富锦市高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

精选高中模拟试卷

富锦市高级中学 2018-2019 学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 一、选择题
1. 已知 A.0 B.2 C.4 ,则 f{f[f(﹣2)]}的值为( )

姓名__________

分数__________

D.8 1 1 2. 设 f(x)=(e-x-ex)( x - ),则不等式 f(x)<f(1+x)的解集为( 2 +1 2 1 A.(0,+∞) B.(-∞,- ) 2 1 1 C.(- ,+∞) D.(- ,0) 2 2 3. 已知集合 A={0,m,m2﹣3m+2},且 2∈A,则实数 m 为( A.2 4. 函数 y=
2



) D.0,2,3 均可

B.3

C.0 或 3 )

(x ﹣5x+6)的单调减区间为(

A.( ,+∞) B.(3,+∞)

C.(﹣∞, ) D.(﹣∞,2)

5. 已知等差数列 ?an ? 的前项和为 Sn ,且 a1 ? ?20 ,在区间 ? 3,5? 内任取一个实数作为数列 ?an ? 的公差,则 Sn 的最小值仅为 S6 的概率为( A. ) C. ) C.

1 6 2 2 6. 若, b ??0,1? ,则不等式 a ? b ? 1成立的概率为(
B. A.

1 5

3 14

D.

1 3

? 16
) B.90° ) D.

B.

? 12

? 8

D.

? 4

7. 已知长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=BC=1,AA1=2,E 是侧棱 BB1 的中点,则直线 AE 与平面 A1ED1 所成角的大小为( A.60° 等于( C.45° D.以上都不正确

8. 已知 f(x)为偶函数,且 f(x+2)=﹣f(x),当﹣2≤x≤0 时,f(x)=2x;若 n∈N*,an=f(n),则 a2017 A.2017 B.﹣8 C.

9. 一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为(



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A.

B.(4+π)

C.

D. )

10.已知直线 a,b 都与平面 α 相交,则 a,b 的位置关系是( A.平行 B.相交 C.异面 D.以上都有可能

11.利用独立性检验来考虑两个分类变量 X 和 Y 是否有关系时,通过查阅下表来确定断言“X 和 Y 有关系”的 可信度,如果 k>5.024,那么就有把握认为“X 和 Y 有关系”的百分比为( P(K >k) k 0.455 A.25%
2

) 0.005 0.001 10.828

0.50 0.708

0.40 1.323 B.75%

0.25 2.072

0.15 0.10 2.706 3.841 C.2.5%

0.05 5.024

0.025 0.010 6.635 7.879 D.97.5% )

12.已知幂函数 y=f(x)的图象过点( , A. B.﹣ C.2 D.﹣2

),则 f(2)的值为(

二、填空题
13.已知 Sn 是数列 { ___________. 【命题意图】 本题考查数列求和与不等式恒成立问题, 意在考查等价转化能力、 逻辑推理能力、 运算求解能力. 14.运行如图所示的程序框图后,输出的结果是

n n } 的前 n 项和,若不等式 | ? ? 1 | ? S n ? n ?1 对一切 n ? N ? 恒成立,则 ? 的取值范围是 n ?1 2 2

15.已知

=1﹣bi,其中 a,b 是实数,i 是虚数单位,则|a﹣bi|=



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? ,则 | a ? 2b |? . 3 y 2 2 17.如果实数 x , y 满足等式 ? x ? 2 ? ? y ? 3 ,那么 的最大值是 . x 18.(文科)与直线 x ? 3 y ?1 ? 0 垂直的直线的倾斜角为___________.
16.已知 | a |? 2 , | b |? 1 , ?2a 与 b 的夹角为

1 3

三、解答题
19. x 正半轴为极轴建立极坐标系, 在直角坐标系 xOy 中, 以 O 为极点, 曲线 C 的极坐标方程为 ρcos ( =1,M,N 分别为 C 与 x 轴,y 轴的交点. (1)写出 C 的直角坐标方程,并求 M,N 的极坐标; (2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程. )

20.设 f(x)=x2﹣ax+2.当 x∈,使得关于 x 的方程 f(x)﹣tf(2a)=0 有三个不相等的实数根,求实数 t 的取值范围.

21.如图所示,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 是棱 DD1 的中点. (Ⅰ)求直线 BE 与平面 ABB1A1 所成的角的正弦值; (Ⅱ)在棱 C1D1 上是否存在一点 F,使 B1F∥平面 A1BE?证明你的结论.

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22.已知△ ABC 的顶点 A(3,2),∠C 的平分线 CD 所在直线方程为 y﹣1=0,AC 边上的高 BH 所在直线方 程为 4x+2y﹣9=0. (1)求顶点 C 的坐标; (2)求△ ABC 的面积.

23.在数列{an}中,a1=1,an+1=1﹣ (1)求证:数列{bn}为等差数列;

,bn=

,其中 n∈N .

*

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(2)设 cn=bn+1?( ) (3)证明:1+ +

,数列{cn}的前 n 项和为 Tn,求 Tn; +…+ ≤2
* ﹣1(n∈N )

24.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知椭圆 C 的极坐标方程为 ? ?
2

12 ,点 F1 , F2 为其左、右焦点,直线的参数方程为 3cos ? ? 4sin 2 ?
2

? 2 t ?x ? 2 ? ? 2 (为参数, t ? R ). ? ?y ? 2 t ? ? 2 (1)求直线和曲线 C 的普通方程;
(2)求点 F1 , F2 到直线的距离之和.

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富锦市高级中学 2018-2019 学年高二上学期第二次月考试卷数学(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】C 【解析】解:∵﹣2<0 ∴f(﹣2)=0 ∴f(f(﹣2))=f(0) ∵0=0 ∴f(0)=2 即 f(f(﹣2))=f(0)=2 ∵2>0
2 ∴f(2)=2 =4

即 f{f[(﹣2)]}=f(f(0))=f(2)=4 故选 C. 2. 【答案】 【解析】选 C.f(x)的定义域为 x∈R, 1 1 由 f(x)=(e-x-ex)( x - )得 2 +1 2 1 1 f(-x)=(ex-e-x)( x - ) - 2 +1 2 -1 1 =(ex-e-x)( x + ) 2 +1 2 1 1 =(e-x-ex)( x - )=f(x), 2 +1 2 ∴f(x)在 R 上为偶函数, ∴不等式 f(x)<f(1+x)等价于|x|<|1+x|, 1 即 x2<1+2x+x2,∴x>- , 2 1 即不等式 f(x)<f(1+x)的解集为{x|x>- },故选 C. 2 3. 【答案】B 【解析】解:∵A={0,m,m ﹣3m+2},且 2∈A,
2 ∴m=2 或 m ﹣3m+2=2, 2

解得 m=2 或 m=0 或 m=3. 当 m=0 时,集合 A={0,0,2}不成立. 当 m=2 时,集合 A={0,0,2}不成立.

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当 m=3 时,集合 A={0,3,2}成立. 故 m=3. 故选:B. 【点评】本题主要考查集合元素和集合之间的关系的应用,注意求解之后要进行验证. 4. 【答案】B
2 【解析】解:令 t=x ﹣5x+6=(x﹣2)(x﹣3)>0,可得 x<2,或 x>3,

故函数 y=

(x ﹣5x+6)的定义域为(﹣∞,2)∪(3,+∞).

2

本题即求函数 t 在定义域(﹣∞,2)∪(3,+∞)上的增区间. 结合二次函数的性质可得,函数 t 在(﹣∞,2)∪(3,+∞)上的增区间为 (3,+∞), 故选 B. 5. 【答案】D 【解析】

考 点:等差数列. 6. 【答案】D 【 解 析 】

考点:几何概型. 7. 【答案】B

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【解析】解:∵E 是 BB1 的中点且 AA1=2,AB=BC=1, ∴∠AEA1=90°, 又在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AD⊥平面 ABB1A1, ∴A1D1⊥AE, ∴AE⊥平面 A1ED1, 故选 B 【点评】本题考查线面角的求法,根据直线与平面所成角必须是该直线与其在这个平面内的射影所成的锐角, 还有两个特殊角,而立体几何中求角的方法有两种,几何法和向量法,几何法的思路是:作、证、指、求,向 量法则是建立适当的坐标系,选取合适的向量,求两个向量的夹角. 8. 【答案】D 【解析】解:∵f(x+2)=﹣f(x), ∴f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x), 即 f(x+4)=f(x), 即函数的周期是 4. ∴a2017=f(2017)=f(504×4+1)=f(1), ∵f(x)为偶函数,当﹣2≤x≤0 时,f(x)=2x, ∴f(1)=f(﹣1)= , ∴a2017=f(1)= , 故选:D. 【点评】本题主要考查函数值的计算,利用函数奇偶性和周期性之间的关系是解决本题的关键. 9. 【答案】 D 【解析】解:由三视图知,几何体是一个组合体, 是由半个圆锥和一个四棱锥组合成的几何体, 圆柱的底面直径和母线长都是 2, 四棱锥的底面是一个边长是 2 的正方形, 四棱锥的高与圆锥的高相同,高是 ∴几何体的体积是 故选 D. 【点评】本题考查由三视图求组合体的体积,考查由三视图还原直观图,本题的三视图比较特殊,不容易看出 直观图,需要仔细观察. = , = ,

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10.【答案】D 【解析】解:如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, AA1∩平面 ABCD=A,BB1∩平面 ABCD=B,AA1∥BB1; AA1∩平面 ABCD=A,AB1∩平面 ABCD=A,AA1 与 AB1 相交; AA1∩平面 ABCD=A,CD1∩平面 ABCD=C,AA1 与 CD1 异面. ∴直线 a,b 都与平面 α 相交,则 a,b 的位置关系是相交、平行或异面. 故选:D.

11.【答案】D 【解析】解:∵k>5、024, 而在观测值表中对应于 5.024 的是 0.025, ∴有 1﹣0.025=97.5%的把握认为“X 和 Y 有关系”, 故选 D. 【点评】本题考查独立性检验的应用,是一个基础题,这种题目出现的机会比较小,但是一旦出现,就是我们 必得分的题目. 12.【答案】A 【解析】解:设幂函数 y=f(x)=x ,把点( ,
α

)代入可得

=

α



∴α= ,即 f(x)= 故 f(2)= 故选:A. = ,



二、填空题
13.【答案】 ?3 ? ? ? 1

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1 1 1 1 , S n ? 1? ? 2 ? 2 ? … n ?1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 n?2 n?2 ?(n ? 1) ? n ?1 ? n ? n ,两式相减,得 Sn ? 1 ? ? 2 ? ? n ?1 ? n ? n ? 2 ? n ,所以 S n ? 4 ? n ?1 , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 | ? 4 ? n ?1 对一切 n ? N? 恒成立,得 | ? ? 1 于是由不等式 | ? ? 1 | ? 2 ,解得 ?3 ? ? ? 1 . 2
【解析】由 S n ? 1 ? 2 ?

1 1 ? 3? 2 ? 2 2

? (n ? 1) ?

1

n?2

?n

14.【答案】 0 【解析】解:模拟执行程序框图,可得程序框图的功能是计算并输出 S=sin 由于 sin 所以 S=sin 周期为 8, +sin +…+sin =0. +sin +…+sin 的值,

故答案为:0. 【点评】本题主要考查了程序框图和算法,考查了正弦函数的周期性和特殊角的三角函数值的应用,属于基本 知识的考查. 15.【答案】 .

【解析】解:∵ ∴

=1﹣bi,∴a=(1+i)(1﹣bi)=1+b+(1﹣b)i,

,解得 b=1,a=2. .

∴|a﹣bi|=|2﹣i|= 故答案为: .

【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式,考查了计算能力,属于基础题. 16.【答案】 2 【解析】解析:本题考查向量夹角与向量数量积的应用. a 与 b 的夹角为 ∴ | a ? 2b |? 【解析】

2? , a ? b ? ?1 , 3

(a ? 2b) 2 ? | a |2 ?4a ? b ? 4 | b |2 ? 2 .

17.【答案】 3

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考点:直线与圆的位置关系的应用. 1 【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用,其中解答中涉及到点到直线的距离公式、直线与圆 相切的判定与应用, 着重考查了学生分析问题和解答问题的能力, 以及推理与运算能力和转化与化归的思想方 法,本题的解答中把 18.【答案】 【解析】 试题分析:依题意可知所求直线的斜率为 3 ,故倾斜角为 考点:直线方程与倾斜角.

? 3

y 的最值转化为直线与圆相切是解答的关键,属于中档试题. x

? . 3

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)由 从而 C 的直角坐标方程为

即 θ=0 时,ρ=2,所以 M(2,0)

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(Ⅱ)M 点的直角坐标为(2,0) N 点的直角坐标为 所以 P 点的直角坐标为 所以直线 OP 的极坐标方程为 ,则 P 点的极坐标为 ,ρ∈(﹣∞,+∞) ,

【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,体会在极坐标系和 平面直角坐标系中刻画点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化. 20.【答案】 【解析】设 f(x)=x ﹣ax+2.当 x∈,则 t= ∴对称轴 m= ∴ ∈(0, ],且开口向下; ,此时 x=9 .
2



时,t 取得最小值

∴税率 t 的最小值为

【点评】 此题是个指数函数的综合题, 但在求解的过程中也用到了构造函数的思想及二次函数在定义域内求最 值的知识.考查的知识全面而到位! 21.【答案】 【解析】解:(I)如图(a),取 AA1 的中点 M,连接 EM,BM,因为 E 是 DD1 的中点,四边形 ADD1A1 为 正方形,所以 EM∥AD. 又在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中.AD⊥平面 ABB1A1,所以 EM⊥面 ABB1A1,从而 BM 为直线 BE 在平面 ABB1A1 上的射影, ∠EBM 直线 BE 与平面 ABB1A1 所成的角. 设正方体的棱长为 2,则 EM=AD=2,BE= 于是在 Rt△BEM 中, 即直线 BE 与平面 ABB1A1 所成的角的正弦值为 . (Ⅱ)在棱 C1D1 上存在点 F,使 B1F 平面 A1BE, 事实上,如图(b)所示,分别取 C1D1 和 CD 的中点 F,G,连接 EG,BG,CD1,FG, 因 A1D1∥B1C1∥BC,且 A1D1=BC,所以四边形 A1BCD1 为平行四边形, ,

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因此 D1C∥A1B,又 E,G 分别为 D1D,CD 的中点,所以 EG∥D1C,从而 EG∥A1B,这说明 A1,B,G,E 共面,所以 BG?平面 A1BE 因四边形 C1CDD1 与 B1BCC1 皆为正方形,F,G 分别为 C1D1 和 CD 的中点,所以 FG∥C1C∥B1B,且 FG=C1C=B1B,因此四边形 B1BGF 为平行四边形,所以 B1F∥BG,而 B1F?平面 A1BE,BG?平面 A1BE,故 B1F∥平面 A1BE.

【点评】本题考查直线与平面所成的角,直线与平面平行,考查考生探究能力、空间想象能力.

22.【答案】 【解析】解:(1)由高 BH 所在直线方程为 4x+2y﹣9=0,∴ ∵直线 AC⊥BH,∴kACkBH=﹣1. ∴ , , =﹣2.

直线 AC 的方程为 联立

∴点 C 的坐标 C(1,1). (2) ∴直线 BC 的方程为 联立 , , ,即 . . , .

点 B 到直线 AC:x﹣2y+1=0 的距离为 又 ∴

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【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、角平分线的性质、点到直线的距离公式、两点间的距离 公式、三角形的面积计算公式,属于基础题. 23.【答案】 【解析】(1)证明:bn+1﹣bn= 等差数列,首项为 1,公差为 1. (2)解:由(1)可得:bn=n. cn=bn+1?( ) =(n+1) . +3× +…+n + +(n+1) +…+(n+1) , . ﹣ = ﹣ =1,又 b1=1.∴数列{bn}为

∴数列{cn}的前 n 项和为 Tn= = +3×

∴ Tn=

+

+

+…+

﹣(n+1)

= +

﹣(n+1)



可得 Tn= ﹣ (3)证明:1+ ∵ ∴1+ ∴1+ = + + < +…+ +…+ +

. +…+ =2 ≤1+2[( ≤2 ﹣1)+(
* ﹣1(n∈N ).

≤2

* ﹣1(n∈N )即为:1+

+

+…+



﹣1.

(k=2,3,…). )+…+( ﹣ )]=1+2 =2 ﹣1.

x2 y 2 ? ? 1 ;(2) 2 2 . 24.【答案】(1)直线的普通方程为 y ? x ? 2 ,曲线 C 的普通方程为 4 3
【解析】 试题分析:(1)由公式 ?

? ? cos ? ? x 可化极坐标方程为直角坐标方程,利用消参法可化参数方程为普通方程; ? sin ? ? y ?

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考点:极坐标方程与直角坐标方程的互化,参数方程与普通方程的互化,点到直线的距离公式.

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