅当 x ? 50 时取得等号) , x 25 x 25
--------------------------------15 分

又x

? 0 ,所以 a ?

所以 a 的最大值为 5. 35.

?2 ? a ? 2 .

试题分析:a-2=0 时,显然符号要求,当 a-2 不等于零时,由于对应的二次函数的图象都在 x 轴下方,因而开口向下,判断 13

式小于零.当 a 当a

? 2 时,原不等式变形为 ?4 ? 0 ,恒成立,即 a ? 2 满足条件;

? 2 时,要使不等式 (a ? 2) x 2 ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对一切 x ? R 恒成立,

必须

?a ? 2 ? 0 ? 2 ?? ? 4(a ? 2) ? 4 ? 4(a ? 2) ? 0
a?2

. 化简得 ?

?a ? 2 ?a ? 2 ,解得 ? ? ?2 ? a ? 2 ?(a ? 2)(a ? 2) ? 0 ??2 ? a ? 2

综上所述, a 的取值范围是 ?2 ?

考点:一元二次不等式、一元二次方程及一元二次函数图像之间的关系. 点评:在研究形如一元二次不等式恒成立问题时,要注意先对二次项系数进行讨论,然后再结合二次函数的图像求解. 36.

f ( x) ≥ g ( x)
故 令

解∵

1 f ( x) ? x 2 e x ?1 ? x 3 ? x 2 3

g ( x) ?

2 3 x ? x2 3

f ( x) ? g ( x) ? x 2 e x ?1 ? x 3 ? x 2 (e x ?1 ? x) ,令 h( x) ? e x ?1 ? x ,则 h?( x) ? e x ?1 ? 1 .
h?( x) ? 0
,得

x ?1

,因为

x ? ? ??, 1?

时,

h?( x) ≤ 0

,所以

h( x )



x ? ? ??, 1?

上单调递减.故

x ? ? ??, 1?

时, h( x ) ≥ h(1) 故 x?

? ? ? 时, h?( x) ≥ 0 ,所以 h( x) 在 x ? ?1, ? ? ? 上单调递增. ? 0 ;因为 x ? ?1,

? ? ? 时, h( x) ≥ h(1) ? 0 .所以对任意 x ? (??, ? ?) ,恒有 h( x) ≥ 0 ,又 x 2 ≥ 0 ,因此 f ( x) ? g ( x) ≥ 0 , ?1,
f ( x) ≥ g ( x) .
100 1 3 =2.5 小时,要耗油( ×403- ×40+8)×2.5=17.5(升). 40 128000 80

故对任意 x ? ( ??, ? ?) ,恒有

37. (I)当 x=40 时,汽车从甲地到乙地行驶了

所以,当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油 17.5. (II)当速度为 x 千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了 依题意得 h(x)=( 100 小时,设耗油量为 h(x)升, x

1 100 1 2 800 15 x 800 x3-803 3 3 x - x+8)· = x+ - (0<x≤120), h(x)= = (0<x≤120),令 h(x)=0 得 x=80, 128000 80 x 1280 x 4 640 x2 640x2

当 x∈(0,80)时,h(x)<0,h(x)是减函数;当 x∈(80,120)时,h(x)>0,h(x)是增函数, ∴当 x=80 时,h(x)取到极小值 h(80)=11.25,因为 h(x)在(0,120]上只有一个极值,所以它是最小值. 故当汽车以 80 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为 11.25 升.

38.

80? (Ⅰ)因为容器的体积为 3

4? r 3 80? ? ? r 2l ? 立方米,所以 3 3

,解得 l

?

80 4r ? ,由于 l ? 2r ,因此 0 ? r ? 2 . 3r 2 3
2

所以圆柱的侧面积为 2? rl = 2? r (

160? 8? r 2 80 4r ? ? ) ? 3r 3 3r 2 3

,两端两个半球的表面积之和为 4? r ,

所以建造费用

y?

160? ? 8? r 2 + 4? cr 2 ,定义域为 (0, 2] . r

(Ⅱ)因为

y' ? ?

8? [(c ? 2)r 3 ? 20] 160? 8 ? cr + = , 0 ? r ? 2 由于 c>3,所以 c-2>0,所以 ? 16 ? r r2 r2
3



y ' ? 0 得: r ?

20 c?2

; 令

y ' ? 0 得: 0 ? r ?

3

20 , c?2

(1)当 3 ? c

?

20 9 ? 2 时,函数 y 在(0,2)上是单调递 时,即 3 c?2 2

减的,故建造费最小时 r=2. 14

(2)当 c

?

20 20 9 ? 2 时,函数 y 在(0,2)上是先减后增的,故建造费最小时 r ? 3 时,即 0 ? 3 c?2 c?2 2

.

39.解⑴依题意设

y ? k? 2 (? ? 0) ,又当 ? ? 3 时, y ? 54000 ,∴ k ? 6000 ,故 y ? 6000? 2 (? ? 0) .

⑵设这块矿石的重量为 a 克,由⑴可知,按重量比为 1: 3 切割后的价值

1 2 3 1 3 a ) ? 6000( a) 2 ,价值损失为 6000a 2 ? (6000( a) 2 ? 6000( a) 2 ) , 4 4 4 4 1 3 6000a 2 ? [6000( a) 2 ? 6000( a) 2 ] 4 4 价值损失的百分率为 ?100% ? 37.5% . 2 6000a ⑶解法 1:若把一块该种矿石按重量比为 m : n 切割成两块,价值损失的百分率应为
为 6000(

m?n 2 ) 2mn 1 m 2 n 2 2mn 2 ? ? ,当且仅当 m ? n 时取等号,即重量比为 1:1 时,价 ,又 1 ? [( ) ?( ) ]? 2 2 2 ( m ? n) ( m ? n) 2 m?n m?n (m ? n) 2?(
值损失的百分率达到最大. 解法 2:设一块该种矿石切割成两块,其重量比为 x :1 ,则价值损失的百分率为

x 2 1 2 2x 2x 2x 1 2 , 又 x ? 0 ,∴ x ? 1 ? 2 x , 故 2 1 ? [( ) ?( ) ]? 2 ? ? , 等号当且仅当 x ? 1 时 1? x 1? x x ? 2x ?1 x ? 2x ?1 2x ? 2x 2
成立. 答:⑴函数关系式

y ? 6000? 2 (? ? 0) ;

⑵价值损失的百分率为 37.5% ;

⑶故当重量比为 1:1 时,价值损失的百分率达到最大.

a 40.解:(1)由题设知 x=5 时 y=11,则 11= +10(5-6)2,解得 a=2. 5 -3
(2)由(1)知该商品每日的销售量 y= 2 2

x-3

+10(x-6)2,所以商场每日销售该商品所获得的利润为

f(x)=(x-3) [ +10(x-6)2]=2+10(x-3) (x-6)2,3<x<6 x-3
对函数 f(x)求导,得 f ′(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]=30(x-4)(x-6).令 f ′(x)=0 及 3<x<6,解得 x=4 当 3<x<4 时,f ′(x)>0,当 4<x<6 时,f ′(x)<0,于是有函数 f(x)在(3,4)上递增,在(4,6)上递减,所以当 x=4 时函数 f(x)取得最大值

f(4)=42
答:当销售价格 x=4 时,商场每日销售该商品所获得的利润最大,最大值为 42. 41.解:(1)设比例系数为 k (k

? 0) .由题知,有 3 ? x ?

k k .又 t ? 0 时, x ? 1 ,所以 3 ? 1 ? ,k ? 2. t ?1 0 ?1

所以 x 与的关系是 x ? 3 ?

2 (t ? 0) t ?1
x 万 件 纪 念 品 的 生 产 成 本 为 (3 ? 32x) 万 元 , 促 销 费 用 为 万 元 , 则 每 件 纪 念 品 的 定 价

(2) 依 据 题 意 , 可 知 工 厂 生 产

为 :

t ? t ? ? 3 ? 32 x ? 3 ? 32 x ? 150% ? ? 元 / 件 . 于 是 , y ? x ? ? ? 150% ? ? ? ? 3 ? 32 x ? ? t , 进 一 步 化 简 , 得 ? x 2 x x 2 x? ? ? ?

y?

99 32 t 99 32 t ? ? (t ? 0) .因此,工厂 2010 年的年利润 y ? ? ? (t ? 0) 万元 2 t ?1 2 2 t ?1 2
15

(3)由(2)知,

y?

99 32 t 32 t ? 1 ? 32 t ? 1 ? ? ? ? 42 , ? ? (t ? 0) ? 50 ? ? ? ? 50 ? 2 2 ? t ?1 2 2 t ?1 2 ? t ?1

当且仅当

t ? 1 32 ,即 t ? 7 时,取等号,所以,当 2010 年的促销费用投入 7 万元时,工厂的年利润最大,最大利润为 42 万元 ? 2 t ?1

42.解:(Ⅰ) A ? [?1,

?? 2 ? m ? 0 ,故 m ? 2 3] , B ? [?2 ? m, 2 ? m] ,若 A B ? ?0,3? ,则 ? ? 2?m?3


(Ⅱ) C R B

? (??, ? 2 ? m) ? (2 ? m, ? ?) ,若 A ? C R B ,则 3 ? ?2 ? m

2 ? m ? ?1 ,



m ? ?3



m?5

43.解.令 t ? 3x (t ? 0) ,则 t 2 ? (1 ? k )t ? 2 ? 0 对 t ? 0 有解.

记 g (t ) ? t 2 ? (1 ? k )t ? 2 ,则 ?

1? k ? 1? k ? ? 0, ? 0, ? ? 或? 解得 k ? 2 2 ? 1 . 2 2 2 ? ? g (0) ? 2 ? 0, ? ? (1 ? k ) ? 4 ? 2 ? 0, ? ?
?|16 ? 4a ? b |? 0, ? | 4 ? 2a ? b |? 0,

解析:( 1)由 g ( x) ? 0 得 x ? 4 或 x ? ?2 .于是,当 x ? 4 或 x ? ?2 时,得 ? ∴ ?

?16 ? 4a ? b ? 0, ?a ? ?2, ∴ ? 此 时 , | f ( x) |?| g ( x) |?| x 2 ? 2 x ? 8 |? 2 | x 2 ? 2 x ? 8 | , 对 x ? R 恒 成 立 , 满 足 条 件 . 故 4 ? 2 a ? b ? 0, b ? ? 8. ? ? a ? ?2, b ? ?8 .

(2)∵ f ( x) ? (m ? 2) x ? m ? 15 对 x ? 2 恒成立,∴ m ? 记 ? ( x) ?

x2 ? 4x ? 7 对 x ? 2 恒成立. x ?1

x2 ? 4x ? 7 [( x ? 1) ? 1]2 ? 4( x ? 1) ? 3 4 4 ? ? ( x ?1) ? ? 2 .∵ x ? 2 ,∴ x ?1 ? 1 ,∴由对勾函数 y ? t ? 在 (1, ??) 上的 t x ?1 x ?1 x ?1 图象知当 t ? 2 ,即 x ? 3 时, ? ( x)min ? 2 ,∴ m ? 2 .
(3)∵ h( x) ? ? ( x ? 1)2 ?

1 2

1 1 1 1 1 1 ? ,∴ [km, kn] ? (??, ] ,∴ kn ? ,又∵ k ? ,∴ n ? ? 1 ,∴ [m, n] ? (??,1] ,∴ h( x) 在 [ m, n] 2 2 2 2 2 2k 1 1 , 故 : 当 ? k ?1 2 2

? 1 2 ? m ? m ? km, ? ?m ? 0, 或m ? 2 ? 2k , ? h( m) ? km, ? 2 上 是 单 调 增 函 数 ,∴ ? 即 ? 即 ? h ( n ) ? kn , 1 ? ? n ? 0, 或n ? 2 ? 2k . ? ? n 2 ? n ? kn, ? ? 2
时, [m, n] ? [0, 2 ? 2k ] ;当 k ? 1 时, [m, n] ? [2 ? 2k , 0] ;当 k ? 1 时, [ m, n] 不存在. 44. (1) 根 据 题 意 得

∵ m?n , 且 k ?

m?3? 0

,



(m ? 3) x2 ? 2mx ? 8 ? 0









x1, x2

,



? ? 4(m2 ? 8m ? 24) ? 0 , x1 ? x2 ?

2m 8 , x1 x2 ? ? m?3 m?3

l ? x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x ? ( 2 m2 ? 8m ? 24 ? m?3

2m 2 8 ) ? 4(? ) m?3 m?3

由?

?m ? 3 ? 0
2 ?? ? 4(m ? 8m ? 24) ? 0

? m ? ?4 ? 2 10或3 ? m ? ?4 ? 2 10 , ? 函数定义域为 (??, ?4 ? 2 10) ? (?4 ? 2 10,3)

(2) 1 ? l

?

2 m 2 ? 8m ? 24 ? 2 ? (m ? 3)2 ? 4(m 2 ? 8m ? 24) ? 4(m ? 3)2 m?3

16

7 ? m ? ? 15 或 m ? ?3m ? 38m ? 105 ? 0 ? ? 3 ? 7 33 ? ?? , ? ?? 结合(1) m 的范围, m 的取值范围为 ? ??, ?15? ? ? 33 3 14 ? 14 m ? 33 ? ?m ? ? ? ? 14
2

45.因为 x ? y ? 2 xy ? 0 ,所以 x ? y ? ? x ? y ? x ? xy ? y
2 2

3

3

?

2

2

? ? xy ? x ? y ? , ?
3 3 3

同理 y ? z ? yz ? y ? z ? , z ? x ? zx ? z ? x ?
3 3

3

3

三式相加即可得 2 x ? y ? z

? ? xy ? x ? y ? ? yz ? y ? z ? ? zx ? z ? x?

又因为 xy ? x ? y ? ? yz ? y ? z ? ? zx ? z ? x ? ? x 所以 2 x ? y ? z
3 3

2

? y ? z ? ? y2 ? x ? z ? ? z 2 ? x ? y ?
2

?

3

? ? x ? y ? z? ? y ? x ? z? ? z ? x ? y?
2 2

46.解:(1)设 AB ?

x, AC ? y, x ? 0, y ? 0. BC 2 ? x 2 ? y 2 ? 2 xy cos
所以,△ ABC 面积的最大值为 3

S?

1 2? xy sin ? 3 3, 2 3

2? 1 ? 2 xy ? 2 xy (? ) , xy ? 12 3 2

3 ,当且仅当 x ? y 时取到

(2) BC = 2

7 ,由 DB + DC = 6,知点 D 在以 B 、 C 为焦点的椭圆上, S ?ABC ? 2 3
14 ,

只需 ?DBC 面积最大,需此时点 D 到 BC 的距离最大, 即 D 必为椭圆短轴顶点. ?BCD 面积的最大值为 因此,四边形 ACDB 面积的最大值为 2 47. (1)

3 ? 14

m ? ?1, n ?

3 2

(2) (1)当 2 a ? 1 ? 1 即 a

? 1 时,原不等式的解为 2a ? 1 ? x ? 1 ;
(3)当 2 a ? 1 ? 1 即 a

(2)当 2 a ? 1 ? 1 即 a

? 1 时,原不等式的解为 ? ;

? 1 时,原不等式的解为 1 ? x ? 2a ? 1

解 :(1) 依 题 意

? ?m ? 0 ? n ? 1 ?? ? 2 ? ? m ? 2 1 ? 1 ? ?2 ? ? 2 ? m ? 2



m ? ?1, n ?

3 2

(2) 原 不 等 式 为

(2a ? 1 ? x)( x ? 1) ? 0



[ x ? (2a ? 1)]( x ? 1) ? 0
(2)当 2 a ? 1 ? 1 即 a 48.证明: a
3

(1)当 2 a ? 1 ? 1 即 a

? 1 时,原不等式的解为 2a ? 1 ? x ? 1 ;
(3)当 2 a ? 1 ? 1 即 a

? 1 时,原不等式的解为 ? ;

? 1 时,原不等式的解为1 ? x ? 2a ? 1

? b3 ? ab (a2 ? b2 ) ? a2 a ( a ? b ) ? b2 b ( b ? a ) ? ( a ? b )[( a )5 ? ( b )5 ]

? ( a ? b )2[( a )4 ? ( a )3 ( b ) ? ( a )2 ( b )2 ? ( a )( b )3 ? ( b )4 ]
因为实数 a、b≥0, ( 所以上式≥0.即有 a
3

a ? b )2 ? 0,[( a )4 ? ( a )3 ( b ) ? ( a )2 ( b )2 ? ( a )( b )3 ? ( b )4 ] ? 0 ? b3 ? ab (a2 ? b2 ) .
17

49.解:(1) x?(?2,2); (2) 对任意两个不相等的正数 a、b,有 a b ? ab ? 2ab ab , a ? b ? 2ab ab ,
2 2 3 3

因为 | a b ? ab ? 2ab ab | ? | a ? b ? 2ab ab |? ?(a ? b)(a ? b) ? 0 ,
2 2 3 3 2

所以 | a b ? ab ? 2ab ab |?| a ? b ? 2ab ab | ,即 a b?ab 比 a ?b 接近 2ab ab ;
2 2 3 3
2 2 3 3

(3)

? x2 ?1 1 1? , (?2 ? x ? ? ) ? 1 1 1 ? x 2 f ( x) ? ? = 1? | x ? |, x ? [ ?2,? ] ? [ ,2] ,f(x) 是偶函数;函数 2 x 2 2 ?1 ? x ? 1 , ( 1 ? x ? 2) ? x 2 ?

f(x)的最小值为 ?

3 , 2

最大值为 ? 1 ;

1 1 ,1] 单调递增,在区间 [?1,? ], [1,2] 单调递减. 2 2 2725 ? 5 ? 31 ? 20 ? (31 ? 1) 3480 ? 50.解:(1)当 0 ? x ? 12 时, y ? x x 1 1 2725 ? 5 ? 31 ? ( x 2 ? x) ? (31 ? 1) 6 3 当 12 ? x ? 25 时, y ? x
函数 f(x)在区间 [ ?2,?1], [

?

5 x 2 ? 10 x ? 2880 2880 ? 5x ? ? 10 x x

3480 ? (0 ? x ? 12) ? x 所以, y ? ? 2880 ?5 x ? ? 10 (12 ? x ? 25) x ?
(2)当 0 ?

x ? 12 时,在 x ? 12 (m/s)时, ymin ?

3480 ? 290 ( s ) 12

当 12 ?

x ? 25 时, y ? 5x ?

2880 2880 ? 10 ? 2 5x ? ? 10 ? 250( s) ――――12 分 x x

当且仅当 5 x 因为 x

?

2880 x

,即: x

? 24 (m/s)时取等号
当x

? 24 ? (12,25] ,所以

? 24 (m/s)时, ymin ? 250(s)

因为 290

? 250 ,所以当 x ? 24 (m/s)时, ymin ? 250(s)
y 的最小值为 250s 及此时该车队的速度为 24m/s.―――14 分

答:该车队通过隧道时间 51. (1)

A ? ?1,4?

,(2) 1 ?

a?4

18


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